Momento de Inércia de uma Superfície
Numa viga em flexão pura, as forças
internas em qualquer secção da viga são
forças distribuídas cujas intensidades
variam linearmente com a distância y entre
o elemento 'A e um eixo baricêntrico:
'F
k ˜ y ˜ 'A
A resultante de todas as forças elementares
'F é:
³ k ˜ y ˜ dA
R
k ³ y ˜ dA k ˜ S x
O momento de cada força elementar em relação a x é:
'M x
y ˜ 'F
k ˜ y 2 ˜ 'A
A soma dos momentos de todas as forças elementares é:
³k˜ y
M
2
˜ dA k ³ y 2 ˜ dA k ˜ I x
Uma comporta circular está submersa em água.
Representando por y a profundidade de um elemento
elementar de área 'A, e por J o peso específico da água,
a pressão no elemento elementar é:
p J ˜y
A intensidade da força exercida em 'A é:
p ˜ 'A J ˜ y ˜ ' A
'F
A resultante de todas as forças elementares
'F é:
R
³ J ˜ y ˜ dA
J ³ y ˜ dA J ˜ S x
O momento de cada força elementar em relação a x é:
'M x
y ˜ 'F
J ˜ y 2 ˜ 'A
A soma dos momentos de todas as forças elementares é:
M
³J ˜ y
2
˜ dA J ³ y 2 ˜ dA J ˜ I x
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Mário Nuno Valente
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Cálculo do Momento de Inércia de uma Superfície por Integração
Define-se momento de segunda ordem, ou momento
de inércia de uma superfície de área A em relação
ao eixo x e em relação ao eixo y como:
2
y
³ ˜ dA
Ix
Iy
2
x
³ ˜ dA
Aplicando a definição a um rectângulo dividido em
faixas elementares paralelas ao eixo x, obtém-se:
dA b ˜ dy
Ix
2
y
³ ˜ dA œ I x
h
Ix
2
y
³ ˜ b ˜ dy œ
§ h 3 03 ·
b˜¨ ¸ œ
© 3 3¹
2
b ³ y ˜ dy œ I x
0
Ix
bh3
3
Teorema dos Eixos Paralelos
Considere-se o momento de inércia I de
uma superfície de área A relativamente
a um eixo AA’:
I
2
y
³ ˜ dA
Trace-se um eixo BB’ paralelo a AA’
passando pelo centróide C da superfície,
a este eixo chama-se eixo baricêntrico.
Representando por y’ a distância do
elemento dA a BB’, escreve-se:
2
y
³ ˜ dA
I AA '
2
³ y ' d 2
2
˜ dA
³ y ' ˜ dA 2d ³ y '˜ dA d ³ dA
y
y ' d
³ y ' 2 y ' d d ˜ dA
2
2
I BB ' A ˜ d 2
(Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo genérico) =
(Momento de inércia em relação a um eixo baricêntrico paralelo) +
(Área) x (distância entre os dois eixos)2
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2
Raio de Giração
Considere-se uma superfície de área A que
tem um momento de inércia Ix relativamente
ao eixo x.
Imagine-se que se concentra esta superfície
numa faixa estreita paralela ao eixo x.
Se se pretender que a superfície assim
concentrada tenha o mesmo momento de
inércia em relação a x, a faixa deverá ser
colocada a uma distância ix, tal que:
Ix
ix2 A
À distância ix chama-se raio de giração.
ix
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Ix
A
3
Exemplo de Tabelas de Inércia
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