Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Andrey Vericius Cardoso
Um estudo sobre os principais erros cometidos por
alunos do ensino médio na resolução de razões
trigonométricas.
Belém
2009
2
Andrey Vericius Cardoso
Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos
do ensino médio na resolução de razões trigonométricas.
Trabalho de conclusão de curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau
de Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Área de concentração: Matemática
Orientadora: Profª.M.Sc. Acylena Coelho Costa
Belém
2009
3
Andrey Vericius Cardoso
Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos
do ensino médio na resolução de razões trigonométricas.
Trabalho de conclusão de curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau
de Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Área de concentração: Matemática
Banca Examinadora
________________________-Orientador
Profª. Acylena Coelho Costa
M.Sc. em Educação Matemática
Universidade do Estado do Pará
____________________________
____________________________
4
Dados internacionais de publicação na catalogação (CIP)
__________________________________________________________________
Um estudo sobre os principais erros cometidos por alunos do ensino médio na
resolução de razões trigonométricas. Andrey Vericius.Cardoso. Orientadora: Profª.
M.Sc. Acylena Coelho Costa.__ 2007. Trabalho de Conclusão de Curso de
(Graduação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2007.
Palavras-chave: Razões Trigonométricas, Ensino Médio, Ensino e Aprendizagem
___________________________________________________________________________
5
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela minha vida, e por tudo que me tem ofertado até hoje.
A professora Acylena, pela orientação, amizade e paciência.
À minha família, em especial à minha mãe, pelas batalhas vencidas dia após dia e
por ter vencido a maior de todas as batalhar criando dois filhos, conseguindo fazêlos homens vencedores, ao meu Tio Manoel, por ser a coluna que “sustenta” e dá
força a nossa família, a minha avó por sempre ter cuidado de mim e a Tia Dita, pelos
sermões.
Aos meus amigos do campus da UEPA de São Miguel do Guamá e aos amigos que
fiz no CCSE em Belém, em especial aos de minha turma.
Aos colegas de trabalho que sempre me incentivaram a seguir em frente e aos
professores que estiveram ao meu lado durante este ano nos momentos de alegria e
de tristeza, sempre me dando força pra seguir nessa estrada, são eles: Klayton,
Carlos, Luiz, Bernard, Larissa, Lívia e Victor, e a nossa pedagoga de plantão Nígia.
A Suzy Tayrine, por estar ao meu lado neste momento, me dando força e apoiando
minhas decisões.
Ao Jerry pelos incentivos a continuar esforçando-me nos estudos e pela amizade.
E a todos que me acompanharam no decorrer destes “5 anos” de estudo e batalha.
6
RESUMO
CARDOSO, Andrey Vericius. Um estudo sobre os principais erros cometidos por
alunos do ensino médio na resolução de razões trigonométricas. 2009. 38 f.
Trabalho de Conclusão de Curso de (Graduação) – Universidade do Estado do Pará,
Belém, 2009.
Essa pesquisa apresenta um estudo diagnóstico cujo objetivo foi analisar o
conhecimento de alunos do ensino médio sobre as razões trigonométricas.
Os
sujeitos investigados foram 59 alunos do 1º ano do ensino médio das redes Pública
e Privada de ensino da cidade de Belém do Pará no primeiro bimestre de 2008. Os
dados desta pesquisa foram obtidos por meio da aplicação de um questionário
contendo questões sobre o referido assunto. Os resultados foram organizados em
categorias de erros e revelaram grandes quantidades de erros quanto as operações
matemática.
Palavras-chave: Razões trigonométricas, Ensino médio, Ensino e aprendizagem.
7
ABSTRACT
CARDOSO, Andrey Vericius. A study of the major mistakes made by high school
students in solving trigonometric reasons. 2009. 38 f. Completion of Work Course
(Graduate) - University of the State of Pará, Belém, 2009.
This research presents a study whose aim was to analyze diagnostic knowledge of
high school students about the reasons trigonometric. The subjects investigated were
59 students from 1st year of high school networks of public and private schools of the
city of Belém do Pará in the first two months of 2008. The data from this study were
obtained through the application of a questionnaire containing questions on the
subject. The results were organized into categories of errors and showed large
amounts of errors in mathematical operations.
Keywords: Why trigonometric, High School, teaching and learning.
8
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 01 – Função corda....................................................................................19
FIGURA 02 – Parte de uma tradução do Almagesto em latim, de 1451.................21
FIGURA 03 - Resposta do (a) aluno (a) A3..............................................................24
FIGURA 04 - Resposta do (a) aluno (a) A12.............................................................25
FIGURA 05 - Resposta do (a) aluno (a) A1...............................................................27
FIGURA 06 - Resposta do (a) aluno (a) A10.............................................................28
FIGURA 07 - Resposta do (a) aluno (a) A10.............................................................29
9
LISTA DE TABELAS
TABELA I - Categoria de erros e total de questões................................................24
10
SUMÁRIO
1 – APRESENTAÇÃO................................................................................................12
2 – PESQUISAS CORRELATAS SOBRE TRIGONOMETRIA..................................13
2.1 – Ensino e aprendizagem da trigonometria: novas perspectivas
da educação matemática – Maria José Briguenti (1994)........................13
2.2 – O uso de tópicos históricos da trigonometria como perspectiva
metodológica no ensino de 2º grau - Iran Abreu Mendes (1998)..........15
2.3 – Conhecimentos de Estudantes do Ensino Médio sobre Razões
Trigonométricas no triângulo retângulo – Dilvana Maria Melo (2005)...15
2.4 - Problemática da pesquisa.......................................................................16
3 – HISTÓRICO DA TRIGONOMETRIA....................................................................17
3.1 – HIPARCO...............................................................................................18
3.2 – CLÁUDIO PTOLOMEU..........................................................................20
4 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.............................................................22
4.1 – SUJEITOS INVESTIGADOS..................................................................22
4.2 – QUESTIONÁRIO APLICADO.................................................................22
4.3 – PROCEDIMENTO PARA COLETA DE DADOS....................................22
4.4 – CATEGORIAS........................................................................................23
4.4.1 - ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS........................................23
4.4.2 - ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES DA RAZÃO
TRIGONOMÉTRICA............................................................................23
4.4.3 - RESPOSTAS INCOMPLETAS............................................................23
4.4.4 - RESPOSTAS EM BRANCO................................................................23
5 – ANÁLISE DOS RESULTADOS ALCANSADOS..................................................24
5.1 – ANÁLISE DOS ERROS POR CATEGORIA...........................................24
5.1.1 – CATEGORIA 1 - ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS............24
5.1.2 – CATEGORIA 2 - ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES
DA RAZÃO TRIGONOMÉTRICA............................................................27
5.1.3 – CATEGORIA 3 – REPOSTAS INCOMPLETAS..................................28
11
5.1.4 – CATEGORIA 4 – RESPOSTAS EM BRANCO....................................29
6 – CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................30
6.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................30
6.2 – CONSIDERAÇÕES FINAIS....................................................................30
7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................31
8 – PESQUISAS ON LINE.........................................................................................33
APÊNDICES
12
1. APRESENTAÇÃO
Atualmente, a matemática tem sido tema de muita discussão e debate entre
professores, matemáticos, pesquisadores, pedagogos, entre outros profissionais da
área, para que haja, cada vez, mais uma proximidade entre a sala de aula e o
cotidiano do aluno. A respeito da importância de tal discussão sobre a matemática
no cotidiano, encontramos uma citação importante nos Parâmetros Curriculares
Nacionais-PCN‟s (1999) ao se referir a matemática “como um instrumento que ajuda
a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, além de desempenhar um papel
instrumental, visto que a mesma é uma ferramenta que serve para quase todas as
atividades da vida cotidiana”.
A escolha do assunto trigonometria para o desenvolvimento deste trabalho de
conclusão de curso deve-se ao fato deste ramo da matemática ter grande
aplicabilidade no dia-dia e em várias outras ciências.
Este foi um dos motivos que motivou-nos a optar pela realização deste
trabalho, iniciando-o com um breve contexto histórico a respeito de como surgiu e
como foi se aprofundando o estudo da trigonometria, até os tempos atuais. Após o
levantamento bibliográfico e dos dados históricos, foi realizada uma pesquisa de
campo com aplicação de questionários contendo questões subjetivas diretas e
problemas envolvendo as razões trigonométricas para 59 alunos do 1º ano do
Ensino Médio da rede Pública e da rede Particular de ensino da cidade de Belém do
Pará no primeiro bimestre de 2008, fazendo uma pesquisa direcionada a
compreensão da trigonometria pelos discentes de ambas as redes de ensino, e
assim analisar os principais erros cometidos por eles na resolução de questões
relacionadas ao seu dia-dia que envolvem o assunto aqui abordado.
Por fim foi realizado um trabalho de tabulação e análise dos dados
encontrados na aplicação dos questionários para os alunos da rede pública e da
rede particular de ensino da cidade de Belém, mais precisamente uma analise dos
erros cometidos por cada aluno, dividindo-os de acordo com uma categoria de erros.
13
2 – PESQUISAS CORRELATAS SOBRE TRIGONOMETRIA
Para melhor desenvolver este trabalho foi realizado um levantamento a
respeito de autores que já realizaram pesquisas sobre este tema, a trigonometria,
para verificar como está se dando o processo de ensino-aprendizagem a respeito
deste ramo da matemática. Ao realizar tal levantamento encontramos vários
trabalhos sobre o tema aqui desenvolvido, porém destacaremos apenas aqueles que
tiveram alguma similaridade com nosso trabalho, pelos contextos abordados pelos
mesmos, e por tratarem o assunto de forma semelhante com a abordagem que
fizemos.
2.1. Ensino e aprendizagem da trigonometria: novas perspectivas da educação
matemática – Maria José Briguenti (1994)
De acordo com sua experiência e prática em sala de aula a professora
Briguenti (1994) pôde perceber a dificuldade apresentada pelos alunos em relação á
trigonometria, com isso, resolveu elaborar métodos de ensino da trigonometria
através da educação matemática e das teorias de Piaget, Ausubel e Bruner,
propondo assim a construção do conhecimento pelo próprio aluno. A pesquisadora
resolveu realizar uma pesquisa com alunos de primeiro e segundo graus, atualmente
ensino fundamental e médio, em duas escolas públicas da cidade de Bauru – SP,
para a realização deste trabalho Briguenti(1994) teve como base a teoria de David
Ausubel, a teoria da assimilação de David Paul Ausubel, ou teoria da aprendizagem
significativa, é uma teoria cognitivista que procura explicar os mecanismos internos
que ocorrem na mente humana com relação ao aprendizado e à estruturação do
conhecimento. Contemporâneo de Piaget, Ausubel tem propostas que em alguns
pontos se assemelham às do biólogo suíço, mas que em outros se afastam
bastante.
Diferentemente de Piaget, cujo foco principal de pesquisa não era a
aprendizagem que ocorria na sala de aula, Ausubel concentra-se principalmente
nesta questão, de modo que dos seus trabalhos percebe-se uma proposta concreta
para o cotidiano acadêmico. Como Piaget, Ausubel acredita no valor da
aprendizagem por descoberta, mas volta a valorizar a aula do tipo expositiva, que
será o grande foco da sua pesquisa.
14
Neste sentido, o maior legado deixado por Ausubel é justamente o de técnicas e
reflexões acerca da aula do tipo “tradicional”, e do tipo de enfoque, cuidado e
trabalho ideais que um professor deveria ter neste contexto, no sentido de propiciar
o melhor aprendizado possível para seus alunos. A aprendizagem significativa tem
lugar quando as novas idéias vão se relacionando de forma não-arbitrária e
substantiva com as idéias já existentes. Por “não-arbitriedade” entende-se que existe
uma relação lógica e explícita entre a nova idéia e alguma(s) outra(s) já existente(s)
na estrutura cognitiva do indivíduo. Assim, por exemplo, entender o conceito do
termômetro só será de fato significativo para o indivíduo, se de alguma forma houver
uma clara relação entre este e o conceito de temperatura.
Na escola de Primeiro grau (ensino fundamental), a experiência foi
desenvolvida com 36 alunos da 8ª série (atual 9º ano) no turno da manhã, tal
trabalho foi aplicado durante duas semanas com duração de 6 horas/aulas.
Na escola de segundo grau (ensino médio), foi realizado um trabalho de 3
meses, com uma carga horária de 60 horas/aula, numa turma de 2º ano, com 29
aluno no turno da manhã.
Este trabalho trata sobre os alunos do ensino fundamental, o qual abordou a
trigonometria no triângulo retângulo com atividades propostas em duas folhas, a
pesquisa iniciou-se “salientando a importância das idéias de proporcionalidade e
semelhança para a resolução de problemas que aparecem no cotidiano” (p. 129).
Após esta atividade, foi entregue para os alunos uma folha xerocada, onde os
indivíduos investigados deveriam construir triângulos retângulos semelhantes, e
observar que a razão entre as medidas dos lados era constante e assim construir a
definição das razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo. Com o termino
dessa fase da pesquisa, inicia-se uma nova fase onde os alunos resolveram uma 2ª
folha de exercícios contendo 10 questões sendo as duas ultimas contextualizadas,
respectivamente sobre um foguete e um navio.
Por fim, a professora (pesquisadora) realizou uma entrevista coletiva com os
alunos, para que os mesmos fizessem suas considerações a respeito da pesquisa
realizada com eles. Assim, ela pode observar que a maioria dos alunos sentiram-se
motivados e que grande parte deles gostou da forma como o assunto foi abordado.
O trabalho da professora Briguenti (1994), foi de suma importância para a
realização de meu trabalho de conclusão de curso, por sua fundamentação teórica,
por seus aspectos históricos e por ser um trabalho semelhante ao que tentamos
15
fazer, aplicando questionário e entrevista aos alunos, por isso relatá-lo seria
inevitável.
2.2. O uso de tópicos históricos da trigonometria como perspectiva
metodológica no ensino de 2º grau - Iran Abreu Mendes (1998)
Para realizar o trabalho apresentado acima, o professor Iran Abreu relatou
que sentiu-se motivado pelo interesse apresentado pelos professores de matemática
de Natal – RN, tal estudo tem como base o aprofundamento histórico sobre a
trigonometria, o que contribuiu bastante também para a realização deste trabalho de
conclusão de curso.
O objetivo principal do trabalho de Mendes (1998) é utilizar a história da
trigonometria como uma estratégia alternativa para o ensino da mesma, para alunos
do 2º grau, propondo também, atividades de redescoberta para auxiliar na
construção de conceitos da trigonometria, cabendo assim ao professor, apenas a
função de orientar as atividades propostas aos seus alunos, onde o mesmo (aluno)
irá construir seu conhecimento através de seu raciocínio e da história por ele
pesquisada, aplicando-a na resolução de problemas práticos que a exigem.
No entanto, é reconhecido por Mendes (1998) que não basta apenas este
método para que o aluno possa ter a competência de resolver problemas, é
importante que se complemente a aprendizagem com atividades voltadas à fixação
ou com um uso adequado de recursos como o livro didático, afim de assim
desenvolver o conteúdo programático sugerido pela escola.
Este trabalho mostra principalmente a importância da base histórica, para que
possamos ter um melhor aproveitamento por parte do aluno “uma aprendizagem
significativa” e não apenas para este assunto, assim como para os demais, o que
mostra a importância do contexto histórico contido em nosso trabalho.
2.3.
Conhecimentos
de
Estudantes
do
Ensino
Médio
sobre
Razões
Trigonométricas no triângulo retângulo – Dilvana Maria Melo (2006)
Através da aplicação de questionários investigou as respostas de 37 alunos
do 2º ano do ensino médio de uma escola pública no Pará, cujo objetivo foi o de
verificar quais os conhecimentos destes sujeitos quanto às definições, às relações e
aos problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
16
A coleta de dados ocorreu por meio de um teste escrito. Os resultados,
indicam que os alunos não conseguem identificar corretamente, os elementos (lados
e ângulos) do triângulo retângulo e, consequentemente apresentam dificuldades nas
definições das razões trigonométricas. No que refere-se às relações trigonométricas,
os alunos não estabeleceram corretamente as relações entre os elementos, pois
escreveram as razões trocando termos ou utilizando termos desconhecidos.
2.4.
Problemática da pesquisa
Do nosso ponto de vista, a trigonometria, tema central desta pesquisa, serve
como base para os estudos em outras disciplinas do Ensino Médio, auxiliando o
aluno a ter uma aprendizagem significativa e possibilitando-lhe uma visão de onde
pode aplicar tal conhecimento em seu dia-dia.
O estudo da trigonometria no ensino médio, como qualquer outro ramo da
matemática,
consegue
adquirir
caráter
significativo,
quando
possibilita
o
desenvolvimento de habilidades consideradas significativas no que diz respeito à
leitura e interpretação de fatos reais que envolvem não somente os conhecimentos
matemáticos, mas as demais atividades da vida do aluno.
Apoiados nos estudos supracitados, levantamos como problemática de nossa
pesquisa a seguinte questão:

Qual o desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio em atividades que
envolvem os conhecimentos sobre trigonometria, especificamente as razões
trigonométricas?
Desse modo, nossa pesquisa visa contribuir para o ensino da trigonometria e
para isso nos propomos a analisar as dificuldades apresentadas por alunos do
ensino médio quando resolvem questões envolvendo as razões trigonométricas.
17
3. BREVE HISTÓRICO SOBRE A TRIGONOMETRIA:
No decorrer desta seção faremos uma breve explanação sobre a história da
trigonometria, sua origem e evolução, assim como também, sobre autores
importantes que ajudaram no desenvolvimento desta ciência, visto que ao meu
entender, é de vital importância saber de onde surgiu determinado conteúdo, para
que se possa ter uma aprendizagem significativa, visto que, hoje em dia um dos
grandes questionamentos por parte dos alunos é saber como surgiu, de onde surgiu
e principalmente para que serve tal assunto, ou seja, pra que eles estão estudando
este conteúdo.
Brolezzi (2000) faz referência a importância da história da matemática para o
ensino da mesma, mostrando que é de vital importância o uso deste recurso como
“algo” motivador, para que possamos revelar ao aluno o significado daquilo que
queremos ensinar.
Iniciaremos falando sobre o significado da palavra trigonometria, esta palavra
tem origem grega e seu significado é: TRI = três; GONO = ângulos ou lados e
METRIA = medida. Podemos ainda considerar que a palavra TRIGONOMETRIA
vem do grego TRIGÕNON que significa triângulo e METRUN, que significa medida.
Logo podemos entender que trigonometria significa medida dos lados e ângulos de
polígonos de três lados, ou dos triângulos. Na antiguidade os egípcios e os
babilônios a chamavam de TRILATEROMETRIA, pois a entendiam apenas como
medidas dos lados.
A trigonometria desenvolveu-se a partir da necessidade do homem, em
calcular medidas de distancias impossíveis de serem calculadas diretamente, esses
cálculos podiam ser encontrados na Astronomia, na Navegação e na Agrimensura
entre outros, hoje em dia, porém, sabemos que a trigonometria pode ser relacionada
a outras ciências como a Física e a Engenharia.
No ramo da astronomia, entretanto, encontram-se os primeiros vestígios de
cálculos envolvendo relações trigonométricas, tendo destaque nessa área do
conhecimento o maior astrônomo grego da antiguidade que se tem conhecimento:
HIPARCO (Séc. II a.C.) que segundo alguns historiadores e o conhecimento que
chegou até nossos dias, foi o responsável pelos primeiros cálculos envolvendo
relações trigonométricas, foi ele quem introduziu na Grécia o círculo em 360º, e seu
papel para o desenvolvimento da trigonometria foi de vital importância para a
18
trigonometria que conhecemos atualmente. Hiparco também é responsável pela
construção da primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de doze cordas, a
qual Hiparco utilizou para seus estudos em Astronomia, evidentemente.
3.1 - Hiparco
Foi copilada a primeira tabela trigonométrica pelo astrônomo
Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.), que assim ganhou o direito de
ser chamado O Pai da Trigonometria. Aristarco sabia que num
dado circulo a razão do arco para a corda diminui quando o arco
diminui de 180º para 0º, aproximando-se do limite l. Antes de
Hiparco ninguém tinha tabulado valores correspondentes do arco e
da corda para toda uma série de ângulos. (BOYER, 1974, p. 118).
Não se sabe ao certo, como Hiparco construiu tal tabela, pois suas obras
perderam-se com o tempo e algumas atualmente nem existem mais. “É provável
que seus métodos fossem semelhantes aos de Ptolomeu”(BOYER, 1974).
O comentador Têon de Alexandria (século IV) atribuiu a Hiparco
um Tratado em doze livros que se ocupa da construção de Tábuas
de Cordas posterior, devido a Cláudio Ptolomeu, que fornece os
comprimentos das cordas dos ângulos centrais de um circulo
dado, de ½º a 180º, pode ter-se baseado na de Hiparco. Divide-se
o raio do circulo em 60 partes e se expressam os comprimentos
das cordas sexagesimalmente em termos dessas partes.(EVES,
1997, p. 203).
Há uma justificativa para que Hiparco tenha divido o raio em 60 partes, essa
justificativa pode ser encontrada em CARMO (1992):
19
Todos os matemáticos gregos que eram obrigados em seus
trabalhos a efetuar cálculos com frações, utilizavam as frações
sexagesimais babilônias, devido à facilidade com que elas
introduziam em seus cálculos, daí a razão de raio de comprimento
60. (CARMO, 1992. p. 103).
Hiparco também é responsável pela criação de uma função trigonométrica,
denominada hoje em dia de Função Corda (dado um circulo de raio R, a função
corda associa a cada ângulo “alfa” de vértice no centro do circulo, o valor da medida
da respectiva corda geométrica). (EVES,1997). Por esses e outros feitos
relacionados a Trigonometria, Hiparco é considerado por muitos como o Pai da
Trigonometria.
Figura 01 – Função Corda
Após Hiparco, com sua notável contribuição para o surgimento e o avanço da
Trigonometria, falarei um pouco a respeito do autor da maior e mais importante obra
da trigonometria na antiguidade; Cláudio Ptolomeu (87 – 151), autor de um tratado
composto por treze livros, denominado ALMAGESTO (SINTAXIS MATHEMÁTICA).
Almagesto significa em árabe “A Maior”, pois era considerada a maior obra existente
na época pelos árabes.
20
3.2 - Cláudio Ptolomeu
“As obras de Autólico, Euclides, Ipsicle e Aristóteles em Astronomia, juntas,
formavam Coleção Menor de Astronomia, a obra de Ptolomeu era a Coleção Maior,
e as duas juntas eram indispensáveis para se entender o legado do astrônomo da
antiguidade grega” (LORIA, 1982).
No primeiro livro do Almagesto, Ptolomeu descreve informações preliminares
a respeito da matemática, tais informações eram indispensáveis para se investigar
os fenômenos celestes daquela época. Os conteúdos abordados nesse primeiro
capítulo falam sobre proposições de geometria esférica, métodos de calculo, uma
tábua de cordas e explicações sobre os diferentes corpos celestes.
Nos capítulos 10 e 11 do primeiro livro, Ptolomeu faz uma abordagem a
respeito da trigonometria, no capitulo 11 ele mostra uma tabela de cordas e no
capitulo 10 ele ensina como calcular essa tabela de cordas, os demais livros
dedicam-se ao estudo da Astronomia.
A função corda do arco x era definida como sendo o
comprimento da corda que corresponde a um arco de x graus
em um círculo cujo raio é 60. Assim, na tabela de cordas de
Ptolomeu existiam três colunas; a primeira listando os arcos, a
segunda o comprimento da corda correspondente a cada arco
e a terceira que dava o aumento médio de crd x
correspondente a um acréscimo de um minuto em x. esta
coluna era usada para interpolações, isto é, para achar o valor
de crd x se x estivesse entre duas entradas na coluna de arcos
(COSTA, 2003, p. 63).
21
No Almagesto encontramos:
a) Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de meio em meio
grau, de 0º a 180º;
b) O uso da base 60, com a circunferência dividida em 360º e raio em 60 partes e
frações sexagesimais não só para expressar ângulos mais para qualquer tipo de
calculo, com exceção dos de medida de tempo;
c) O resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD
é um quadrilátero convexo inscrito num circulo, então a soma dos produtos dos
lados opostos é igual ao produto das diagonais.
Figura 2
Parte de uma tradução do Almagesto em latim, de 1451.
Esse estudo histórico fez-se importante em nosso trabalho, pois contribuiu
para que compreendêssemos melhor as dificuldades apresentadas pelos alunos
investigados, além disso, possibilitou aprofundar nossos conhecimentos acerca do
tema investigado contribuindo para nossa formação.
22
4 . PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
4. 1. Sujeitos investigados
Os sujeitos participantes de nossa pesquisa foram 59 alunos do 1º ano do Ensino
Médio da rede Pública e da rede Particular de ensino da cidade de Belém do
Pará, com faixa etária entre 15 e 17 anos.
4. 2. Questionário aplicado
O instrumento de coleta de dados utilizado em nossa pesquisa foi um
questionário (APENDICE A) contendo 6 questões envolvendo os conteúdos sobre
razões trigonométricas. A primeira questão foi dividida em 4 itens, os quais
destinavam-se a calcular o valor de x para se determinada a medida do lado do
triangulo indicado. A segunda questão contém 2 problemas de aplicação do referido
tema em situações cotidianas.
4.3. Procedimento para coleta de dados
A aplicação do questionário ocorreu em situação de sala de aula em horário
combinado com os professores de matemática das turmas investigadas. Em contato
com os alunos avisamos que o questionário deveria ser respondido individualmente.
O tempo médio utilizado para resolver as questões aplicadas foi de 30 minutos.
Ao obtermos os resultados apresentados pelos alunos investigados optamos
por realizar nossas análises considerando os tipos de erros cometidos por estes
sujeitos. Esses erros foram organizados em categorias as quais serão descritas a
seguir.
23
4.4. Categorias:
Ao realizar a correção das questões presentes nos protocolos dos alunos
investigados, foi possível observar diversos tipos de erros, os quais foram
considerados nas análises de resultados de nossa pesquisa.
Os erros analisados foram organizados em 4 categorias pelo fato de serem
encontrados
regularmente
nas
respostas
encontradas
pelos
estudantes
investigados.
Para elaboração destas categorias nos baseamos no trabalho de
Melo (2005) e , o qual também analisou os tipos de erros cometidos por alunos ao
resolverem questões envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
4.4.1. CATEGORIA 1: ERRO NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS:
Identificamos como erro nas operações matemáticas, quando o aluno não
efetua de modo correto uma operação matemática (adição, subtração, multiplicação
e divisão) ou suas proposições apresentando assim um resultado incorreto do ponto
de vista matemático.
4.4.2. CATEGORIA 2: ERRO DE INVERSÃO DOS VALORES DA RAZÃO
TRIGONOMÉTRICA:
Levamos em consideração como erro de inversão dos valores da razão
trigonométrica as situações em que o aluno não modela corretamente o contexto
verbal do problema nas razões seno, cosseno ou tangente.
4.4.3. CATEGORIA 3: RESPOSTAS INCOMPLETAS:
As respostas incompletas foram consideradas como sendo todas as situações
em que modela corretamente a razão trigonométrica, mas não consegue apresentar
a conclusão do problema.
4.4.4. CATEGORIA 4: RESPOSTAS EM BRANCO:
Consideramos como respostas em branco quando nenhuma informação foi
identificada nas questões aplicadas.
24
5. ANÁLISE DOS RESULTADOS ALCANÇADOS
Apresentaremos a seguir a análise dos resultados alcançados nessa pesquisa
a partir da aplicação do questionário, levando em consideração os tipos de erros
realizados pelos sujeitos investigados na resolução das questões envolvendo as
razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Tabela 1 - categoria de erros e total de questões:
CATEGORIA DE ERROS
TOTAL DE QUESTÕES
Erros nas operações matemáticas.
21
Erros nas inversões de valores da
razão trigonométrica.
Respostas incompletas.
12
Respostas em branco.
19
07
5.1. ANÁLISE DOS ERROS POR CATEGORIA
5.1.1 CATEGORIA 1: Erro nas operações matemáticas.
As analises dos protocolos dos sujeitos investigados possibilitou-nos inferir
que esse tipo de erro foi freqüente entre os alunos.
As respostas apresentadas pelos alunos (as) A3, A12, A21, entre outros,
evidenciam tal dificuldade, como a apresentada na alternativa C da questão 1.
Figura 3: Resposta do (a) aluno (a) A3
25
Ao observar a produção escrita do aluno A3 podemos evidenciar que o
mesmo comete vários erros em relação a estrutura matemática, a começar pelas
relações seno e cosseno do angulo x, observamos que o mesmo aplicou a mesma
razão, tanto para o seno quanto para o cosseno, e não fez a relação correta entre
os catetos oposto e adjacente, podendo ser classificado na classe de erro de
inversão de valores, e na seqüência observamos que o mesmo comete um erro de
operação matemática quando aplica de forma incorreta a simplificação das frações
com radical no numerador e no denominador encontrando como respostas para o
seno e o cosseno de x o valor √2, e nem preocupa-se em analisar as respostas
encontradas.
Percebemos também esse tipo de erro na resposta do aluno A12,em relação a
questão 1a, observamos que o problema do mesmo encontra-se mais precisamente
na 7ª série do ensino fundamental, no conteúdo produtos notáveis. Observe a figura
4 a seguir que se refere a produção escrita do aluno A12.
Figura 4: Resposta do(a) aluno(a) A12.
Ao observar a resposta do aluno A12 observamos que o mesmo consegue
perceber a relação existente sobre no triângulo a respeito do Teorema de Pitágoras,
porém o erro encontra-se no momento em que o mesmo irá fazer a substituição dos
valores, onde o aluno acaba invertendo o papel da hipotenusa com um dos catetos,
erro este que pode ter ocorrido pelo fato de que o aluno ao ver o x isolado em um
dos lados do triângulo, fez com que o aluno tivesse a falsa impressão de que aquele
seria o valor do lado referente a hipotenusa. Fazendo assim a seguinte
representação:
26
X2 = (x + 3)2 + (x +6)2
Quando a substituição dos valores correta segundo a representação figural
mostrada na figura seria a seguinte:
(x +6)2 = (x + 3)2 + X2 ou (x +6)2 = X2 + (x + 3)2
Este erro também poderia ser considerado como um erro de inversão de
valores, porém o que caracteriza este erro como um erro de operação matemática
cometido pelo aluno A12 nesta questão, é quando o mesmo tenta desenvolver as
expressões (x +6)2 e (x + 3)2, que para as estruturas matemáticas representam
quadrados da soma de dois termos.
Observamos que o aluno desenvolve esses quadrados da seguinte forma:
(x +6)2 = 2x + 12
e
(x + 3)2 = 2x + 6;
Onde podemos perceber nitidamente que o aluno ao elevar a variável x ao
expoente 2, obtém como resultado o valor 2x, e ao elevar os valores 6 e 3, também
ao quadrado ele obtém 12 e 6 como respostas, respectivamente, causando assim
um erro no ponto de vista da estrutura matemática. Percebemos então, que o aluno
ao invés de aplicar as leis dos produtos notáveis, mais precisamente do quadrado
da soma, como foi citado anteriormente, acabou por multiplicar as bases com os
expoentes, sem ao menos aplicar a potenciação aos mesmos.
A forma correta no ponto de vista matemático para a resolução deste
problema seria:
(x +6)2 = x2 + 2.x.6 + 62 → x2 + 12x + 36
(x + 3)2 = x2 + 2.x.3 + 32 → x2 + 6x + 9.
O que evidência que o aluno em questão além de não saber trabalhar
corretamente com as potências, não teve uma boa base com relação aos produtos
27
notáveis, fazendo assim, com que o mesmo não pudesse reconhecer que os
cálculos apresentados no problema tratavam de quadrados da soma.
5.1.2. CATEGORIA 2: Erro de inversão dos valores da razão trigonométrica.
Ao observar os questionários respondidos pelos alunos, encontramos
freqüentes erros também em relação a esta categoria, onde alunos trocavam seno
por cosseno, por exemplo.
Pudemos evidenciar esse tipo de erro nas respostas apresentadas pelo aluno
(a) A1, entre outros, na alternativa A da questão 1.
Figura 5: Resposta do(a) aluno(a) A1.
Na questão 1a em analise, é dada a figura referente a questão, podendo
assim observar que a razão a ser usada, de acordo com o raciocínio que o aluno A1
tentou desenvolver, seria a razão seno, que é definida, como sendo a razão entre o
„‟cateto oposto sobre a hipotenusa‟‟, o desenvolvimento do individuo investigado até
a 2ª linha está de acordo com a estrutura matemática e com a intenção que o
mesmo teve em tentar representar a razão seno, visto que o seno e o cosseno de
45º possuem valores congruentes, porém o mesmo caracteriza como cosseno a
razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, tendo assim, um erro de inversão de
valores.
Observamos ainda que o aluno A1 no término da questão, na antepenúltima
linha, mais precisamente, fez algumas simplificações, „’cortes‟‟, que não estão de
acordo com as estruturas matemáticas que conhecemos, encontrando assim um
valor referente a X que não se enquadra no valor real procurado na questão.
Por fim, o aluno A1 obtém como resposta X = √2 † √2, na forma de fração
deixando a questão incompleta no ponto de vista matemático, mesmo, encontrando
28
um valor para X que não corresponde ao valor procurado, visto que o correto seria
racionalizar a fração cujo denominador é um número irracional, podemos então
classificá-lo ainda, na classe de respostas incompletas, as quais veremos a seguir.
5.1.3. CATEGORIA 3: Respostas incompletas.
Foi verificado, nos questionários aplicados, que as respostas de alguns dos
indivíduos investigados estavam de forma incompleta, ou seja, os alunos
começavam a resolver a questão, mas paravam em certa parte, deixando-a sem
resposta.
Esse tipo de erro pode ser melhor evidenciado na resposta do aluno (a) A 10,
também encontrado na alternativa A da questão 1.
Figura 6: Resposta do (a) aluno (a) A10.
Seguindo o raciocínio de que questão incompleta é aquela onde o aluno
inicia seu raciocínio matemático e não consegue completá-lo, podemos observar
que na produção escrita do aluno A10, a questão 1a não está completa, causando
assim a inclusão de sua resposta na classe de questões incompletas.
Podemos observar por meio da produção escrita do aluno investigado que o
mesmo tenta fazer uso do Teorema de Pitágoras, o qual pode ser considerado o
caminho mais prático para a resolução do problema em questão, observamos que o
aluno faz corretamente o destaque na figura dos catetos e da hipotenusa, porém no
momento de substituir esses valores ele acaba fazendo-o de forma incorreta,
atrapalhando assim seu raciocínio, o que deve ter colaborado para que o mesmo se
desmotiva-se em prosseguir com o término da questão e encontrar assim um
resultado conveniente de acordo com as estruturas matemáticas.
29
5.1.4. CATEGORIA 4: Resposta em branco.
Analisando as respostas dos alunos investigados, encontramos num total de
19 respostas que não foram ao menos iniciadas pelos mesmos, sendo assim
consideras como respostas em branco, as mesmas foram encontradas em vários
questionários, como por exemplo, nos problemas A e B da 2ª questão, deixada em
branco pelo aluno (a) A11.
Figura 7: Resposta do (a) aluno (a) A10.
30
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
6.1. introdução
Nesta seção apresentaremos as conclusões obtidas após o termino do
trabalho, onde fica claro o diagnóstico feito por mim sobre a aplicação dos
questionários e levantamentos bibliográficos realizados e posto aqui, em pratica,
realizando assim as considerações finais a respeito deste trabalho de conclusão de
curso.
6.2. Considerações finais:
Nosso trabalho teve como objetivo analisar o desempenho de alunos do 1º
ano do ensino médio em atividades que envolvem os conhecimentos sobre
trigonometria, especificamente as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Após as análise dos resultados encontrados podemos observar que grande
parte dos erros cometidos pelos alunos estão relacionados as operações
matemáticas, visto que muitas vezes o aluno até conhece as razões seno, co-seno
e tangente e sabe iniciá-las de forma correta no ponto de vista matemático, porém
na
hora
de
desenvolver alguns problemas relacionados a
trigonometria,
principalmente os problemas contextualizados e sem a presença da figura o
individuo acaba realizando as operações matemáticas de forma errônea que não
condiz com o modelo correto sob o ponto de vista matemático.
Apesar do número de sujeitos investigados em nossa pesquisa ser
relativamente pequeno, foi possível obter indicações significativas a respeito do
processo de ensino e aprendizagem das razões trigonométricas no triângulo
retângulo. Tais indicações nos levam a refletir que se faz necessário algumas
mudanças na forma como os conteúdos matemáticos vêm sendo trabalhados em
sala de aula para que desse modo estratégias pedagógicas inovadoras sejam
criadas possibilitando aos alunos uma aprendizagem significativa dos tópicos
matemáticos estudados.
31
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BICUDO, M.A.V. Pesquisa em educação matemática: concepções & perspectivas.
São Paulo: UNESPE, 1999.
BOYER, C., R. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide e Edgar Blucher.
São Paulo: Edusp, 1974.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF,
1999.
BRIGUENTI,M.J.L.
Ensino
e
aprendizagem
da
trigonometria:
novas
perspectivas da educação matemática. Dissertação de mestrado, UNESP - Rio
Claro, 1994.
CARMO, M. P. do et al. Trigonometria e números complexos. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1992.
COSTA, N. M. L. A história da trigonometria. In: Educação Matemática em
Revista. São Paulo, ano 10, nº 13.
EVES, H. Introdução à historia matemática. 2 ed. São Paulo: Unicamp, 1997.
GIOVANNI & G. JR. Matemática pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2000.
KENNEDY, E. História da trigonometria. São Paulo: Atual, 1992.
SILVA, D.M.M. & THOMAZ NETO, M.O. Conhecimentos de Estudantes do
Ensino Médio sobre Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. In Anais
do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação - Centro de
Educação. Universidade Federal de Pernambuco, 2006. 1 CD-ROM
32
MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas.
(Mestrado em Educação). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte,
1997.
MENDES, Iran Abreu. O uso de tópicos históricos da trigonometria com
perspectivas metodológicas no ensino de 2º grau. Dissertação de
mestrado
em desenvolvimento. Natal: UFRN – RN, 1998.
MORI, I. Matemática: Idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2002.
NETTO, S. P. Matemática: Conceitos e histórias. 2ª ed. São Paulo: Scipione, 1995.
REVISTA NOVA ESCOLA – Edição Especial. Parâmetros curriculares nacionais
fáceis de entender. São Paulo: Abril, 2002.
33
8 - PESQUISAS ON-LINE:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Almagesto
http://greciantiga.org/ini/ini02-2.asp
http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/ptolomeu.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hiparco
http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/hiparco.htm
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/historia/historia_trigonometria.htm
http://anamixa.tripod.com/id9.html
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/historia.htm
34
APÊNDICE
35
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Caro aluno,
Este questionário visa obter informações para a formulação de
propostas de melhoria de ensino da matemática. Por este motivo, solicitamos que
você preencha este questionário, com tranqüilidade, pois, sua identidade será
preservada. Desde já agradeço a sua colaboração.
DADOS PESSOAIS:
1 – Escola (onde você estuda): ______________________________________
2 – Série: _____
( ) Particular
( ) Pública.
3 – Idade: _____
4 – Você trabalha? ( ) Sim
( ) Não
Onde?_____________________
Resolva as questões abaixo de acordo com seus conhecimentos em trigonometria,
vistos na 8ª série do ensino fundamental.
1) Nos triângulos abaixo, encontre as medidas que se pede:
a)
C
45º
x+6
X
A
B
x+3
36
b)
D
x
E
30°
F
8
c)
G
10
y
5
x
H
M
d)
10
F
45º
x
J
37
2) Resolva os problemas abaixo de acordo com seus conhecimentos em
trigonometria do triângulo retângulo, utilizando seno co-seno ou tangente:
a) Uma arara está pousada no ponto mais alto de uma árvore de 19,5m de
altura. Ela é observada por um garoto de 1,5m de altura. Que se encontra
afastado 18m da árvore. Determine o ângulo sob o qual o garoto observa a
arara.
b) (UFSM-RS) Uma torre vertical, construída sobre um plano horizontal, tem
25m de altura. Um cabo de aço, esticado, liga o topo da torre ao plano,
fazendo com este um ângulo de 60º. Qual o comprimento do cabo de aço?
38
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Av. Djalma Dutra s/n
66030-010 Belém - PA