INVERSÃO DE MATRIZES
Aplicação à Criptografia (uma introdução)
0
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
f
6
g
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A
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B
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Ê
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:
89
;
90
<
91
=
92
>
93
?
94
@
95
!
96
"
97
#
98
$
99
%
100
&
101
'
102
(
103
)
104
*
105
+
106
,
107
108
.
109
/
110
[
111
\
112
]
113
_
114
{
115
|
116
}
117
Como decodificar a mensagem
1ydobbr,?, da matriz Y?
1 1 0 T o e 
0 1 1 u
m = Y



0 0 1 d b ? 
Y = MX
⇒ X=M Y
−1
?
1 o r 
y b , = Y


d b ?
MX = Y
1ydobbr,?
• Recebe Y e;
• Conhece a matriz M:
Y = MX
??
1 1 0
M = 0 1 1 


0 0 1
Inversão de Matrizes
Definição: Uma matriz quadrada A = a
ij
( )
( )
existe uma matriz B = bij
n× n
n× n
é invertível ou não singular, se
tal que
AB = BA = I
n
ou
Se
B=A
−1
, então
−1
−1
A⋅ A = A ⋅ A = I
n
em que
I →
B →
n
⇓
A
é a matriz identidade.
é chamada matriz inversa ou não singular.
−1
( )
Se a matriz A = aij
n× n
( )
não tem inversa, dizemos que A = aij
n× n
é singular ou
não invertível.
Teorema 2.1.: Se uma matriz A = a
ij
( )
única
n× n
possui uma inversa, então a inversa é
Propriedades da Inversa
Teorema 2.2.
(a)
( )
Se A = aij
n× n
é invertível, então
(A )
−1
(b)
( )
Se A = aij
n× n
( )
e B = bij
n× n
−1
−1
A também o é:
= A;
são matrizes invertíveis, então AB é
invertível e
−1
( AB ) = B A
(c)
( )
Se A = aij
−1
−1
;
é invertível, então A também é invertível e
T
n× n
(A )
T
Teorema 2.3.: Sejam
−1
=(A
−1
A e B matrizes n × n .
(a)
Se BA = I n , então AB = I n ;
(b)
Se BA = I n , então AB = I n .
T
).
Método para Inversão de Matrizes
Teorema: Se uma matriz A = a
ij
( )
n× n
pode ser reduzida à matriz identidade, por
uma sequência de operações elementares com linhas, então A é
invertível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade,
aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas.
Aplicando esses processos simultaneamente, temos
[A| I]
→
GAUSS − JORDAN
[I | A ]
−1
EXEMPLO 1: Seja
A
−1
.
1 2 3 
A = 0 −2 4  uma matriz invertível, encontre


 3 0 −1
EXEMPLO 2: Seja
A
−1
.
 −1 −1 2 
A =  2 1 −2  uma matriz invertível, encontre


 1 1 −1
Exercício 2.1.2.
(a)
1 2 3 
A = 1 1 2 


0 1 2 
(f)
1
1
A=
1

5
1
1
1
2 1 2

3 −1 1 

9 1 6