NOTAS DE AULA – INTRUDUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
59
Biodinâmica
4.1
CINEMÁTICA DO CORPO
HUMANO
a. Cinemática linear
No corpo humano em movimento usaremos
as equações cinemáticas de movimento linear
uniaxial. A Análise Cinemática é baseada na
relação entre a posição, sua primeira derivada
(velocidade),
e
sua
segunda
derivada
(aceleração). Estas são quantidades vetoriais,
e assim para movimento uniaxial, nós
definimos um eixo de coordenada (como x)
ao longo do qual o movimento acontece.
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Os parâmetros da cinemática pertinentes
serão
então
definidos
nesta
direção.
Movimento linear uniaxial (ou translação)
refere-se ao movimento que acontece ao
longo de uma linha reta. Há muitas situações
nas quais o movimento de objetos só ocorre
em uma direção. Um exemplo é o de um carro
que é dirigido para cima em uma estrada reta
de uma colina uniformemente inclinada.
Outro exemplo poderia ser o de um esquiador
ao longo de um percurso reto em uma colina
uniformemente descendente. Estes exemplos
ilustram
que
não
há
necessidade
do
movimento ser puramente vertical, nem
puramente horizontal, mas também pode ser
inclinado.
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A
equação
básica
cinemática
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para
o
movimento uniaxial linear (ou translacional) é
derivada da definição de velocidade e
aceleração:
dx
;
dt
a
v
=
=
dv
dt
(1,2)
Um tipo de movimento translacional acontece
quando aceleração uniforme é aplicada a um
objeto de forma que a aceleração permaneça
constante em relação ao tempo. Se a0
representa a aceleração constante, e o v0 a
velocidade inicial (em t0 = 0), então a
velocidade (v) em qualquer ponto no tempo
(maior que t0) é obtida integrando equação (2)
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v
= v0 + a 0 t
(3)
Finalmente, se a posição inicial do objeto (x0)
também é conhecida, a posição do objeto em
qualquer tempo t (maior que t0) pode ser
achada através da substituição de (1) na
equação (3) e integrando:
x
1 2
= x0 + v0t + a0t
2
(4)
Quando a aceleração for constante, podemos
derivar uma relação entre deslocamento,
velocidade e tempo, rearranjando equação (3)
para a0, substituindo esta expressão então em
equação (4), e rearranjando então para x:
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x
1
= x0 + ( v + v0 )t
2
(5)
Finalmente, podemos derivar a relação entre
velocidade, aceleração e deslocamento rearranjando equação (3) para t, substituindo esta
expressão na equação (4), e rearranjando
então para v²:
v = v + 2a ( x − x )t
2
2
0
0
0
(6)
Equações (3)-(6) representam as quatro
equações da cinemática que descrevem o
movimento uniaxial linear de um objeto
quando a aceleração for constante.
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Dois tipos comuns de movimento para o qual
estas expressões de cinemática são úteis são a
queda livre e também deslizando.
Um exemplo muito comum do movimento
de um corpo sujeitado a aceleração constante
acontece quando o corpo cai verticalmente ao
chão. É dito que o objeto experimenta queda
livre. Na ausência de resistência de ar, todos
os objetos estão sujeitos a uma aceleração
gravitacional constante de forma que a = g
nas equações (3), (4), e (6). Lembre-se que g
é um vetor, e assim tem que seguir a
convenção de sinal aplicada às outras
quantidades
vetoriais
que,
(deslocamento) e v (velocidade).
são
x
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Deslizar
é
outro
exemplo
comum
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de
movimento uniformemente acelerado. Na
ausência da resistência frictional da superfície
(e na ausência de resistência do ar), deslizar
pode ser visto como queda livre inclinada
(contrastado a queda livre vertical que vimos
acima). O objeto ainda está sujeitado à
aceleração
gravitacional
constante
(g)
verticalmente descendente, mas o movimento
linear do objeto é ao longo de um eixo
inclinado. Quando este eixo é inclinado com a
horizontal de ângulo θ, o objeto está sujeitado
a uma aceleração constante (a0) que é uma
função daquele ângulo.
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EXEMPLO 4.1
a. Ache uma expressão para a aceleração (a)
de um corpo que desliza para baixo numa
superfície diagonal sem atrito e inclinada de
um ângulo θ. O corpo tem massa m e no seu
centro de massa age verticalmente para baixo
a constante gravitacional g.
b. Exemplo 4.l a repetido para um corpo que
desliza para cima na superfície diagonal.
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SOLUÇÃO 4.1.a
Desenhe o diagrama de corpo livre do corpo
descendo em uma linha direta diagonal.
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Neste caso o corpo está se movendo uma
direção de uniaxial (x) orientada para a direita
e para baixo. É util fazer o eixo vertical
positivo descendente (g é positivo).
Para a força (FT):
Ft = Fp (já que a superfície não tem atrito)
W = m. g
(i)
Ft = W . senθ
(ii)
Substituindo (i) em (ii)
Ft = m. g senθ
(iii)
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Pela segunda lei de Newton:
a
Ft
=
m
(iv)
Portanto:
a= g senθ .
(v)
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SOLUÇÃO 4.1.B
Desenhe o diagrama de corpo livre, e
mantenha a mesma convenção de sinais:
Para a força (FT):
Ft =- Fp (já que a superfície não tem atrito)
W = m. g
(i)
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Ft = -W . senθ
71
(ii)
Substituindo (i) em (ii)
Ft =- m. g senθ
(iii)
Pela segunda lei de Newton:
a
Ft
=
m
(iv)
Portanto:
a= -g senθ .
(v)
Aplicação de HFE: Um engenheiro de
fatores humano freqüentemente considerará
vários modos para o subsistema humano
interagir com o subsistema desempenho do
sistema tecnológico-humano.
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EXEMPLO 4.2
Uma parte de um equipamento de playground
(um escorregador) está sendo considerado
para instalação em um local conhecido por
invernos muito frios. Na Figura 4.1 estão as
dimensões
do
escorrega
(onde
M
=
comprimento em metros). É previsível que
em alguns dias um pouco de gelo possa cobrir
as grades laterais e superfície corrediça, de tal
forma que haverá zero coeficiente de fricção
(ν = 0). Se a maior criança previsível tem
uma massa de 30 kg, e a velocidade inicial
dela no topo do escorregador é zero, quão
rápido estará a criança quando alcançar a
parte mais baixa?
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Figura 4.1 Criança deslizando para baixo
numa superfície diagonal sem atrito inclinada
a um ângulo θ.
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SOLUÇÃO 4.2
Referindo-se a Figura 4.1 com as dimensões
pertinentes,
o
comprimento
xf
do
deslizamento é:
2.6 m
cos θ =
xf
2.6 m
xf =
= 3.0 m
cos(30º )
(i)
Usando a convenção de sinal positiva
descendente, com a origem ao topo do
deslizamento:
x0 = 0
(ii)
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Também dado no problema:
v0 = 0
(iii)
Da equação 4.1 (a) (v):
a0 = g ⋅ senθ
Equação
usando
(iv)
(6)
resolver
para
v
velocidade
2
f
a
final:
= v 02 + 2a 0 ( x f − x 0 )
(v)
v
Substituindo (i), (ii), (iii), e (iv) em (v):
2
f
= 2 ⋅ g ⋅ senθ ⋅ x
f
(vi)
Substituindo os valores e resolvendo:
vf =
( 2)(9.81)(0.5)(3.0)
vf = 5.42 m/s