UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
1a Lista - MAT 342 - Análise para a Licenciatura I/2012
1. Mostre que se x e y são números reais positivos, então
√
x.y ≤
x+y
.
2
2. Seja K um corpo ordenado. Exprima cada um dos conjuntos abaixo como reunião de intervalos:
(a) o conjunto dos x ∈ K tais que |x − 3| + |x + 3| < 8;
(b) 2x + 1| ≥ 1;
(c) |x − 5| < |x + 1|;
(d) (2x + 3)6 (x − 2) ≥ 0.
3. Prove que, para todo x num corpo ordenado K, tem-se:
(a) |x − 1| + |x − 2| ≥ 1.
(b) |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| ≥ 2.
√
√
4. Sejam a, b, c e d números racionais. Prove que a + b 2 = c + d 2 se, e só se, a = c e b = d.
√
√
√
√
5. Sejam a e b números racionais positivos. Prove
que
a
+
b
é
racional
se,
e
só
se,
a
e
b
√
√
forem racionais. (Sugestão: multiplique por a − b)
x
6. Mostre que para quaisquer números reais x e y, com x2 + y 2 6= 0, tem-se √ 2 2 ≤ 1.
x +y
7. Seja f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn um polinômio com coeficientes inteiros.
(a) Se um número racional pq (com p e q primos entre si) é tal que f pq = 0, prove que p
divide a0 e q divide an .
(b) Conclua que, quando an =√ 1, as√raı́zes reais de f são inteiras ou irracionais. Use este
resultado para provar que 2 + 3 2 é irracional.
8. Sejam x1 , x2 , . . . , xn reais positivos. Mostre que
√
n
9. Sejam c ∈ ℜ, c > 1, e A =
1
x1 . x2 . . . . . xn ≤
cn
x1 + x2 + . . . + xn
.
n
; n ∈ N . Determine inf A e sup A.
10. Sejam A ⊂ B conjuntos não vazios limitados de números reais. Prove que
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.
11. Sejam A e B conjuntos não vazios de números reais, tais que se x ∈ A e y ∈ B, então x ≤ y.
Prove que sup A ≤ inf B. Prove que sup A = inf B se, e só se, para todo ǫ > 0 dado, podem-se
obter x ∈ A e y ∈ B tais que y − x < ǫ.
12. Seja A um conjunto não vazio e limitado de números reais.
seja cA = {c.x; x ∈ A}. Prove que:
1
Dado c
∈
ℜ,
(a) cA é limitado;
(b) Se c > 0, sup(cA) = c sup A e inf(cA) = c inf A;
(c) Enuncie e demonstre o que ocorre quando c < 0.
13. Dados A e B conjuntos não vazios de números reais e seja A + B = {x + y; x ∈ A e y ∈ B}.
Prove que:
(a) A.B é limitado;
(b) sup(A + B) = sup A + sup B;
(c) inf(A + B) = inf A + inf B.
14. Sejam A e B conjuntos não vazios de números reais positivos.
Definimos
A.B = {x.y; x ∈ A e y ∈ B}. Prove que se A e B forem limitados, então A.B é limitado,
sendo sup(A.B) = sup A. sup B e inf(A.B) = inf A. inf B.
15. Sejam f, g : X → ℜ funções limitadas inferiormente. Mostre que f + g é uma função limitada
inferiormente e que inf(f + g) ≥ inf f + inf g. Dê um exemplo em que inf(f + g) > inf f + inf g.
16. Sejam f, g : X → ℜ+ funções limitadas. Mostre que f.g é uma função limitada, que
sup(f.g) ≤ sup f. sup g e inf(f.g) ≥ inf f. inf g. Dê um exemplo em que falham as desigualdades
estritas.
17. Verifique que f : ℜ → ]−1, 1[ definida por f (x) =
]−1, 1[. Determine f −1 .
√ x
1+x2
é uma bijeção de ℜ sobre o intervalo
18. Dê exemplo de uma sequência decrescente de intervalos fechados (ilimitados) cuja interseção
seja vazia e de uma sequência decrescente de intervalos abertos limitados cuja interseção seja
vazia.
19. Um número real chama-se algébrico quando existe um polinômio f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,
não identicamente nulo, com coeficientes inteiros, tal que f (r) = 0.
(a) Prove que o conjunto dos polinômios de coeficientes inteiros é enumerável.
(b) Dada uma enumeração {f1 , f2 , . . . , fn , . . .} desses polinômios não identicamente nulos, seja
para cada n natural, An o conjuntos das raı́zes reais de fn . Cada An é um conjunto finito
(podendo ser vazio). O conjunto A dos números algébricos reais escreve-se A = ∪∞
n=1 An .
Conclua que A é enumerável.
2