ANÁLISE DA FORMA GEOMÉTRICA DA PARTÍCULA NA APLICAÇÃO DO
MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS - DEM
Elias Gomes dos Santos, [email protected] 1
André Luiz A. Mesquita, [email protected]
Luiz Moreira Gomes, [email protected]
Elias Fagury Neto, [email protected] 3
Marcio Paula Mafra, [email protected] 3
1
Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Pará (UFPA), Rua Augusto Correa, 01-Guamá. CEP
66075-110. Caixa postal 479. PABX +55 91 3201 7000. Belém – Pará – Brasil.
2
Faculdade de Ciências Exatas e Naturais, Universidade Federal do Pará (UFPA)-Campus Marabá, Folha 31Quadra 07,
Lote especial. CEP 68507-590.
3
Faculdade de Engenharia de Materiais, Universidade Federal do Pará (UFPA)-Campus de Marabá. Folha 17, Quadra e
Lote especiais. CEP 68500-000.
Resumo: Este trabalho apresenta uma análise da variação da forma geométrica da partícula e o comportamento do
ângulo de repouso com a aplicação do Método dos elementos Discretos (DEM).O método DEM é uma ferramenta
moderna que está sendo explorada nesse trabalho por intermédio do código comercial EDEM 2.4. A análise parte de
um escoamento padrão em caixas de fluxo visando a aferição do ângulo de repouso. São utilizados quatro formas
goemétricas predefinidas. Em cada simulação, os resultados obtidos são apresentados para os ângulos de repouso
correspondentes à sua forma.
Palavras-chave: Método dos Elementos Discretos, materiais granulares, forma da partícula
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem a finalidade de analisar o efeito da forma da partícula em simulações de escoamento de
sólidos utilizando o Método dos Elementos Discretos (DEM – Discrete Element Method). A análise é baseada no
escoamento de material granulado em uma caixa de fluxo com dimensões fixas e na aferição do ângulo de repouso após
a estabilização da pilha dentro caixa. Os resultados são apresentados de acordo com cada forma geométrica que está
sendo utilizada na análise. As formas geométricas apresentam esfericidade variada para um diâmetro equivalente de 10
mm, sendo geradas no escopo das possibilidades do código comercial EDEM 2.4 (EDEM, 2011). Também, entre as
formas geométricas das partículas, destacamos as possibilidades de avaliação do atrito de rolamento implementado no
modelo utilizado por Zhou et al (2002).
Quanto à forma geométrica das partículas, muitos métodos foram propostos em recentes trabalhos no sentido de
representar de forma significativa as geometrias em aglomerados de partículas. Há registros na literatura de métodos
que geram de maneiras diferenciadas os contornos das partículas. Há aqueles que fazem uso de funções matemáticas
tais como elipses (não-circular); círculos; polígonos; superquádricas, etc., (respectivamente, Ting et al, 1993; Potapov e
Campbell, 1998; Barbosa e Ghaboussi, 1992; Cleary, 2008) . Cada método traz consigo uma característica própria,
apresentando suas vantagens e desvantagens em relação ao processo de simulação computacional, tais como velocidade,
tempo de simulação, etc. Em outras palavras, entende-se que cada método tem suas limitações. Um exemplo da
utilização da forma circular na captura da forma geométrica da partícula em um sistema bidimensional é mostrado pela
Fig.(1). A Fig.(2) apresenta as partículas que foram utilizadas no presente trabalho para a avaliação do efeito da forma
da partícula na simulação do escoamento de particulados usando o Método dos Elementos Discretos.
VII Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, 31 de julho a 03 de Agosto 2012, São Luis - Maranhão
Figura 1. Modelo 2D: Círculos inscritos dentro da secção de uma partícula para captura da forma (Fonte:
Ashmawy et al, 2003)
Figura 2. Formas das partículas usadas na análise do ângulo de repouso - diametro equivalente de 10 mm
2. MÉTODO DEM
O método DEM tem larga aplicação no tratamento de materiais granulados. Ao contrário do Método dos Elementos
Finitos (FEM), o método DEM trata de um sistema não-contínuo. Nele consideram-se forças de contato e de nãocontato (eletromagnética, capilaridade) entre cada partícula. O método DEM se tornou uma poderosa ferramenta para as
indústrias que trabalham com material granulado devido à sua dinâmica, que envolve as propriedades físicas e
mecânicas dos materiais, tais como, atrito de rolamento e deslizamento. Nesse sentido, os projetos de engenharia
ganharam maior confiança, com ganhos na redução dos riscos em suas análises (Grima et al., 2011). Com o ajuste dos
parâmetros da modelagem, atrito de rolamento, atrito de deslizamento, da análise da variação no tamanho da partícula,
etc., os modelos numéricos DEM podem predizer resultados importantes para a engenharia pela calibração dos
resultados numéricos com o experimental. O método DEM é flexível e o desafio recairá comumente em ajustar
propriedades para os modelos de equações (Levy e Ooi, 2011). Para uso do método, existem vários códigos comerciais
que se utilizam de parâmetros de entrada diferentes, mas passíveis de calibração. Neste trabalho é utilizado o código
EDEM 2.4.(EDEM, 2011).
2.1. Método usado: Hertz-Mindlin com atrito de rolamento
Este modelo incorpora ao modelo padrão Hertiz-Midlin (Mindlin, 1949; Mindlin e Deresiewicz, 1953), o
atrito de rolamento. Ele, além de relacionar o atrito de rolamento com a velocidade relativa, utiliza o mesmo torque para
o contato entre as partículas i e j. A Fig. (3) a seguir mostra a representação bidimensional do modelo. O torque Mi,j é
utilizado nesse modelo toda vez em que os efeitos do atrito de rolamento é importante, como é este caso.
M i , j  r Fn Rii
(1)
Sendo μr , coeficiente de atrito de rolamento, ωi , o vetor velocidade angular unitário e Ri a distância do ponto de
contato ao centro de massa da partícula i.
Figura 3. Representação da forças de contato entre as partículas i e j (Zhou et al, 1999)
Zhou et al (1999) apresenta as equações utilizadas no modelo:
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mi
Ii
ki
dVi
 mi g   ( Fcn,ij  Fdn ,ij  Fct ,ij  Fdt ,ij )
dt
j 1
(2)
di k i
  (Tij  M ij )
dt
j 1
(3)
Onde
mi é a massa da partícula i
V é velocidade escalar, responsável pela translação da partícula i
 i
 I i é o momento de inércia da partícula i

i velocidade angular, responsável pela rotação da partícula i
 F é a força normal de contato entre as partículas i e j
 cn ,ij
 F é a força normal de amortecimento entre as partículas i e j
 dn ,ij
 F é a força tangencial de contato entre as partículas i e j
 ct ,ij
 Fdt ,ij é a força tangencial de amortecimento (damping) entre as partículas i e j

Tij torque , causa a rotação da partícula i em um ponto de contato e não no centro da partícula
 M força relativa ao torque que se opõe a rotação de uma partícula (rolling friction)
 ij
  n e  t são as deformações tangencial e normal.
A Tab.(1) mostra as equações envolvidas no cálculo numérico .
Tabela 1. Componentes das Forças e Torques que atuam sobre uma particula i
Fonte: Zhou et al (1999-2002)
É importante observar que o modelo empregado por Zhou, difere do modelo usado pela Eq. (1). O modelo da
equação (1) será usado neste trabalho em substituição ao da Tab.(1). Para melhor compreensão, Khan e Bushell (2005),
comentam o modelo usado por Zhou et all (1999) sobre a aplicação do de atrito de rolamento.
Na década de 90 Zhou et al empregaram em suas análises dois modelos para o atrito de rolamento, propostos,
respectivamente, por (Beer e Johnson, 1976, e Brilliantov e Poschel, 1998) ambos na análise do ângulo de repouso.
M  r Fcn,ij i
(4)
M   'rV ,ij Fcn,i , j i
(5)
Onde μr e μr‟ são os coeficientes de atrito de rolamento, Vω,ij é o módulo da velocidade relativa tangencial em
virtude da velocidade angular, Fcn,ij é a força de contato normal entre as partículas i e j e  i é o vetor versor velocidade
angular.
3. SIMULAÇÃO DEM
3.1. Escoamento em Caixa de Fluxo
A Fig.(4) mostra a geometria da caixa de fluxo utilizada na análise do trabalho. As Figs.(5) e (6) mostram os
resultados da calibração do método tomando como referência o trabalho de Zhou et al (2002); enquanto a Fig.(7) mostra
o volume das caixas antes da descarga para cada uma das formas de partículas estudadas.
Com base no trabalho de Cundall e Strack (1979) a caixa de fluxo deste trabalho tem dimensões de 400 mm de
comprimento, 400 mm de altura e 40 mm de largura. Uma placa interior divide a caixa à meia altura, onde se formará a
zona de estagnação das partículas (Zhou et al, 1999). Nesta há duas saídas laterais para escoamento do material quando
este é gerado sobreposto a placa mediana atingindo a altura de 120 mm. As saídas laterais possuem dimensões planares
de 40 x 50 mm e são abertas para fora, na direção do eixo Y.
Inicialmente, com as duas saídas laterais fechadas, os granulados de forma esférica (Fig. 2-a) são ajustados com a
geração de partículas randômicas, sem sobreposição, a partir da placa interior até anteceder aproximadamente o valor
de 80 mm do topo da caixa. Após esta etapa, as partículas esféricas repousam por um tempo de 1s (um segundo),
estabilizando-se antes da abertura instantânea das duas saídas laterais. Estes mesmos procedimentos repetem-se para as
demais formas geométricas que estão sendo analisadas. Após a abertura instantânea das saídas laterais, algumas
partículas das bordas da caixa iniciam o escoamento, deslocando-se para a parte inferior da caixa de fluxo por ação da
gravidade. As partículas das bordas interagem com as demais em sua vizinhança que por sua vez propaga as suas
propriedades mecânicas. O efeito global resultante desse sistema apresenta-se em duas partes da caixa conforme mostra
a Fig.(5). A pilha de partículas que fica mantida sobre a placa mediana da caixa possue forma semelhante a um
triângulo, quando visualizado por uma perspectiva frontal da caixa, de onde extrai-se o valor para o ângulo de repouso.
No trabalho do Zhou et al (2002), Fig.(6), foi utilizado o valor de 0,05 para o atrito de rolamento entre partículas e
0,4 para o atrito de deslizamento, sendo obtido um ângulo de repouso de de 28,2 graus (Figs.(5) e (6)). Entretanto, após
a calibração para a forma esférica, todas as demais formas geométricas predefinidas neste trabalho, estão sob as mesmas
condições estabelecidas pelos dados da Tab. (Tabela 2). A calibração apresentou uma diferença de aproximadamente 1
grau.
A Eq. (4), apresentado no trabalho de Zhou et al (2002), fornece um valor numérico do ângulo de repouso
para os dados da Tab.(2), igual a 28,46º graus. Segundo o citado autor, esta equação é um modelo
numérico para predizer o ângulo de repouso em caixas de fluxos que apresentam a razão entre a
0.22
0.06
0.12
0.2
espessura da caixa e o diâmetro da partícula (w/d) igual a 4 .  *  102.s0.27
, pp . s , pw .r , pp .s , pw .d
(4)
Onde, μs,pp, μs,,pw, são, respectivamente, os atritos de deslizamento nas interações entre partículas e das partículas
com a parede; e μr,pp, μr,pw são, respectivamente, os coeficientes de atrito de rolamento entre as interações entre
partículas e partículas com a parede.
Figura 3.Geometria utizada na análise dos ângulos de repouso
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(a)
(b)
(c)
Figura 4. Perspectiva frontal - Formação do ângulo de repouso e calibração do método DEM: (a) antes da
descarga; (b), durante a descarga; (c), após a descarga com aferição do ângulo de repouso 28,7º
Figura 5. Resultado da Calibração com as simulações. Fonte: Zhou et al (2002).
Tabela 2.Variáveis e parâmetros físicos utilizados na calibração e na análise das formas geométricas com
diâmetro equivalente a 10 mm para a obtenção do ângulo de repouso de 28,7 graus
Variável \ Material
Coeficiente de Poisson (v)
Módulo de cisalhamento (G)
Densidade (ρ)
Interação
Coeficiente de restituição
Coeficiente de atrito estático (μs)
Coeficiente de atrito de rolamento(μr)
Esferas de vidro
(partícula)
0,3
8,31e+07
2500 kg/m3
Partícula-partícula
0,5
μs,pp = 0,4
μr,pp = 0,05 mm
Caixa de vidro
(parede)
0,3
8,31e+07
2500 kg/m3
Partícula-parede
0,25
μs,pw = 0,6
μr,pw = 0,1 mm
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Foram analisadas quatro formas de partículas individualmente com propriedades fixas (com exceção para a posição
da partícula) em cada simulação com a finalidade de testar seus efeitos relacionados com o ângulo de repouso
empregando o método DEM de interação, Hertz-Mindlin com atrito de rolamento.
Cada forma da partícula foi simulada três vezes. O ângulo de repouso médio obtido para cada uma das formas
analisadas é apresentado na Tab.(3), juntamente com o número de partículas necessárias para manter o mesmo nível da
camada de partículas na caixa superior.
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Figura 6. Volumes: (a), forma esférica; (b), forma 2; (c), forma 3; (d), forma 4
Para medir os efeitos causados na variação das formas geométricas (forma 1, forma 2, forma 3 e forma 4), a
metodologia usada para criação das formas das partículas foi inscrever um número partículas em um diâmetro
equivalente de 10 mm, uma alternativa para comparar as esfericidades de cada partícula usada.
De maneira geral, entendendo que o conceito de esfericidade relaciona o quanto a forma de uma partícula se
aproxima de uma esfera de diâmetro equivalente, sendo comumente representado pela letra ψ (ψ = 1 para esfera), as
simulações sugerem que quanto maior é a esfericidade menor é a diferença entre um ângulo de repouso e outro da
comparação de duas formas correspondentes de partículas.
As Figs. (7), (8) e (9) mostram em sequência os estágios de repouso, escoamento e a zona de repouso das pilhas de
partículas com as formas geométricas 2, 3 e 4, respectivamente.
Figura 7. Resultados simulados para a forma 2
Figura 8. Resulatados simulados para a forma 3
Figura 9.Resultados simulados para a forma 4
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Tabela 3. Análise dos ângulos de repouso para as formas geométricas inscritas em um diâmetro de 10 mm
Geometria DEM
Forma 1
Forma 2
Forma 3
Forma 4
Número de
Partículas
2000
5200
4200
4000
Ângulo de
Repouso
28,7º
44,1º
44,6º
47,2º
Note a variação do ângulo de repouso em função da forma da partícula. O ângulo de repouso aumentou com o
número de esferas inscritas num diâmetro equivalente a 10 mm, isto é, variou com as formas das partículas.
Complementando o trabalho de Zhou et al (2002), pode-se auferir que a forma da partícula interfere nos efeitos
provocados pelos coeficientes de atrito de rolamento e de deslizamento. A Fig.(11) ilustra os resultados médios de todas
as simulações com os respectivos ângulos médios de repouso.
Figura 10. Resultados Numéricos da Análise da forma da partícula
As análises dos resultados numéricos para as condições de simulações indicam, portanto, que a forma da partícula
é um parâmetro importante assim como o tamanho da partícula esférica, os coeficientes de atrito de rolamento, os
coeficientes de atrito de deslizamento (entre partículas e partícula-parede), pois claramente mostrou-se está relacionada
com a formação do ângulo de repouso.
Observa-se que se poderiam alterar os parâmetros de calibração do modelo, de tal forma que os resultados poderiam
se aproximar mais do experimental, porém foi verificado em alguns ensaios que o melhor resultado foi sempre o da
partícula esférica, considerando que o experimento foi realizado com partículas esféricas.
5. CONCLUSÃO
O estudo dos efeitos da forma da partícula na obtenção do ângulo de repouso foi o foco principal deste trabalho,
descrevendo o comportamento das geometrias das partículas na análise do ângulo de repouso em escoamento em caixa
de fluxo.
Com base no experimento realizado por Zhou et al (1999), utilizando esferas, o modelo DEM foi calibrado e os
parâmetros de calibração foram então empregados para a simulação de partículas de formatos não esféricos,
empregando-se a capacidade de geração do pacote computacional EDEM. O resultado para a partícula esférica foi em
acordo com o experimento de Zhou et al (2002). Para as partículas não esféricas, os resultados de simulação numérica
mostraram um grande aumento do ângulo de repouso, indicando a forte influência do formato da partícula.
Conclui-se que a forma da partícula influencia os resultados de simulação via Método dos Elementos Discretos,
sendo, portanto, a análise deste efeito uma etapa importante da definição dos parâmetros de modelagem.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a Vale e a FAPESPA pelo apoio financeiro (ICAAF nº 045/2011)
VII Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, 31 de julho a 03 de Agosto 2012, São Luis - Maranhão
7. REFERÊNCIAS
Ashmawy, A. K.; Sukumaran, B.; Hoang, V. V. 2003. “Evaluating the Influence of Particle Shape on Liquefaction
Behavior Using Discrete Element Modeling”. Proceedings of The Thirteenth . International Offshore and Polar
Engineering Conference (2003)
Cleary, P.W. 2008. “The effect of particle shape on simple shear flows”. Elsevier. Powder Technology 179, pp.144-163.
Cundall, P. A., and O.D.L. Strack. 1979, “A Discrete Numerical Model for Granular Assemblies,” Géotechnique, 29,
pp. 47-65.
EDEM 2.3 User Guide. 2010. “Dem Solution”.
Grima, B. A., et al. 2011. “The beginning of a new era in design: Calibrated discrete element modeling”. Discrete
Element modelling. Australian Bulk handing Review. Setember/October 2011.
Khan, K. M; Bushell, G. 2005. “Comment on „Rolling friction in the dynamic simulation of the sandpile formation‟”..
Elsevier. Physica A 352, pp. 522-524.
Levy, A.; Ooi, J. Y., 2011, “Discrete element simulation: challenges in application and model calibration”, Granular
Matter, 13: pp. 643-656.
Mindlin, R. D., 1949, "Compliance of elastic bodies in contact." Journal of Applied Mechanics, vol. 16 (1949): 259268.
Mindlin, R. D., and H. Deresiewicz, 1953, "Elastic spheres in contact under varying oblique forces." ASME, pp. 327344.
Nogueira, L. R., et al. 2011. “Uma metodologia para a simulação de chutes de transferência – aplicação para o minério
de ferro”.
Zhou, Y.C., et al. 2002, “An experimental and numerical study of the angle of repose of coarse spheres”. Elsevier.
Powder Technology 125. pp. 45-54.
Zhou, Y.C., et al. 1999. “Rolling friction in the dynamic simulation of sandpile formation”. Elsevier. Physica A 269, pp.
536-553.
8. DIREITOS AUTORAIS
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no trabalho.
PARTICLE SHAPE ANALYSIS ON THE APPLICATION OF
THE OF DISCRETE ELEMENTS METHOD - DEM
Elias Gomes dos Santos, [email protected] 1
André Luiz A. Mesquita, [email protected]
Luiz Moreira Gomes, [email protected]
Elias Fagury Neto, [email protected] 3
Marcio Paula Mafra, [email protected] 3
1
Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Pará (UFPA), Rua Augusto Correa, 01-Guamá. CEP
66075-110. Caixa postal 479. PABX +55 91 3201 7000. Belém – Pará – Brasil.
2
Faculdade de Ciências Exatas e Naturais, Universidade Federal do Pará (UFPA)-Campus Marabá, Folha 31Quadra 07,
Lote especial. CEP 68507-590.
3
Faculdade de Engenharia de Materiais, Universidade Federal do Pará (UFPA)-Campus de Marabá. Folha 17, Quadra e
Lote especiais. CEP 68500-000.
Abstract: This paper presents an analysis of the variation of the geometrical shape of the particle and the behavior of
the angle of repose with the implementation of the Discrete element methode (DEM). The methode DEM is a modern
tool that is being explored in this work through the commercial code EDEM 2.4. The analysis is based on a standard
outlet boxes flow in order to measure the angle of repose. It was employed four predefined shapes. In each simulation,
the results are reported to the angles of repose corresponding to its shape.
Keywords: Discrete Element Method, granular materials, particle shape.