- Aula 6 Visualização 3D: Projeções
Visualização 3D
Modelo geométrico
Imagem
Pipeline de
visualização
Modificado de M.M. Oliveira
Visualização 3D
y
y
z
z
x
x
• Projeção ortográfica x projeção perspectiva
Projeções paralelas e perspectiva
Projeções
• Pontos em Rn  Rn-1
• Projeção definida por linhas
projetoras ou projetantes
– partem de um centro de
projeção
– atravessam cada ponto que
define um objeto e
– interceptam uma superfície de
projeção
Projeções
• Usualmente em Computação Gráfica:
– projeções planares: superfície de projeção é plana
– projeções geométricas: linhas projetoras são representadas por
retas
• Tipos (Paralela ou Perspectiva)
Paralela
A
A
A
A
B
B
Centro de
projeção
no infinito
Centro de
projeção
Perspectiva
B
B
Taxonomia das projeções
Projeções geométricas planares
Paralela
Ortográfica
Perspectiva
Oblíqua
1 ponto
Cavaleira
2 pontos
Axonométrica
Cabinet
Isométrica
3 pontos
Elevações
Projeção Paralela Ortográfica
• Caso mais simples de projeção paralela
3D
2D
(x,y,z)
(x,y)
(x,z)
(y,z)
Projeção Paralela
Ortográfica
Oblíqua
Axonométrica
Cabinet
Cavaleira
Isométrica
Elevações
• Especificada pela direção
de projeção e não por um
ponto
– Centro de projeção no
infinito
Oblíqua
Ortográfica
A
A
A’’
A
Centro de
projeção
no infinito
B
B
B
Centro de
projeção
no infinito
B
Tipos de projeção: paralela
Y
Z
• Projeção paralela ortográfica
SRC
X
Paralela
 P’= projeção de P = (x,y,z) no
plano XY
 P’= (x,y,0)
Projeção Paralela Ortográfica
Y
Z
Projetante
SRC
X
Y
P’= (xc, yc, 0)
P = (xc, yc,zc)
Z
Vistas ortográficas
• Mais comuns
–
–
–
Front-elevation
Side-elevation
Plan-elevation
• Direção de projeção
paralela a um dos eixos
principais (x, y, z)
• Plano de projeção
perpendicular ao eixo
Projeções paralelas ortográficas axonométricas
• Plano de projeção NÃO é perpendicular a um dos eixos
principais
• Amostra várias faces do objeto ao mesmo tempo
• É preservado o paralelismo entre as linhas
• Não são preservados ângulos entre as linhas
• Distâncias podem ser medidas ao longo dos eixos
principais (considerando fatores de escala)
Isométrica
• Projeção axonométrica mais comum
– Normal do plano de projeção equidistante aos 3 eixos
principais
• Ângulos com os eixos são preservados
• Apenas 8 direções satisfazem essa condição
y
y
Normal
120º
120º
120º
x
Plano de
projeção
x
z
x
Ângulos entre os 3 eixos são iguais
Projeções paralelas ortográficas
Projeção paralela oblíqua
• Normal ao plano de projeção difere da direção de projeção
• Normalmente, o plano de projeção é perpendicular a um dos
eixos principais
– Usada frequentemente em ilustrações de livros (fácil de desenhar)
Normal
Paralela ao eixo x
y
x
Plano de
projeção
z
Projeção paralela oblíqua
Geometria de projeções oblíquas
y
L.sin 
(xp,yp)

L
(x,y,z)
x

(x,y,0)
L.cos 
• Plano de projeção: x,y
• Direção de Projeção
• : ângulo entre a linha
projetada e a direção de
projeção
•  é o ângulo com a horizontal
• Comprimento L depende do
ângulo  e da coordenada z do
ponto a ser projetado:
tan =z/L
L = z/(tan ) = z.l
onde l é o inverso de tan 
z
xp = x + L.cos  = x + z.l.cos 
yp = y + L.sin  = y + z.l.sin 
Hearn & Baker pag 442
Geometria de projeções oblíquas
x p  x  z (l cos  )
y p  y  z (l sin  )
e
1
0
M ob  
0

0
0 l cos
1 l sin 
0
0
0
0
• Algumas projeções típicas
–  = 90o (projeção ortográfica)
– =30o ou 45o (tan =1) (projeção cavaleira)
– =63.4o (tan =2) (projeção cabinet)
0
0
0

1
Projeção paralela oblíqua
• A direção de projeção determina o fator de
redução das arestas perpendiculares ao plano de
projeção
1
1
1
1/2
1
1


Cabinet
Cavaleira
Perspectiva
• Primeira pintura em
perspectiva
– Trinity with the Virgin, St.
John and Donors
– Masaccio, 1427
Projeção perspectiva
• Definição:
– plano de projeção e
– centro de projeção
• Propriedades:
– tamanho da projeção de um
objeto varia inversamente com
a distância ao centro de
projeção
– Linhas paralelas, em geral, não
são projetadas paralelamente
– Ângulos só são preservados
nas faces paralelas ao plano
de projeção
– Distâncias não são
preservadas
Perspectiva
y
Normal
Paralela ao eixo x
z
Plano de
projeção
x
Projeção perspectiva
Y
Z
Centro da
Projeção
Projetante
SRC
X
1-point perspective
• Plano de projeção corta
apenas um eixo
1-point perspective
• A painting (The
Piazza of St.
Mark, Venice)
done by
Canaletto in
1735-45 in onepoint perspective.
2-point perspective
y
z
x
Plano de projeção
2-point perspective
3-point perspective
3-point perspective
• City Night, 1926
– Georgia
O'Keefe
• Acrescenta pouco em
relação a perspectiva com
2 pontos de fuga
y
z
Plano de projeção
x
Projeção perspectiva – caso mais simples
Centro de projeção na origem,
Plano de projeção em z=d.
Plano de
projeção
y
P(x,y,z)
x
Pp(xp,yp,d)
d
z
Projeção perspectiva – caso mais simples
x
From similar triangles:
xp
x yp y
 ;

d
z d
z
P(x,y,z)
xp
z
dx
x
dy
y

; yp 

z
z/d
z
z/d
d
y
yp
y
P(x,y,z)
x
z
xp 
Pp(xp,yp,d)
d
d
z
P(x,y,z)
Ponto como matriz coluna (pós-multiplicação)
Escalas, Rotações
Translações
x’
y’
z’
w’
=
a
b
c
0
d
e
f
0
g
h
i
0
dx
dy
dz
1
x
y
z
1
Projeções
Determinar a matriz perspectiva.
Projeção perspectiva
x’
1
0
0
0
y’ =
0
1
0
0
z’
0
0
1
0
z
w
0
0 1/d 0
1
w = z/d
XP = x’ / w
YP = y’ / w
ZP = z’ / w = d
x
.
y
Atenção!
Esta formulação é para
centro de projeção na
origem.