Matriz de Inércia
Ricardo Bianconi
Março de 2008
Vamos deduzir a expressão da chamada matriz de inércia a partir do cálculo do momento de
inércia em relação a um eixo qualquer passando pela origem.
O Momento de Inércia de uma partı́cula de massa ∆m em relação a uma reta (ou eixo) r
é definido como I = ∆m · d2 , sendo que d é a distância da partı́cula ao eixo. Pelo processo de
discretização e limites, apropriado às integrais, podemos definir o momento de inércia em relação
à reta r de um sólido S, cuja densidade é dada pela função δ : S → R, e denotando a distância de
um ponto P = (x, y, z) à reta r por dr (x, y, z), como sendo a integral
ZZZ
dr 2 (x, y, z) δ(x, y, z) dxdydz,
Ir =
S
ou, de um modo mais sucinto, fazendo dm = δ(x, y, z) dxdydz,
ZZZ
Ir =
dr 2 (x, y, z) dm.
S
Vamos calcular o momento de inércia de S em relação à reta r (passando pela origem), cuja
equação vetorial é dada por (x, y, z) = t ~v , com t ∈ R e ~v = (a, b, c), com a2 + b2 + c2 = 1.
Pela escolha de um vetor unitário como vetor diretor da reta, a função dr 2 (x, y, z) é igual ao
−−→
quadrado do módulo do produto vetorial de ~v por OP = (x, y, z) − (0, 0, 0) = (x, y, z), ou seja,
dr 2 (x, y, z) = (bz − cy)2 + (cx − az)2 + (ay − bx)2 = a2 (y 2 + z 2 ) + b2 (x2 + z 2 ) + c2 (x2 + y 2 ) − 2(abxy +
acxz + bcyz).
Assim, temos que
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
2
2
2
2
2
Ir = a
(y + z ) dm + b
(x + z ) dm + c
(x2 + y 2 ) dm
S
S
ZZZ
S
ZZZ
−2ab
ZZZ
xy dm − 2ac
S
xz dm − 2bc
S
yz dm
S
As integrais
ZZZ
I11 =
2
2
ZZZ
2
(y + z ) dm, I22 =
S
2
ZZZ
(x + z ) dm, I33 =
S
S
1
(x2 + y 2 ) dm
são os momentos de inércia de S em relação aos eixos coordenados, e as integrais
ZZZ
xy dm
I12 = I21 = −
S
ZZZ
I13 = I31 = −
xz dm
S
ZZZ
I23 = I32 = −
yz dm
S
são os produtos de inércia (de S em relação aos planos coordenados).
A matriz I = (Im,n )1≤m,n≤3 é a Matriz de Inércia do sólido S (em alguns livros é chamada de
tensor de inércia).
Observe-se que o momento de inércia em relação à reta r dada pela equação (x, y, z) = t~v acima
pode ser escrito matricialmente como

 
a
I11 I12 I13



I21 I22 I23
b 
Ir = a b c
I31 I32 I33
c
{z
}
|
I
Vamos analisar o momento de inércia Ir como função, Ir = I(a, b, c), da direção ~v = (a, b, c),
cujo domı́nio está restrito à esfera a2 + b2 + c2 = 1.
Esta é uma função de classe C ∞ e. como seu domı́nio é um conjunto compacto de R3 (ou seja,
fechado e limitado), ela deve assumir um valor mı́nimo e um valor máximo.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos de máximo e de
mı́nimo de I(a, b, c), com a restrição a2 + b2 + c2 = 1. Temos que resolver as equações
∂I
∂I
∂I
= 2λ a,
= 2λ b,
= 2λ c,
∂a
∂b
∂c
ou, vetorialmente, ∇I = 2λ(a, b, c) = 2λ~v . Assim, temos:
∂I
= 2a I11 + 2b I12 + 2c I13 ,
∂a
∂I
= 2a I21 + 2b I22 + 2c I23 ,
∂b
∂I
= 2a I31 + 2b I32 + 2c I33 ,
∂c
ou seja, ∇I = 2 I, ou seja, o método dos multiplicadores de Lagrange reduz-se ao problema de
resolver I~v = λ~v , ou seja, achar os autovalores e autovetores da matriz de inércia I.
Como a matriz de inércia I é simétrica, ela é diagonalizável e possui três autovalores, 0 < λ1 ≤
λ2 ≤ λ3 , e podemos achar uma base ortonormal de autovetores {~v1 , ~v2 , ~v3 }. Nessa nova base, a
matriz de I será diagonal, ou seja, os produtos de inércia serão nulos.
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