Série Geográfica (espaço)
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1111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111
11
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Séries Estatísticas
C
TÍTULO
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDOS
DAS PESSOAS DE 10 ANOS OU MAIS DE IDADE
BRASIL – 2003 - 2007
MÉDIA DE ANOS DE
CABEÇALHO
ANOS
ESTUDOS
2003
7,2
2004
7,3
P
2005
7,4
O
2006
7,7
2007
7,8
O
R
FONTE: IBGE
COLUNA
INDICADORA
RODAPÉ
CASA OU CÉLULA
LINHAS
COLUNA NUMÉRICA
Séries Estatísticas
Coleção de dados estatísticos em função
da época, do local ou da espécie.
Série Histórica (tempo)
Série Geográfica (espaço)
Série Específica (espécie)
Série Histórica (tempo)
Série Geográfica (espaço)
Série Específica (espécie)
Gráficos Estatísticos
Gráfico de Linha
Gráfico de Linha
Gráfico de Colunas
Gráfico de Colunas Múltiplas
Gráfico de Setores
Gráfico de Setores
Cartograma
Séries Estatísticas
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TÍTULO
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDOS
DAS PESSOAS DE 10 ANOS OU MAIS DE IDADE
BRASIL – 2003 - 2007
MÉDIA DE ANOS DE
CABEÇALHO
ANOS
ESTUDOS
2003
7,2
2004
7,3
P
2005
7,4
O
2006
7,7
2007
7,8
O
R
FONTE: IBGE
COLUNA
INDICADORA
RODAPÉ
CASA OU CÉLULA
LINHAS
COLUNA NUMÉRICA
Séries Estatísticas
Coleção de dados estatísticos em função
da época, do local ou da espécie.
Série Histórica (tempo)
Série Geográfica (espaço)
Série Específica (espécie)
Série Específica (espécie)
Gráficos Estatísticos
Gráfico de Linha
Séries Estatísticas
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TÍTULO
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDOS
DAS PESSOAS DE 10 ANOS OU MAIS DE IDADE
BRASIL – 2003 - 2007
MÉDIA DE ANOS DE
CABEÇALHO
ANOS
ESTUDOS
2003
7,2
2004
7,3
P
2005
7,4
O
2006
7,7
2007
7,8
O
R
FONTE: IBGE
COLUNA
INDICADORA
RODAPÉ
CASA OU CÉLULA
LINHAS
COLUNA NUMÉRICA
Séries Estatísticas
Coleção de dados estatísticos em função
da época, do local ou da espécie.
Série Histórica (tempo)
Série Geográfica (espaço)
Série Específica (espécie)
Série Específica (espécie)
Gráficos Estatísticos
Gráfico de Linha
Frequências
1. O número de vezes em que a variável
ocorre é chamado frequência absoluta e
é indicado por ni
2. Definimos frequência relativa ( fi )
como a razão entre a frequência
absoluta (ni) e o número total de
observações (n) , ou seja:
fi 
ni
n
O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os
motoristas foram multados em uma determinada via municipal.
72
74
63
89
78
96
Velocidade
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
61
74
92
63
Freqüência
Absoluta
F.A
83
87
67
64
65
75
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
9
6
45%
3
2
15%
9
15
18
20
20
30%
10%
79
68
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
45%
75%
90%
100%
65
68
Velocidade
Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência
Relativa
(simples)
F.R
Freqüência
absoluta
acumulada
F.A.A
9
15
18
20
60|---- 70
70|---- 80
9
6
45%
80|---- 90
90|---- 100
3
2
15%
Total
20
30%
10%
Com base na tabela, responda:
a) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade de 80km/h a 90km/h?
3
45%
75%
90%
100%
c) Quantos Motoristas foram multados com
velocidade abaixo de 90km/h?
18
d) Qual o percentual de Motoristas multados
com uma velocidade abaixo de 80km/h?
b) Qual é o percentual de Motoristas
multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?
30%
Freqüência
Relativa
acumulada
F.R.A
75%
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as
atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado
foi o seguinte:
Atividade
Esportiva
Nº de alunos
Freqüência
Absoluta
Freqüencia
relativa
Voleibol
Basquetebol
80
120
20%
30%
Futebol
160
40%
Natação
Total
40
400
10%
100%
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
30%
Volei
Basquete
futebol
40%
20%
10%
natação
Representação Gráfica
Setores Circulares (Pizza)
Preferência
10,00%
36°
40,00%
72°
144°
20,00%
volei
basquete
futebol
108°
natação
30,00%
(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a
prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da
pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo
candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a
esse candidato?
a) 42°
b) 168° c) 90°
1500
350
360o
xo
x = 84°
d) 242° e) 84°
Médias
Média Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da
variável pelo número deles:
x
x 1  x 2  ...  x n
n
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção
média da semana:
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14
7
7
Média Aritmética
Ponderada
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as
duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com
notas 70, 75 e 90 terá média final:
Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para
seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro
das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.
(UNESP-09)
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada
igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota
obtida por esse aluno na prova IV foi:
1.(6,5)  2.(7,3)  3.(7,5)  2.x  2.(6,2)
 7,3  56 + 2x = 73  x = 8,5
1 2  3  2  2
Média Geométrica
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra
x  n x1.x 2 ......xn
Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.
x  3 6.4.9  6
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:
h  3.12  6
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após
um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio
mensal de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um
salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores
correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.
Salário
Inicial
% de
aumento
R$100,00
R$120,00
R$134,4
20%
R$120,00
12%
R$134,4
R$143,08
Salário
Inicial
% de
aumento
Salário Final
7%
Salário Final
R$100,00
R$112,8741
12,8741%
R$112,8741
12,8741%
R$127,4056245
R$127,4056245
12,8741%
R$143,08
x  3 (1,2).(1,12).(1,07)  1,128741
Percentual médio de aumento: 12,8741%
Média Harmônica
Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.
Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.
Média aritmética dos inversos:
1 1 1 19
 
6 4 9  36  19
3
3
108
Inverso da Média aritmética dos inversos:
108
 5,68
19
A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do
candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em
todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra.
Outros Conceitos
•Rol
Consiste na organização dos dados em
ordem crescente.
Exemplo: Notas obtidas em uma prova de
matemática no primeiro ano do ensino
médio:
E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
Mediana (Md)
É o valor que ocupa a posição central
de um conjunto de dados ordenados.
Exemplo: Determine a mediana do
Rol abaixo:
7 elementos
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
7 elementos
Como o elemento 4 ocupa a posição central,
dizemos que ele é a mediana dos dados
coletados acima.
IMPORTANTE!!!!
Caso o número de elementos do Rol for
par, calculamos a mediana pela média
aritmética dos dois elementos centrais.
Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior frequência em
um conjunto de dados.
Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício
anterior, posto que aparece três vezes no Rol.
Amplitude
Variância
É a diferença entre o maior valor e o menor
valor de um conjunto de dados
Ex.: Os valores seguintes representam o
número de gols marcados pela seleção
brasileira nas últimas 5 copas do mundo.
11, 14, 18, 10, 9
Amplitude = 18 – 9 = 9
Um aluno obteve as seguintes notas na
disciplina de matemática nos 4 bimestres:
Bim
1º 2º
notas 5
8
3º 4º
6
9
5869
7
4
Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2
nota 2: 8 – 7 = 1
nota 3: 6 – 7 = - 1
nota 4: 9 – 7 = 2
Média aritmética =
É a média aritmética dos quadrados
dos desvios.
(-2)2  12  (1) 2  2 2
V
 2,5
4
Desvio Padrão:
É a raiz quadrada da variância
Dp  V
Dp  2,5  1,58
Quanto mais próximo de zero é o desvio
padrão, mais homogênea (regular) é a
amostra.
Candidatos que obtém menor desvio
padrão são considerados mais regulares.
Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.
Paulo
João
N1 N2 N3 N4
5
2
5
8
4
8
3
5
Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?
Média aritmética =
Paulo
5258
5
4
Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0
Paulo
nota 2: 2 – 5 = - 3
nota 3: 5 – 5 = 0
nota 4: 8 – 5 = 3
02  (3)2  02  32
VariânciaPaulo 
 4,5
4
Desvio Padrão  V  4,5  2,12
Média aritmética =
João
4835
5
4
Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1
João
nota 2: 8 – 5 = 3
nota 3: 3 – 5 = -2
nota 4: 5 – 5 = 0
(-1)2  32  (2)2  02
Variância João 
 3,5
4
Desvio Padrão  V  3,5  1,87
Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.