CAPÍTULO 2 – Problemas resolvidos
Exercício 1 - Para medir a velocidade da bala de seu rifle, um atirador atira contra o
tronco de uma árvore distante 100 m. Um detetor de som, posicionado ao seu lado, é
ligado a um sistema eletrônico que registra os instantes em que algum pulso de som é
captado pelo detetor. O intervalo de tempo entre o estampido do tiro e o som da colisão
da bala com a árvore é de 0,715 s. Sabendo que a velocidade do som é de 334 m/s, qual é
a velocidade da bala?
Solução : O tempo que o som leva no percurso da árvore até o detetor é
ts =
100 m
= 0, 2994 s .
334 m/s
Portanto, o tempo gasto no trajeto da bala é t b = 0,715 s - 0,2994 s = 0,4156 s
Daí, calculamos
vb =
100 m
= 241 m/s
0,4156 s
Problema 2 - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas. Na primeira
metade do percurso, sua velocidade é v1 , e na segunda metade sua velocidade é v2 .
Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v1 +v2 )/2.
Solução:
Os tempos gastos na primeira e segunda metades do percurso são respectivamente
t1 =
d
d
, t2 =
.
2v1
2v 2
A velocidade média em todo o percurso será
v=
v 1v 2
d
d
2
2
=
=
=
=
.
d
d
1
1
v1 + v 2 v 1 + v 2
t1 + t 2
+
+
2v1 2v 2 v 1 v 2
v 1v 2
2
Vê-se portanto que
v≠
v1 + v 2
2
Problema 3 - Um carro trafega atrás de um caminhão, ambos com velocidade constante
vo . A distância entre a traseira do carro e a dianteira do caminhão é d. A uma distância D
adiante da traseira do carro fica o início de uma ponte, e o carro quer ultrapassar o
caminhão antes de atingi-la. Qual deve ser a aceleração mínima do carro, suposta
constante durante a ultrapassagem, para que isso seja possível?
Solução - Tomando a posição inicial da traseira do carro como origem das coordenadas,
as coordenadas x do carro e X do caminhão serão respectivamente
1
x = v o t + at 2 ,
2
X = d + v ot .
A ultrapassagem se completará quando x = X, portanto isso ocorrerá no tempo t u definido
pela equação
1
2
v o t u + at u = d + v o t u , ∴ t u =
2
2d
.
a
No instante t u a posição da traseira do carro será
x u = d + v ot u = d + v o
2d
.
a
Sendo L o comprimento do carro, a ultrapassagem ocorrerá antes de o carro atingir a
ponte se
2
2d
2 ( D − d − L)
d +vo
< D − L, a > v o
.
a
2d
( D − d − L) 2
Portanto, a mím = v o 2
2d
Problema 4 - Um carro, trafegando à velocidade de 30 km/h, está à distância de 50 m de
uma avenida cuja largura é de 30 m quando o sinal de cruzamento com a avenida fica
amarelo. Sabe-se que o sinal fica amarelo durante 6,0 s. A aceleração máxima do carro é
de 2,3 m/s2 , e o motorista tem um tempo de reação t r = 0,60 s antes de acelerá-lo.
Conseguirá cruzar a avenida antes de o sinal ficar vermelho?
Solução :
Tomando a origem das coordenadas no ponto inicial do carro, quando o sinal fica
amarelo, podemos escrever
x = v ot +
1
1
a( t − t r ) 2 = v o t r + v o ( t − t r ) + a( t − t r ) 2 .
2
2
O tempo gasto para que o carro cruze a avenida será dado por
80 m = v o t r + v o ( t − t r ) +
1
a (t − t r ) 2
2
Como v o t r = 8,3m × 0,60s = 5,0 m , obtemos
75 m = v o (t − t r ) +
1
a( t − t r ) 2
2
Resolvendo essa equação,
2
v
vo
150m
t − tr = − o +
+
2
a
a
a
Substituindo os valores nesta equação,
t = 0,60s −
8,33
69,4 150
s+
+
s = 5,2 s
2,3
5,29 2,3
Portanto, o carro conseguirá cruzar em tempo a avenida.
Problema 5 - Dois carros trafegam em sentidos opostos em um trecho reto da estrada,
com velocidades de módulos v1 e v2 , respectivamente. Em t = 0 , os dois carros estão nas
posições x 1o e x 2 o = x1o + d . (a) Em que instante se dará o cruzamento dos automóveis?
(b) Em que posição se dará o cruzamento?
Solução : Tomando a origem das coordenadas na posição inicial do carro 1, e o sentido
do eixo dos x indo do carro 1 para o carro 2, as coordenadas dos dois automóveis dos
carros serão expressas por
x1 (t ) = x1o + v 1 t ,
x 2 (t ) = x1o + d − v 2 t .
(a) O cruzamento se dará no instante t c determinado por
x1o + v 1 t c = x1 o + d − v 2 t c .
Portanto,
d
v1 + v2
(b) A posição dos dois carros no instante do cruzamento será dada por
(v1 + v 2 )t c = d , ∴ t c =
x c = x1 (t c ) = x1 o + v1 t c .
Substituindo o valor de t c, obtemos
x c = x1o +
v1
d.
v1 + v 2
Problema 6 - Um carro viaja a atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade
constante V, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do
caminhão é d. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista
um carro vindo na direção oposta com velocidade constante v, a uma distância D. O
motorista imprime ao carro uma aceleração constante a para realizar a ultrapassagem.
Qual é o valor mínimo de a para que a ultrapassagem seja bem sucedida? Despreze o
comprimento do carro.
Solução : Sendo t = 0 o início da arrancada para a ultrapassagem e x =0 sua posição
nesse instante, as posições do carro que realiza a ultrapassagem, da frente do caminhão e
do outro carro são respectivamente
x1 (t ) = Vt +
1 2
at ,
2
X (t ) = d + Vt,
x2 ( t ) = D − vt .
A ultrapassagem se completará no instante t u dado por
Vt +
1
2
at u = d + Vtu , t u =
2
2d
,
a
As coordenadas dos dois carros nesse instante serão
x1 (t u ) = d + V
2d
,
a
x 2 (t u ) = D − v
2d
.
a
O valor mínimo de a será dado pela condição x1 (t u ) = x 2 (t u ) . Portanto
d +V
2d
2d
= D −v
.
a mín
amín
Finalmente,
V +v 
= 2
 d.
D−d
2
a mín
Problema 7 - Um corpo é atirado verticalmente para baixo com velocidade vo da altura
h. Nos instantes t 1 e t 2 o corpo está, respectivamente, nas alturas y1 e y2 . Calcule vo de h.
Solução : Podemos expressar as coordenadas y1 e y2 , respectivamente, nas formas
1 2
gt ,
2 1
1
2
y 2 = h − v o t 2 − gt 2 .
2
y1 = h − v o t 1 −
Subtraindo uma equação da outra,
y1 − y 2 = v o (t 2 − t1 ) +
1
g (t 2 2 − t 1 2 ) .
2
Portanto,
y1 − y 2 1 ( t 2 − t1 )( t 2 + t 1 )
− g
,
t 2 − t1
2
t 2 − t1
y − y2 1
vo = 1
− g (t 2 + t1 ) .
t 2 − t1
2
vo =
Posto que h = y1 + v o t 1 +
1 2
gt 1 ,
2
h = y1 +
y1 − y 2
1
1 2
t1 − g (t 2 + t 1 )t 1 + gt1
t 2 − t1
2
2
h = y1 +
y1 − y 2
1
t1 − gt 2 t1 .
t 2 − t1
2
Problema 8 - Uma pedra é solta, com velocidade inicial nula, de uma altura h. Um tempo
T depois, outra pedra é atirada para baixo com velocidade inicial vo , do mesmo ponto
inicial da primeira pedra. Qual deve ser o valor mínimo de vo para que as duas pedras
colidam no ar?
Solução: Tomemos a origem das coordenadas no ponto de partida das pedras e seja t = 0
o instante em que a primeira pedra foi solta. Sejam y1 e y2 , respectivamente, as
coordenadas da primeira e da segunda pedra. Antes da colisão, se ambas as pedras ainda
estiverem no ar, podemos escrever
1
y1 = − gt 2 ,
2
1
y 2 = −v o (t − T ) − g (t − T ) 2 .
2
O menor valor vo , que designaremos por vmín , corresponde ao caso em que a segunda
pedra atinja a primeira quando esta está prestes a atingir o solo. A primeira pedra atinge
o solo no instante dado por
1
2h
− h = − gt c 2 ∴ t c =
.
2
g
Portanto, em t c a coordenada y2 deve ter atingido o valor –h. Assim,
1
− h = −v mín (t c − T ) − g (t c − T ) 2 .
2
Finalmente,
v mín
1
h − g (tc − T ) 2
2
=
,
tc − T
v mín =
2 h − g ( 2h / g − T ) 2
2( 2h / g − T )
y
detetor
laser
h
relógio
0
Problema 9 – Para medir a aceleração da gravidade na Lua, onde não existe atmosfera,
uma equipe de exploradores usa o experimento ilustrado na figura. Um dispositivo atira
uma esferinha verticalmente para cima, a partir da altura y = 0, e envia um sinal a um
relógio para iniciar a contagem do tempo. Na altura y = h, um feixe de laser é
interceptado pela esferinha, no instante t 1 quando ela sobe e no instante t 2 quando ela
desce. A interrupção da luz no detetor gera um sinal enviado ao relógio, que registra os
tempos t 1 e t 2 . Calcule o valor de g a partir dos dados obtidos no experimento.
Solução: A coordenada y da esferinha passa pelo valor h nos tempos obtidos pela solução
da equação
1
h = v o t − gt 2 .
2
Obtemos
vo
v o 2 2h
t=
±
−
g
g
g2
Portanto,
t1 =
vo
v o 2 2h
vo
v o 2 2h
−
−
,
t
=
+
−
.
2
g
g
g
g
g2
g2
Usando o fato de que ( a − b )( a + b) = a 2 − b 2 , obtemos
2h
,
g
2h
g=
.
t 1t 2
t1t 2 =
CAPÍTULO 2 – Problemas propostos
2.1E – Duas pessoas fazem de carro o percurso de 740 km entre Belo Horizonte e
Brasília. Na metade do caminho, uma passa a direção do carro à outra e desde então a
velocidade média do carro aumenta em 20%. O tempo total de viagem é de 8,00 horas.
Qual foi a velocidade média na primeira metade do percurso?
Resposta: 84,8 km/h
2.2E – Em um dado planeta, em uma queda livre partindo do repouso um corpo gasta a
metade do tempo que gastaria na Terra para cair da mesma altura. Quanto vale a
aceleração da gravidade nesse planeta?
Resposta: g planeta = 2g Terra
2.3E – Um corpo é atirado verticalmente para cima com velocidade vo , a partir do ponto
y = yo , e permanece apenas sob a ação da gravidade até atingir o solo. Escreva a
expressão para x(t) no intervalo de tempo em que ele permanece no ar.
1
Resposta: y (t ) = y o + v o t − gt 2
2
2.4P - Um carro faz um percurso de comprimento d sem paradas em um tempo t. Na
primeira metade do tempo, sua velocidade é v1 , e na segunda metade sua velocidade é
v2 . Calcule a velocidade média do carro no percurso e compare-a com (v1 +v2 )/2.
Resposta : v =
v1 + v2
2
2.5P - Um foguete é lançado verticalmente com aceleração constante até atingir a altitude
de 600 km, quando sua velocidade é de 7,23 km/s. Qual é sua aceleração nesse trajeto?
Resposta : a = 43,6 m/s 2 .
2.6P - Uma bala com velocidade de 240 m/s atinge um bloco de madeira e nele penetra
3,0 cm. (a) supondo que a aceleração da bala fosse constante, qual seria o seu valor
durante a colisão, e (b) quanto duraria a colisão? (c) Na realidade, a aceleração da bala
não é constante durante a colisão. Nesse caso, seu valor médio corresponde ao calculado
no item (a) do problema?
Resposta: (a) a = 9,6 × 10 5 m/s 2 ; (b) t = 2,5 ×10 −4 s ; (c) não.
2.7P - Um carro viaja com velocidade constante v e sua frente está à distância d da
traseira de um caminhão que viaja com velocidade constante V. O carro tem comprimento
l e o caminhão tem comprimento L. Quanto o carro se deslocará até ultrapassar o
caminhão?
Resposta:
v
( d + l + L)
v -V
2.8P – Uma partícula move-se sobre o eixo dos x com velocidade constante. Em t = 2,0 s,
sua posição é x = 9,0 m, e em t = 5,0 s sua posição é x = 3,0 m. Escreva a expressão para
x(t) .
Resposta: x (t ) = 13m − 2
m
t
s
2.9P – Um pára-quedista salta, e um certo tempo depois está com velocidade constante v
e a um nível h abaixo do avião. Um segundo pára-quedista salta e somente abre seu páraquedas quando alcança a altitude do primeiro. Quanto tempo ele permanece em salto
livre?
2
v
v
2h
Resposta : t = +   +
.
g
g
 g
2.10P – Uma escada rolante tem comprimento L. Quando a escada está parada, uma
criança consegue subi-la em um tempo t. (a) Em quanto tempo a criança consegue subir a
escada quando esta move-se com velocidade constante u, se u < L / t ? (b) Se u > L / t , a
criança consegue subir a escada?
Resposta: (a) T =
L
; (b) Não
L/t − u
2.11P – Duas pessoas se encontram no escuro, e cada uma delas acende sua lanterna para
iluminar a outra, de forma que os dois feixes de luz caminham na mesma direção em
sentidos opostos. Qual é velocidade V de um feixe em relação ao outro?
Resposta: V = c