FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA
Curso de Graduação em Engenharia Civil
Resistência dos Materiais II - 2012
Prof. José Antonio Schiavon, MSc.
NOTAS DE AULA – Aula 3: Flexão Oblíqua
1. Objetivo: determinar as tensões normais nas seções
transversais de uma viga ou pilar submetido a
carregamentos em duas direções perpendiculares entre
si.
2. Introdução
Até agora vimos como se determinar as tensões normais
em barras submetidas a um carregamento em uma
direção, por exemplo, a vertical. Estudamos barras
submetidas também a uma força normal. Mas às vezes
ocorrem situações em que pilares ou vigas sofrem
carregamento em duas direções ortogonais entre si. Por
exemplo, um pilar de canto que deverá resistir a cargas
verticais de compressão e carregamento lateral em duas
direções:
O pilar acima sofrerá flexão em torno dos dois eixos
principais de inércia da seção transversal, além de
esforço normal de compressão devido à carga vertical.
Quando há flexão em dois planos perpendiculares entre
si, chamamos esta de flexão oblíqua. Se há também
atuação de esforço normal, temos a flexão oblíqua
composta.
A flexão oblíqua também acontece quando o
momento fletor não atua em torno de um dos eixos
principais de inércia. Nas cantoneiras, os eixos
principais de inércia não coincidem com os eixos
vertical (z) e horizontal (y) da figura. Então, teremos
que decompor o vetor momento em relação aos dois
eixos principais de inércia 1 e 2.
Em torno de um determinado eixo temos o valor
maximo do momento de inercia. Num outro eixo,
perpendicular a este primeiro, teremos o mínimo
momento de inercia. Estes dois eixos são chamados de
eixos principais de inércia.
carregamento é aplicado num ângulo α em relação ao
eixo z.
O vetor momento M é perpendicular ao plano das
cargas e forma também um ângulo α em relação ao eixo
y. O vetor que representa esse momento pode ser
decomposto nos vetores My e Mz, respectivamente nas
direções y e z.
Dessa maneira, podemos escrever as componentes
do momento M em relação aos eixos principais de
inércia, que nesse caso já coincidem com os eixos y e z.
M y = M cos α
M z = Msenα
A decomposição do vetor momento depende do
ângulo α, que neste caso foi dado em relação ao eixo y.
Toda vez que se decompor um vetor, deve-se observar
se o ângulo é dado em função do eixo y ou z, para se
fazer a correta decomposição.
A tensão normal num ponto com coordenadas y e z
será determinada pela soma das tensões originadas por
M y e M z:
My
M
σ=
z+ z y
Iy
Iz
Ao invés de se trabalhar com convenção de sinais
em função do sentido do eixo coordenado y ou z, podese analisar o sinal da tensão resultante de outra maneira:
• Verifique qual o sentido de giro do momento;
• Se a seta do momento estiver saindo do ponto:
momento está tracionando o ponto;
• Se a seta chegar no ponto: ocorre compressão.
3. Flexão Oblíqua
A viga abaixo sofre a ação de cargas num plano que não
coincide com o plano formado pelo eixo x e por um dos
eixos principais de inércia (z e y neste caso). O
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1
Vamos analisar a viga abaixo:
Ponto
1
2
3
4
My
tração
tração
compressão
compressão
Mz
tração
compressão
tração
compressão
Portanto teremos a máxima tração no ponto 1 e a
máxima compressão no ponto 4.
Exemplo 1 – determinar o valor da tensão normal nos
quatro vértices da seção transversal. Dados:
M = 8 kNm; α = 20°.
- ponto 1
My
M
752
140
σ1 = −
z+ z y=−
15 +
7 ,5
Iy
Iz
33750
8437,50
σ 1 = −0,21 kN cm²
- ponto 2
752
140
σ2 = −
15 −
7 ,5 = −0,46 kN cm²
33750
8437,50
- ponto 3
752
140
σ3 =
15 +
7 ,5 = 0,46 kN cm²
33750
8437,50
- ponto 4
752
140
σ3 =
15 −
7 ,5 = 0,21 kN cm²
33750
8437,50
3.1. Posição da Linha Neutra
Já foi visto que a linha neutra é o lugar geométrico na
seção transversal onde a tensão normal é nula.
1° Passo: determinação dos esforços solicitantes. Como
o momento fletor já foi dado, será necessário decompôlo em função dos eixos principais de inércia, que neste
exercício coincidem com os eixos coordenados.
- Momento em relação ao eixo de inércia principal
maior (maior inércia na flexão em torno desse eixo):
M y = M cosα = 0,940M = 7 ,52kNm = 752 kNcm
- Momento em relação ao eixo de inércia principal
menor (menor inércia na flexão em torno desse eixo):
M z = Msenα = 0,174M = 1,40kNm = 140 kNcm
2° Passo: características geométricas
transversal.
- Momento de inércia principal maior (Iy):
Iy =
da
seção
b × h3
= 33750 cm 4
12
- Momento de inércia principal menor (Iz):
3
Iy =
h×b
= 8437,50 cm 4
12
Mas se não conhecermos tal linha, poderemos
determiná-la facilmente igualando a zero a equação da
obtenção da tensão normal.
M
M
M
M
σ = y z+ z y→0= y z+ z y
Iy
Iz
Iy
Iz
Após algumas transformações, teremos uma equação
da reta do tipo y = a·z:
−M y I z
y=
× ×z
Mz Iy
Os momentos My e Mz são resultado de uma
decomposição do vetor M segundo os eixos principais
de inércia.
3° Passo: determinação da tensão normal. O sentido de
giro dos vetores momento é dado pela regra da mão
direita.
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M y = a × P = 0,04 × 135 = 5,4 kNm = 540 kNcm
No eixo y, a distância entre o CG e o ponto de aplicação
da carga é: b = 27 - 6/2 = 24 mm
M z = b × P = 0,024 ×135 = 3,24 kNm = 324 kNcm
My
temos que:
M
tgα = z
My
A equação da linha neutra também poderá ser
expressa em função do ângulo α:
−M y I z
y=
× ×z
Mz Iy
Já que temos a equação da reta, para desenharmos
ela basta adotarmos dois valores de z para calcularmos
y. Obteremos dois pares de coordenadas
coordenada que poderemos
plotar em um gráfico em escala, juntamente com a seção
transversal do elemento em análise.
Como o diagrama das tensões normais na seção
transversal é linear, a tensão máxima surge no ponto
mais afastado da linha neutra, seja ela tração ou
compressão. Se as coordenadas deste ponto forem y1 e
z 1:
My
M
σ máx =
z1 + z y1
Iy
Iz
Mz
O esforço normal será: N = P = 135 kN.
2° Passo: características da seção transversal.
O momento de inércia Iy é o máximo momento de
inércia e o Iz é o mínimo momento de inércia. Temos
então que os eixos y e z são os eixos principais de
inércia.
Iy = I1 = 916 cm4
Iz = I2 = 600 cm4
A = 44,50 cm²
3° Passo: equação da linha neutra. A equação tensão
normal de um elemento submetido a flexão oblíqua
composta é dada por:
My
M
N
z+ z y+
σ=
Iy
Iz
A
A equação da linha neutra é obtida igualando-se
igualando σ = 0:
My
Mz
N
z+
y+
0=
Iy
Iz
A
Substituindo,
540
324
135
0=
z+
y−
→ y = −1,092 z + 5,618
916
600
44,50
Exemplo 2 – Determinar a posição da linha neutra, σmáx
e σmin. Dados: a = 40mm; A = 4450 mm²; Iy = 9,16 x 106
mm4; Iz = 6,00 x 106 mm4.
1° Passo: determinação dos esforços solicitantes. Como
a carga é excêntrica em relação ao centro geométrico
nas duas direções y e z. Trata-se
se de um caso de flexão
oblíqua composta.
Adotando duas coordenadas zI = 1,02 cm e
zII = - 1,02 cm, teremos yI = 4,50 cm e yII = 6,73 cm.
Repare que estas coordenadas tem a origem no CG.
O desenho da linha neutra e dos dois pontos mais
distantes do CG em relação a uma linha perpendicular à
linha neutra serão:
Como a carga de compressão está aplicada na aba
direita da seção transversal, logicamente o ponto que
sofrerá a maior tensão de compressão (σ
( min) será o ponto
da direita. Consequentemente o ponto de maior tensão
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normal de tração (σmáx) estará no outro ponto mais
distante do CG, que é a extremidade da aba esquerda.
O ponto submetido à máxima tensão normal terá
coordenadas z = 10,2 e y = 2,1. O ponto sujeito à
mínima tensão normal tem coordenadas z = -10,2 e
y = 2,7.
3.2. Núcleo Central de Inércia
Uma barra tracionada por força axial tem o diagrama de
tensões uniformemente distribuídas ao longo de sua
seção transversal. A linha neutra está situada no infinito
acima da peça.
x
eixo horizontal da seção transversal, a linha neutra será
paralela ao eixo vertical da seção transversal. A linha
neutra se aproximará da face direita da peça.
LN
Se a força for deslocada para o lado oposto, ou seja,
lado direito do eixo vertical, a linha neutra se
aproximará pela esquerda.
LN
Se deslocarmos a força para baixo do eixo
baricêntrico, a distribuição das tensões deixa de ser
uniforme. A linha neutra se aproxima da seção, embora
ainda não a intercepte.
LN
Temos então quatro pontos, dois em cada eixo
central de inércia. Um ponto situado sobre a linha que
une o ponto inferior e o direito produzirá uma linha
neutra que passa pelo vértice formado pela linha neutra
desses dois pontos.
x
LN
Ao deslocar a força axial um pouco mais para baixo,
ao longo do eixo z, a linha neutra vai coincidir com a
borda superior da peça. As tensões normais na seção
transversal ainda serão de tração, exceto na borda
superior, onde serão nulas.
LN
x
Ao abaixar um pouco mais a força começaria a
aparecer tensões de compressão acima do eixo
baricêntrico da peça.
LN
x
Em qualquer ponto situado sobre os segmentos que
unem os quatro vértices do losango, a linha neutra
tocará apenas um ponto da seção.
O losango formado é chamado de Núcleo Central de
Inércia. Se uma força normal de tração for aplicada
dentro desse núcleo, surgirão apenas tensões normais de
tração. Se a força normal for de compressão, apenas
surgirão tensões normais de compressão.
Todas as seções tem um núcleo central. O das
circunferências também é um círculo de mesmo centro,
e raio igual a ¼ do raio da seção.
b/3
Se repetirmos o procedimento com o deslocamento
da força para o lado de cima do eixo baricêntrico, a
linha neutra se aproximará da seção vindo de baixo, até
atingir a borda inferior.
x
D/4
h/3
D
LN
Se deslocarmos a carga para a esquerda, ao longo do
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