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10. Cálculo: Traçado de Derivadas
Traçado de Derivadas
ID: 8110
Tempo necessário
45 minutos
Descrição Geral da Actividade
Os estudantes observarão diversas funções em cujos gráficos foi criada uma tangente à
curva. Ao arrastar a tangente à curva, o gráfico da derivada será traçado utilizando a função
“automatic data capture” (recolha automática de dados). Será dado destaque à exploração da
relação entre o declive da curva original e o valor y do gráfico da derivada. Os estudantes
pesquisarão igualmente a relação entre extremos locais e os zeros correspondentes no
gráfico da derivada (assumindo que a derivada está definida nesses pontos). Adicionalmente,
os estudantes observarão a ligação entre os intervalos nos quais a função cresce ou decresce
e o sinal da derivada. Finalmente, os estudantes analisarão exemplos nos quais a derivada
não está definida num ponto específico, como pontos de descontinuidade, vértices ou pontos
de tangente vertical.
Conceitos
• Declive de uma tangente
• Definição da derivada
• Gráfico da derivada
Preparação do Professor
Esta análise oferece a oportunidade aos estudantes de entenderem as relações entre o
gráfico de uma função e a sua derivada. O ponto central desta actividade consiste na
capacidade do estudante em reconhecer que a coordenada y da derivada em cada ponto do
gráfico é igual ao declive da tangente ao gráfico. A função “automatic data capture” (recolha
automática de dados) permite aos estudantes observarem esta característica importante,
centrando a sua atenção no gráfico da derivada um ponto cada vez, em vez da função como
um todo. Além disso, é vantajoso se os estudantes participarem nesta actividade antes de
aprenderem as regras de diferenciação (ou seja, regra de potência, regra de produto, etc.),
uma vez que o conhecimento destas regras permitirá aos estudantes determinar a forma do
gráfico, pela determinação da expressão analítica da derivada da função.
Esta actividade descreve as relações base existentes entre o gráfico de uma função e a sua
derivada. Reveja com os estudantes como calcular o declive de uma tangente num ponto
específico utilizando os limites. Por exemplo, os estudantes devem estar familiarizados com
f ( x ) − f (a)
e
as fórmulas seguintes para calcular a derivada em x = a, lim
x →a
x −a
f (a + h) − f (a)
lim
.
h →0
h
Após analisarem os exemplos desta actividade, os estudantes começarão a reconhecer as
seguintes características importantes:
•
Enquanto o gráfico da derivada de uma função foi explorado um ponto cada vez, o
lugar geométrico dos pontos criado nesta actividade define a derivada como uma
f ( x + h) − f ( x )
.
função, que pode ser representada pela fórmula, lim
h →0
h
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10. Cálculo: Traçado de Derivadas
•
À medida que os estudantes começarem a pensar na derivada como uma função,
observarão igualmente outras características que lhes permitirão determinar a fórmula
para uma derivada. Por exemplo, os estudantes observarão que o grau da derivada de
uma função polinomial é inferior ao grau da função original em uma unidade. Alguns
estudantes poderão ainda reconhecer que as derivadas das funções polinomiais do
tipo f ( x ) = an x n + an −1x n −1 + L + a1x + a0 são do tipo
f ′ ( x ) = n ⋅ an x n −1 + ( n − 1) an−1x n −2 + L + a1 . Este tipo de observação deve ser
encorajado e permitirá um melhor esclarecimento sobre a derivada de potências.
•
Nas figuras das páginas 53-55 são apresentados os resultados esperados dos
estudantes. Consulte as figuras da página 56 para uma visualização prévia do ficheiro
.tns dos estudantes.
Orientação da Turma
• Pretende-se que esta actividade seja conduzida pelos estudantes, tendo o professor
um papel de intermediário enquanto os estudantes trabalham em conjunto. A ficha de
trabalho tem por finalidade orientar os estudantes através das ideias principais da
actividade e permitir o registo das suas observações.
• Os estudantes utilizarão construções realizadas previamente, em vez de criarem as
suas próprias. Por esta razão, é suficiente um conhecimento básico do funcionamento
do TI-Nspire.
• Após concluírem cada traçado, os estudantes devem avançar para a página Lists &
Spreadsheet, posicionar o cursor na célula da fórmula (a cinzento) da Coluna A e
premir duas vezes · para limpar os dados. A seguir, os estudantes devem repetir
este processo para a Coluna B. Se estes passos não forem seguidos, haverá uma
acumulação de dados, causando o funcionamento lento do dispositivo ou uma
situação de bloqueio.
• Também é recomendado que os estudantes desloquem lentamente o cursor do lado
esquerdo do ecrã para o lado direito do ecrã apenas uma vez. Isto também limitará a
quantidade de dados acumulada na aplicação Lists & Spreadsheet.
• As ideias apresentadas nas páginas seguintes têm por finalidade fornecer uma estrutura
sobre o desenvolvimento da actividade. Também são fornecidas sugestões para ajudar
a garantir que os objectivos desta actividade são cumpridos.
Aplicações do TI-Nspire™
Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes
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Uma pergunta central define esta actividade: Que tipo de
gráfico é criado quando relacionamos a abcissa x com o
valor do declive da recta tangente à função nesse ponto?
A esta pergunta deve seguir-se alguma discussão,
incluindo uma exemplificação do significado da pergunta,
referindo o gráfico da página 1.2. Indique aos estudantes
que o ponto no eixo x possui coordenadas (a, 0), e que
este será simplesmente referido como “a.” Peça-lhes
para observarem o ponto P, cuja coordenada x é a e
cuja coordenada y é o declive da tangente ao gráfico em
x = a. A seguir, pergunte aos estudantes se conseguem
identificar o percurso traçado por P quando a é
deslocado ao longo do eixo x.
Problema 1 – Analisar o gráfico da derivada das funções polinomiais
Passo 1: Indique aos estudantes que trabalharão em
conjunto, começando com um estudo do
gráfico apresentado na página 1.3. Os
estudantes terão de explicar que o ponto P,
localizado no cruzamento das linhas tracejadas,
representa um ponto com uma coordenada x
igual a a e a coordenada y igual ao declive da
tangente para f em x = a. Para este caso e
desenhos subsequentes, as coordenadas do
ponto P estão indicadas no canto superior
direito do ecrã como uma referência para os
estudantes.
Passo 2: A seguir, os estudantes devem segurar no ponto a e deslocá-lo lentamente ao longo
do eixo x. Tal acção faz com que a posição do ponto P seja também alterada. Os
estudantes devem agora concentrar-se na localização do ponto P enquanto o ponto
a é arrastado. Em particular, devem considerar o ponto P como possuindo uma
coordenada y igual ao declive da tangente. Poderão visualizar o gráfico da derivada
no passo seguinte.
Passo 3: Os estudantes devem avançar para a página 1.4,
segurar no ponto a e deslocá-lo lentamente ao
longo do eixo x. É importante que os estudantes
observem que a derivada é positiva quando f
aumenta e negativa quando f diminui. Os
estudantes também reconhecerão que os
valores máximos e mínimos locais de f
correspondem às intersecções da derivada
com o eixo x. Certifique-se de que entendem
que isto ocorre porque a tangente à curva
nestes pontos é horizontal.
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Passo 4: Os estudantes devem agora avançar para a
página 1.5 e limpar os dados inseridos nas
Colunas A e B. Para tal, devem simplesmente
seleccionar a célula da fórmula (a cinzento)
para cada coluna e premir duas vezes ·.
Isto permitirá limpar os dados recolhidos e
manter a função de recolha automática de
dados.
Passo 5: Peça aos estudantes para regressarem à página 1.4 e premirem /+G para
visualizarem a linha de edição de funções. Terão de introduzir a função
f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 5 como f1, ocultar a linha de edição de funções ao premirem
novamente /+G, e redimensionar a janela para ficar semelhante à apresentada
no diagrama em baixo.
Passo 6: A seguir, os estudantes devem arrastar o ponto
a e traçar a derivada. Devem comparar os
resultados com o gráfico desenhado
manualmente.
Repita os Passos 4–6 com polinómios
adicionais, se for necessário que os
estudantes pratiquem mais.
Problemas 2 e 3 – Analisar as localizações em que a derivada não está definida
Passo 1: Os estudantes devem avançar para a página
2.1. Ser-lhes-á novamente solicitado para
desenharem um gráfico da derivada antes de
arrastarem o ponto a. O ecrã à direita mostra
que a derivada não está definida para os
valores de x onde existe um “vértice”.
Certifique-se de que os estudantes limpam os
dados da página 2.2 (consulte o Passo 4 em
cima) antes de avançarem para o Problema 3.
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10. Cálculo: Traçado de Derivadas
Passo 2: No Problema 3, os estudantes poderão
observar que a derivada não está definida
para os valores de x, onde existe uma
descontinuidade infinita. Os estudantes devem
limpar novamente os dados recolhidos após
realizarem este traçado.
Problemas 4 a 5 – Derivadas com características interessantes
Passo 1: Os estudantes devem avançar para a página
4.1. Utilizando o que aprenderam até agora,
deverão desenhar um gráfico da derivada e
verificar os resultados ao arrastar o ponto a.
Devem reconhecer que a derivada de y = sin x
é y = cos x. Novamente, os estudantes devem
limpar os dados antes de avançar.
Passo 2: Os estudantes devem avançar para a página
5.1, onde deverão desenhar novamente um
gráfico da derivada e verificar os resultados ao
arrastar o ponto a. Aqui, deverão observar que
a derivada de y = e x é igual à própria função.
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Traçado de Derivadas – ID: 8110
(Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Cálculo – Traçado de Derivadas.tns
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Traçado de Derivadas
ID: 8110
Nome
Turma
Nesta actividade, poderá explorar:
•
o gráfico da derivada de uma função
Abra o ficheiro Cálculo – Traçado de Derivadas.tns no
TI-Nspire e siga as instruções do professor para os
dois primeiros ecrãs. Utilize este documento como um
guia para a actividade e para registar as suas
respostas. Desloque-se para a página 1.2 e aguarde
mais instruções do professor.
A página 1.2 (visualizada à direita) apresenta uma
tangente ao gráfico de f(x) em x = a. Qual acha que
deve ser a localização do ponto P se a sua coordenada
x é igual a a e a sua coordenada y é igual ao declive da
tangente em x = a?
Problema 1 – Analisar o gráfico da derivada das funções polinomiais
Avance até à página 1.3. Poderá observar um ecrã
semelhante ao apresentado à direita, mostrando a
curva f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 2 x + 6 e uma tangente à curva.
O ponto a no eixo x corresponde ao ponto da intersecção
entre f(x) e a tangente. O ponto P também é apresentado
com as suas coordenadas localizadas no canto superior
direito do ecrã. Explique o que representa o ponto P.
Arraste lentamente o ponto a ao longo do eixo x e observe o movimento do ponto P.
No espaço em baixo, descreva o movimento do ponto P e a sua relação com a posição do
ponto a e o declive da recta tangente à função.
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Avance até à página 1.4. Visualizará o mesmo ecrã que na página anterior do documento.
Arraste lentamente o ponto a ao longo do eixo x (apenas uma vez, da esquerda para a direita)
e observe o traço criado pelo trajecto do ponto P. Desenhe o traçado, que será designado por
derivada de f(x), no diagrama fornecido na página anterior. Estude o traçado e responda às
perguntas seguintes.
•
Para que valores de x a derivada é positiva? Para que valores de x a derivada é negativa?
•
Qual é a relação entre os valores máximos e/ou mínimos de f(x) e a derivada? Explique.
Avance até à página 1.5 e coloque o cursor na célula da
fórmula (a cinzento) da Coluna A. Prima duas vezes ·
para eliminar os dados desta coluna. Repita este
procedimento para eliminar os dados da Coluna B.
Regresse à página 1.4 e prima / + G para
visualizar a linha edição de funções. Altere f1 para
f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 5 e oculte a linha de edição de funções
ao premir novamente / + G. Redimensione a janela
de forma a ficar semelhante à apresentada à direita.
(Utilize MENU > Window > Window Settings).
Antes de arrastar o ponto a, tente adivinhar quais são os intervalos nos quais a derivada será
positiva e negativa. Igualmente, tente prever qual será o valor da derivada nos pontos em que
a função f1(x) tem máximos e mínimos locais. A seguir, desenhe uma forma possível da
derivada. Utilize o ponto P como o ponto de início para o desenho.
Agora, arraste o ponto a e compare este resultado com o desenho realizado manualmente. Os
intervalos onde a derivada é positiva e negativa são coerentes com as observações feitas em
relação à função f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 2 x + 6 , pesquisada anteriormente? As intersecções com o
eixo x são as esperadas?
Antes de avançar para o Problema 2, vá até à página 1.5 e elimine os dados das Colunas A e
B conforme descrito anteriormente.
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Problemas 2 e 3 – Investigar os pontos em que a derivada não está definida
Avance até à página 2.1. O gráfico de uma nova função e
uma recta tangente são apresentados. Antes de arrastar
o ponto a, desenhe a possível configuração do gráfico
da derivada. Utilize o ponto P como o ponto inicial.
Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o
desenho realizado.
Explique o que acontece ao gráfico da derivada para os valores de x que correspondem aos
“ângulos” do gráfico de f(x). Baseando-se nestas observações, diria que a derivada de f(x)
está definida nestes pontos?
Limpe os dados da página 2.2, conforme realizado no problema anterior.
Avance até à página 3.1. Novamente, é apresentada
uma nova função. Antes de arrastar o ponto a, desenhe
a possível configuração do gráfico da derivada. Utilize
o ponto P como o ponto inicial.
Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o
desenho realizado.
Explique o que acontece ao gráfico da derivada para os valores de x que correspondem à
localização de uma assimptota vertical no gráfico de f(x). Baseando-se nestas observações,
diria que a derivada de f(x) está definida nestes pontos?
Novamente, avance até à página 3.2 para limpar os dados recolhidos.
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Problemas 4 a 5 – Derivadas com características interessantes
Avance até à página 4.1. Poderá visualizar o ecrã à
direita. Qual é a função apresentada?
Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível
configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P
como o ponto inicial.
Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o
desenho realizado. Qual foi a função traçada? Confirme
o resultado ao premir / + G e digite a função em f2.
f2 coincide com o traçado?
Avance até à página 4.2 e limpe os dados conforme efectuado no problema anterior.
Avance até à página 5.1, onde é apresentado o gráfico
de y = e x .
Antes de arrastar o ponto a, desenhe a possível
configuração do gráfico da derivada. Utilize o ponto P
como o ponto inicial.
Agora, arraste o ponto a e compare o resultado com o
desenho realizado. Exponha quaisquer conclusões
interessantes observadas.
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