CÁLCULO DIFERENCIAL I
AULA 04: RETAS TANGENTE E NORMAL, TAXA DE VARIAÇÕES E DERIVADAS DE FUNÇÕES
TÓPICO 02: TAXA DE VARIAÇÕES
VERSÃO TEXTUAL
Os conceitos de declividade da reta tangente ao gráfico de uma
função num ponto e velocidade de uma partícula em movimento
retilíneo num instante, embora pareçam bastante distintos, têm muito
em comum e historicamente serviram de inspiração para a criação de
uma teoria mais geral. Esta aula é finalizada fazendo uma única
interpretação dos limites envolvidos nos conceitos de reta tangente e
velocidade.
Limites análogos aos das definições de mA,vI e aI vistos no tópico 1 desta
aula e na leitura complementar indicada no final do tópico 1 desta aula, são
usados em outras aplicações, assim é sugestivo fazer uma uniformização.
UNIFORMIZAÇÃO (CLIQUE AQUI)
a
, se x varia de
a
,
Seja f uma função definida de
então y varia de f( ) a f(
) indicando por
a variação de
correspondente a variação
de
tem-se
Assim, a taxa (ou razão) média de variação de Y0 pela variação de
X0 é dada por
Quando se faz
diz-se que
é uma variação instantânea
de
(ou uma variação infinitesimal do valor ). Suponha que f seja
implica que
, logo sendo f contínua
contínua em , então
em
é possível interpretar que
é taxa (ou razão) de duas
quantidades infinitesimais. Se tal limite existe é dito é dito a taxa (ou
razão) instantânea de variação de y em relação a x em
tem-se
, então sendo
Assim, pode-se dizer: declividade da reta tangente, velocidade e
aceleração instantâneas são taxas de variações infinitesimais.
Outros exemplos aparecem em: Química, quando é de interesse achar a
taxa em que uma substância se modifica em relação ao tempo ao reagir com
outra; Biologia, para saber a taxa em que a quantidade de bactérias diminui
ou aumenta numa cultura com o passar do tempo; Física, para achar num
circuito a taxa de variação da corrente elétrica em relação ao tempo. Em
geral, a taxa de variação de uma grandeza em relação ao tempo, também é
chamada de velocidade de variação da grandeza. É possível também
considerar taxas de variação em relação a uma grandeza que não seja o
tempo, por exemplo: a taxa de variação do volume de um gás em relação à
pressão; a taxa de variação da corrente elétrica em relação à resistência, etc.
EXEMPLO RESOLVIDO
A variação da pressão num gás confinado, faz com que ele sofra uma
dilatação (isto é, altere de volume), a lei de Boyle-Mariotte para a
dilatação de um gás estabelece: em temperatura constante, o produto da
pressão pelo volume do gás é constante, ou seja, pV = c onde p é a
pressão (isto é, a força em newtons por unidade de volume) que age
sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante. Se um gás
confinado, num determinado instante, está submetido a uma pressão de 5
N/cm3 , achar a taxa de variação do volume do gás nesse instante, fazendo
c = 75.
SOLUÇÃO (CLIQUE AQUI)
Substituindo c por 75 e colocando V em termos de p, tem-se
, assim a taxa de variação
O valor negativo de VI(5) significa que o volume está
diminuindo nesse instante.
EXEMPLO PROPOSTO
A lei de Ohm afirma: num condutor, a razão da diferença de
potencial (ou força eletromotriz, que é escrita abreviadamente como fem)
V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente elétrica I é
constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V/I = R. Se um condutor
está submetido uma fem de 220 volts, provar que a taxa de variação da
intensidade da corrente elétrica I em relação a resistência (resistência -- A
resistência de um condutor pode variar quando ele é submetido a
variações de temperatura.) quando ela é 10 ohms é igual a -2,2 ampères
por ohms.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o
arquivo Exercitando(Aula04_Top2).doc ou Clique aqui (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.) para abrir o exercitando.
Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente
ou em grupo. O exercício 5 do exercitando, é a terceira questão do
trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente
Solar. As questões 4 e 5 do trabalho, serão indicadas no tópico seguinte
desta. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no
período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento
de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual