Presidente da República Federativa do Brasil
Luis Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Fernando Haddad
Secretário Executivo
José Henrique Paim Fernandes
Secretário de Educação Básica
Maria do Pilar Lacerda Almeida e Silva
Diretora de Política da Educação Infantil e Ensino Fundamental
Jeanete Beauchamp
Coordenação Geral de Política de Formação de Professores (REDE)
Roberta de Oliveira
Universidade Federal do Pará
Reitor
Alex Bolonha Fiúza de Mello
Vice-Reitora
Regina Fátima Feio Barroso
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação
Roberto Dall’ Agnol
Pró-Reitor de Extensão
Ney Cristina Monteiro de Oliveira
Coordenação do Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica
Terezinha Valim Oliver Gonçalves
Coordenação Geral do Programa EDUCIMAT
Terezinha Valim Oliver Gonçalves
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica
CENTRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA
EDUCIMAT: Formação, Tecnologia e Prestação de Serviços em Educação em Ciências e Matemáticas
Curso de Formação Continuada em Educação Matemática para professores de 5ª a 8ª série do Ensino Fundamental
Volume 39
INTRODUÇÃO À PESQUISA NO/DO ENSINO DE MATEMÁTICA
Arthur Gonçalves Machado Júnior
Narciso das Neves Soares
Tadeu Oliver Gonçalves
Educimat 21
Editora da UFPA
Belém - Pará - 2008
Conselho Editorial
Adilson Oliveira do Espírito Santo – UFPA
Adriano Sales dos Santos Silva – UFPA
Ana Cristina Cristo Vizeu Lima - UFPA
Ariadne da Costa Peres – UFPA
Arthur Gonçalves Machado Júnior – PPGECM
Eugenio Pacelli Leal Bittencout - UFPA
Flávio Leonel Abreu da Silveira - UFPA
Gleiciane de Souza Alves - PPGECM
Isabel Cristina Rodrigues Lucena - UFPA
Jane Felipe Beltrão - UFPA
José Fernando Pina Assis – UFPA
Mara Rubia Ribeiro Diniz Silveira - PPGECM
Marcio Couto Henrique – UFPA
Maria Isaura de Albuquerque Chave UFPA
Maria Lúcia Harada - UFPA
Natanael Freitas Cabral - UNAMA
Neivaldo Oliveira Silva - UEPA
Renato Borges Guerra – UFPA
Sheila Costa Vilhena Pinheiro – PPGECM
Tadeu Oliver Gonçalves - UFPA
Tânia Regina dos Santos – UEPA
Terezinha Valim Oliver Gonçalves - UFPA
Valéria Risuenho Marques - SEMEC
Dados Internacional de Catalogação na Publicação (CIP)
Biblioteca Setorial do NPADC, UFPA
Mk19i Machado Júnior, Arthur Gonçalves
Introdução à pesquisa no/do ensino de matemática / Arthur
Gonçalves Machado Júnior, Narciso das Neves Soares, Tadeu Oliver
Gonçalves. – Belém: Ed.UFPA, 2008.
(Obras completas EDUCIMAT; v.39)
ISBN 85-247-0292-3
ISBN 85-247-0318-0
1. MATEMÁTICA - Estudo e ensino. 2. PESQUISA (Educação
matemática). I.Soares, Narciso das Neves. II. Gonçalves, Tadeu
Oliver. III.Universidade Federal do Pará.
Núcleo Pedagógico de
Apoio ao Desenvolvimento Científico.IV. Título.V.Série.
CDD 19.ed. 510.7
SUMÁRIO
UNIDADE I
9
UM BREVE ESTUDO SOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
9
UNIDADE II
13
A ESCOLA, O ALUNO E O PROFESSOR NA SOCIEDADE DA INFORMAÇÃO E
COMUNICAÇÃO, DO CONHECIMENTO E DA APRENDIZAGEM.
13
NOVAS COMPETÊNCIAS PARA UMA NOVA SOCIEDADE
16
OS ALUNOS NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
17
A ESCOLA NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
18
A ESCOLA REFLEXIVA
18
OS PROFESSORES NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
19
Histórias de professores: dois exemplos
22
Reflexão sobre o estudo
24
UNIDADE III
27
PROFESSOR PESQUISADOR E REFLEXIVO
27
Atividades propostas para o Texto
31
UNIDADE IV
33
DAFORMAÇÃO INICIALE CONTINUADAE DAFORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO
PROFISSIONAL DO PROFESSOR
33
Formação Inicial e Continuada
33
Formação e Desenvolvimento Profissional
35
UNIDADE V
37
SABERES NA PRÁTICA DOCENTE
37
O SABER EXPERIENCIAL
37
O SABER DISCIPLINAR
38
O SABER CURRICULAR
38
O SABER DA TRADIÇÃO PEDAGÓGICA
39
O SABER DA AÇÃO PEDAGÓGICA
39
UNIDADE VI
41
CENÁRIOS PARA INVESTIGAÇÃO
41
AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
42
Exercícios
42
DIVERSIFICANDO OS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
43
CONTRATO DIDÁTICO
43
PROPOSTA DE CRIAÇÃO DE AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
45
PROBLEMAS
45
OBJETIVO DO ESPAÇO:
46
UNIDADE VII
48
TENDÊNCIAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA
48
Etnomatemática
48
Modelagem Matemática
50
Argumentos favoráveis e desfavoráveis
54
Relato de duas experiências com modelagem matemática.
55
História da Matemática
70
Jogos Matemáticos
71
Resolução de Problemas
71
Construtivismo
72
Matemática Humanística
72
Tecnologias: Informática
73
REFERÊNCIAS
76
O PROGRAMA EDUCIMAT: Formação, Tecnologias e Prestação de Serviços em
Educação em Ciências e Matemáticas
O Programa EDUCIMAT é coordenado e desenvolvido pelo NÚCLEO PEDAGÓGICO
DE APOIO AO DESENVOLIMENTO CIENTÍFICO (NPADC) da Universidade Federal do
Pará, que integra a Rede Nacional de Formação Continuada de Professores de Educação Básica
(MEC/SEB), na qualidade de Centro de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática
e Científica.
O Programa visa à formação continuada de professores para a Educação Matemática e
Científica, no âmbito da Educação Infantil e Ensino Fundamental. Como estratégia de trabalho,
prevê a formação/fortalecimento de grupos de professores tutores dos Centros Pedagógicos
de Apoio ao Desenvolvimento Científico (CPADC) e municipais, por meio da constituição
dos Grupos Pedagógicos de Apoio ao Desenvolvimento Científico (GPADCs) em nível de
especialização lato sensu. Nessa perspectiva, colocam-se como princípios de formação, dentre
outros: a reflexão sobre a própria prática, a formação da cidadania e a pesquisa no ensino,
adotando-se como transversalidade a educação inclusiva, a educação ambiental e a educação
indígena.
O Programa está proposto para quatro anos, iniciando-se no Estado do Pará, com
possibilidades de expansão para outros estados, especialmente das regiões Norte, Nordeste e
Centro-Oeste. Parcerias poderão ser estabelecidas para otimizar o potencial da região no que diz
respeito à institucionalização da formação continuada de professores no âmbito da Educação
Infantil, Séries Iniciais, Ciências e Matemáticas.
O Programa EDUCIMAT situa-se no Núcleo Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento
Científico (NPADC/UFPA), no âmbito do Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências
e Matemáticas, assim como o Mestrado. O NPADC é unidade acadêmica dedicada à pesquisa,
à pós-graduação e a educação continuada de professores de Ciências e Matemáticas, desde a
educação infantil e séries iniciais até a pós-graduação lato e stricto sensu. Conta com a parceria
da Secretaria Executiva de Estado de Educação, por meio do Convênio 024/98 e de Instituições
de Ensino Superior integrantes do Protocolo das Universidades da Amazônia: Universidade
da Amazônia (UNAMA), Centro de Estudos Superiores do Estado do Pará (CESUPA) e a
Universidade do Estado do Pará (UEPA).
Objetivos do Programa EDUCIMAT
Contribuir para a melhoria do ensino e da aprendizagem
de Ciências e de Matemática no Estado do Pará e em
outras regiões do país;
Formar professores especialistas na área de Ensino
de Ciências e Matemáticas, para constituir Grupos
Pedagógicos Municipais na área de Educação Matemática
e Científica;
Formar e certificar professores de Ciências e Matemáticas
da Educação Infantil e Fundamental nos Estados e
Municípios, por meio da Educação a Distância;
Fortalecer os municípios, instituindo os GPADC como
organismos municipais capazes de assegurar a tutoria da
formação continuada de professores em cada município;
Buscar a parceria dos governos municipais, estaduais e de
outras instituições, garantindo a produção e reprodução
de materiais didáticos específicos.
Linhas de Ação do EDUCIMAT
1. Desenvolvimento de programas e cursos de formação
continuada, em rede, e de professores da Educação
Infantil e Fundamental, de natureza semi-presencial
e a distância nos municípios, incluindo elaboração de
materiais didáticos, tais como módulos, livros, softwares
e vídeos;
2. Realização de programa de formação de tutores, em nível
de pós-graduação lato sensu, para o desenvolvimento
de programas e cursos de formação continuada de
professores e lideranças acadêmicas locais;
3. Desenvolvimento de tecnologias educacionais (software,
kits, cd-rom) para o ensino infantil e fundamental,
no âmbito dos municípios e unidades educacionais
públicas;
4. Associação a outras instituições de ensino superior
e outras organizações para a oferta de programas de
formação continuada, formação de grupos de estudos e
pesquisas e implantação de redes e novas tecnologias
educacionais.
Estratégias para o desenvolvimento do Programa
Formação de Pólos para o desenvolvimento do Programa
EDUCIMAT, por meio de momentos presenciais e a
distância;
Cursos de Especialização a Distância para Formação de
Tutores e Cursos de Formação Continuada de Professores
Educação Matemática e Científica ênfase em Educação
Infantil;
Educação Matemática e Científica ênfase em Séries
Iniciais;
Educação em Ciências ênfase em Ensino Fundamental;
Educação Matemática ênfase em Ensino Fundamental.
Metas do Programa EDUCIMAT
Formar, em 4 anos, 1920 (um mil, novecentos e vinte)
tutores;
Formar, com tutoria local, cerca de 20.500 (vinte mil
e quinhentos) professores para educação infantil, séries
iniciais, ciências e matemática;
Produzir kits de material instrucional para o ensino de
Ciências e de Matemática;
Produzir 88 (oitenta e oito) produtos, nas quatro linhas
de ação, em quatro anos;
Reproduzir, por meio de acordos com prefeituras e outras
instituições, produtos de ensino e de formação, para uso
da rede pública de ensino.
Comitê Geral do Programa EDUCIMAT
Profª. Dra. Terezinha Valim Oliver Gonçalves UFPA
Profª. Ms. Andrela Garibaldi Loureiro Parente UFPA
Prof. Ms. Adriano Sales dos S. Silva UFPA/Castanhal
Profª. Ms. Larissa Sato Dias CESUPA
Coordenação de Áreas:
Ciências
Maria Lúcia Harada UFPA
Educação Indígena
Jane Felipe Beltrão UFPA
Matemática
Tadeu Oliver Gonçalves UFPA
Educação Infantil
Tânia Regina Lobato dos Santos UEPA
Educação Inclusiva
Realização de Seminários e Encontros com a participação
da equipe coordenadora do programa, professores,
prefeituras e associações para firmar compromissos e
acordos com o Programa;
Maria Joaquina Nogueira da Silva CESUPA
Participação de estudantes, tutores e professores
na produção de materiais didáticos e/ou produção
intelectual;
Educação Ambiental
Tutorias presenciais e a distância para formação de
professores nas áreas de educação infantil, séries iniciais,
ciências e matemática.
Desenvolvimento de cursos presenciais, semi-presenciais
e a distância.
Séries Iniciais
Neivaldo Oliveira Silva SEDUC
Ariadne Peres do Espírito Santo UFPA
Secretária
Lourdes Maria Trindade Gomes
Caros Colegas Professores,
Estamos iniciando o módulo que deverá proporcionar a você, professor, a construção
de novas concepções no que diz respeito ao professor pesquisador e reflexivo, com olhar
diferenciado voltado para sala de aula, fazendo desta um grande laboratório de pesquisa no/do
ensino de matemática.
A abordagem e o tratamento de textos e atividades propostas que apresentamos com o
propósito de introduzir professores em exercício de sala de aula à PESQUISA NO/DO ENSINO
DE MATEMÁTICA envolve os seguintes aspectos:
discussões acerca de elementos teóricos ligados à realização da pesquisa em
Educação Matemática nos dias atuais;
propostas existentes na linha de pesquisa em Educação Matemática, nesta
incluída;
discussões a respeito do professor reflexivo/pesquisador.
Acreditamos que estes elementos possam nortear o professor a uma mudança de postura
em sala de aula, fazendo da mesma um local de produção coletiva de conhecimentos e não de
mera transmissão, como acontece no cotidiano escolar.
Assim, a presente coletânea de textos é apresentada com a seguinte organização
didática:
Um caderno de estudos onde apresentamos textos para discussões, baseados em
trabalhos de autores renomados, além da colaboração de alunos do Programa de Mestrado
em Ciências e Matemáticas do Núcleo Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento Científico
- NPADC/UFPA.
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
UNIDADE I
UM BREVE ESTUDO SOBRE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Para iniciarmos a discussão sobre a pesquisa no/do Ensino de Matemática é necessário
compreendermos que o processo de produção desse conhecimento ocorre pela Educação
Matemática.
A Educação Matemática como área de conhecimento autônoma é relativamente nova, no
entanto, como preocupação com uma prática, vem desde a Antiguidade, tendo um grande impulso
no início do século XX, em 1908, com Félix Klein e a fundação da Comissão Internacional de
Instrução Matemática.
No Brasil e no resto do mundo, a Educação Matemática foi encarada como ensinar bem
(ter boa didática) a matemática que constava nos programas (conhecer o conteúdo) e verificar se o
aluno aprendeu bem o conteúdo (aplicar exames rigorosos).
Até a Segunda Guerra Mundial, a Educação Matemática consistia em ensinar bem um
conteúdo tradicional. No pós-guerra nota-se uma grande expansão do mercado consumidor.
Aprendeu-se na guerra, como produzir mais e a custo mais baixo. Isso devido a eficientes métodos
de treinamento, apoiados em cuidadosas pesquisas em aprendizagem.
Porém, logo se percebeu que treinamento e educação são processos distintos, com objetivos
distintos (Reflita sobre isto!). Para muitos educadores, iniciou-se assim uma deterioração no ensino
da matemática. A matemática dos currículos escolares era desinteressante e obsoleta. Passou-se,
assim, a aceitar a motivação como um fator de grande importância na aprendizagem, tornando-se
fundamental entender como o indivíduo aprende.
A modernização da matemática tornou-se uma preocupação em todos os países devido
à entrada na era da alta tecnologia, necessitando assim, de novos métodos de ensino e novos
conteúdos, para que pais, alunos e professores possam acompanhar essa nova matemática que se
pretendia introduzir.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica – NPADC
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Daí a necessidade de se rediscutir a Educação Matemática com finalidade de se atualizar o
ensino-aprendizagem de matemática que há muito já se encontra ultrapassado.
Mas afinal, o que é esse negócio
de Educação Matemática?
Educação Matemática, segundo CARVALHO (1991), é o estudo de todos os fatores que
influem direta ou indiretamente sobre todos os processos de ensino-aprendizagem em Matemática
e a atuação sobre esses fatores.
Observa-se ainda que a Educação Matemática emprega contribuições em muitas áreas, mas
estas contribuições são trabalhos de Educação Matemática somente se estiverem voltadas para o
ensino-aprendizagem em Matemática.
A Educação Matemática é uma área essencialmente interdisciplinar, na qual progressos se
fazem em várias frentes, algumas delas mais teóricas, de investigação mais acadêmica, outras mais
práticas, consistindo em intervenções diretas nos processos de ensino-aprendizagem.
Vamos pensar um pouco...
Qual a sua compreensão,
como professor, sobre
interdisciplinaridade?
Uma das características mais notáveis da matemática é a sua especificidade e aplicabilidade, pois
o conhecimento matemático é abstrato e sua aplicabilidade a situações variadas depende exatamente
dessa abstração, deste “distanciamento” dos problemas concretos.
Medeiros, em seu trabalho “Por uma Educação Matemática com Intersubjetividade”, vê a
Educação Matemática a partir da relação entre o professor e o aluno e os aspectos sociais e políticos
envolvidos no processo de educação. Considera a Educação Matemática como comunicação entre
quem ensina e quem aprende, cujo resultado é a compreensão e o meio para isso é o diálogo.
Através do diálogo entre professor e aluno pode-se romper com a dicotomia entre o ensinar
e o aprender. A matemática deixa de ser vista como uma imposição e passa a ser um conhecimento
construído a partir do que os alunos pensam e de suas vivências. Isso significa transformar o ato
10
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
educativo em ato de pesquisa.
A Educação Matemática busca a transformação do que está aí, envolvendo não só o ensino
de matemática, mas também aspectos sociais e políticos.
Estamos, portanto, num momento de fuga do ensino tradicional. Na busca de um ensino de
matemática onde:
O ensino não seja um mero ato de transmissão de conteúdos, mas que seja um ato educativo
que estimule, desenvolva e oriente a aprendizagem do aluno;
O professor passe de transmissor de conhecimento para um orientador de estudos e
descobertas;
O aluno não seja passivo e seguidor de modelos, mas participativo, crítico, criativo,
construtor de seu conhecimento;
Os conteúdos não sejam estanques, separando, álgebra, geometria e aritmética;
Seja considerado o conhecimento anterior do aluno;
O ensino não seja linear, tenha aberturas de acordo com situações-problema;
A linguagem seja mais próxima do aluno sem ferir idéias ou conceitos matemáticos.
Costumamos confundir Educação Matemática e Ensino de Matemática. A partir da
leitura do texto discuta com seus colegas, qual a relação entre as duas, suas diferenças
e a importância de termos um bom entendimento sobre elas.
DEIXE AQUI SUAS IMPRESSÕES
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11
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
12
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
UNIDADE II
A ESCOLA, O ALUNO E O PROFESSOR NA
SOCIEDADE DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO,
DO CONHECIMENTO E DA APRENDIZAGEM
Introdução
Esta unidade tem o propósito de apresentar alguns aspectos da sociedade na qual deve
atuar o professor pesquisador e reflexivo da sua própria prática.
No século passado um dos movimentos de produção de conhecimento mais crescente
foi o que diz respeito à informática; nenhuma outra área do conhecimento provavelmente tenha
se desenvolvido tão rapidamente, tanto em teoria quanto em ferramentas de uso prático. Pois
se compararmos a sua evolução com a de outras ciências que tiveram seus pilares construídos
através de séculos, como a matemática, a física, a medicina, fica muito claro o que estamos
dizendo, mas também ajuda/ajudou essas outras ciências a darem grandes passos rumo aos seus
desenvolvimentos.
A era da informática está aí, se fazendo presente na vida das pessoas, mesmo daquelas que
há pouco tempo não compreendiam seu uso por falta de informação. Hoje, por estar em quase
todos os lugares como nas aldeias indígenas, nas
vilas de mais difícil acesso da Amazônia, chegando
até mesmo nos lugares mais entranhados do
Nordeste do Brasil, principalmente na forma dos
pequenos celulares, como também pelos aparelhos
de análise de solo, de pesquisas meteorológicas, e
os que “guardam” o espaço aéreo (caso do projeto
SIVAM – Sistema de Vigilância da Amazônia).
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13
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Sendo assim, não podemos mais fechar os olhos para a informática, fazendo de conta que
não estamos vendo ou não queremos vê-la, a fim de sermos excluídos do processo, vendo apenas ela
passar.
Neste sentido, são exigidos dos profissionais dos mais variados setores novas competências
que venham abraçar essa nova era, em particular dos profissionais da educação.
No caso dos professores, é preciso urgentemente que se façam mudanças curriculares
que contemplem durante a sua formação a inserção de atividades curriculares que lhes forneçam
competências no manuseio do computador, assim como que os possibilite diferenciar as boas das
más informações oferecidas.
No entanto, é preciso que este acesso chegue a todos e é a escola que deve ser esse fio
condutor; para isso os professores devem estar ou serem preparados durante sua formação inicial,
assim como a continuada, pois a informática evolui de uma forma muito acelerada. Precisamos
levar também em consideração os conhecimentos de informática adquiridos previamente ao curso
da graduação, mas a escola, por sua vez, também deve ser preparada para esta era.
Acreditamos que seja revolucionária, pois exige mudança de posturas, concepções e
atitudes, visto quebrar com o paradigma da aula ministrada apenas com quadro e giz, não devendo
ser deixados de lado, mas que está aquém da realidade do aluno que desde muito cedo está imerso
neste mundo informatizado, na forma de computadores, televisão, jogos eletrônicos, calculadoras,
etc., precisando ser motivado em sala de aula a partir da sua realidade. A realidade que aí está
posta é a do computador, da informação fácil, que precisa ser trabalhada de forma diferenciada
pelo professor, visto que queremos uma escola que trabalhe com aulas contextualizadas.
Tomemos como exemplo de uso do computador, o trabalho desenvolvido pelo município
de Parauapebas no Pará, que através do Projeto Despertar como fora denominado pelo município,
fez chegar a todas as escolas da zona urbana (segundo informação da Secretaria de Educação
do Município) e uma da zona rural, laboratórios de informática. Daí apresentarmos o seguinte
questionamos: será que estão sendo utilizados corretamente, ou melhor, será que são usados? Pelo
menos no que diz respeito a sua utilização no ensino de 1ª a 4ª série, os laboratórios são utilizados
satisfatoriamente, porém, em relação ao ensino de 5ª a 8ª série, deixa bastante a desejar. É por isso
que indagamos ser preciso que se desenvolvam, principalmente nos professores, capacidades de
diferenciar a informação válida e inválida; além da competência para organizarem seus trabalhos
em função da informação obtida ou procurada. E não há lugar melhor para se desenvolver essas
capacidades e competências, voltamos a afirmar, do que na escola.
Nesta sociedade na qual vivemos hoje e que nos cerca de informação, devemos ter o cuidado
14
Informação fornecida pela Secretaria de Educação do Município em 2004.
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
para decidir quais usar e como usá-las. É o que Alarcão (2003) chama de sociedade da informação,
complexa, com boas e más informações, que chegam com muita facilidade, em nosso trabalho, em
casa e também nas escolas, isto é, para àquelas que estão procurando se adaptar a esta sociedade.
Como a conseqüência natural da sociedade da informação ocorre também de forma intensa,
a era denominada de era da comunicação, em que estamos sujeitos ao incrível poder adquirido
pelos meios de comunicação, de influenciar as opiniões das pessoas, lhes inundando com boas e
más informações.
É necessário que tenhamos muito cuidado ao lidarmos com essas informações,
ao transformá-las em conhecimento pertinente, que é o conhecimento capaz de situar
qualquer informação em seu contexto e, se possível, no conjunto em que está inscrita
(MORIN, 2000, p.15).
A sociedade da informação, a partir dessa necessidade, passa a chamar-se sociedade da
informação e do conhecimento.
Alarcão nos deixa bem claro o papel do professor, do aluno e da escola nesta era de
informação e da comunicação, no qual a escola não detém o monopólio do saber. O professor
não é o único transmissor do saber e tem de aceitar situar-se às suas novas circunstâncias que, por
sinal, são bem mais exigentes. O aluno também não é mais o receptáculo a deixar-se rechear de
conteúdos e o seu papel impõe-lhe exigências acrescidas, uma vez que este tem de aprender a gerir
e a relacionar informações para transformar em seu conhecimento e saber. Também a escola tem
de ser uma outra escola. A escola, como organização, tem de ser um sistema aberto, pensante e
flexível, tal qual um sistema aberto sobre si mesmo e aberto à comunidade em que se insere (2003,
p. 15).
Alarcão (2003) ao basear-se em Morin (2000), estabelece que o conhecimento proveniente
da aprendizagem necessita da informação organizada e do pensamento organizado, para que se
constitua em saber e que possa se traduzir posteriormente em poder.
Este “poder” é o “poder” de dialogar criticamente, compreender de forma consciente as
situações conflituosas pela qual passamos e buscar soluções para elas, assim como “poder” para
aprendermos a sobreviver nesta nova era da sociedade da informação e da comunicação, pois
somos bombardeados pela força da mídia como colocado anteriormente. Por isso, precisamos
adquirir novas competências exigidas por essa sociedade, que é também do conhecimento e da
aprendizagem.
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15
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Faça uma análise crítica a respeito da situação da educação na sociedade da
informatização e da comunicação, do conhecimento e da aprendizagem.
NOVAS COMPETÊNCIAS PARA UMA NOVA SOCIEDADE
Precisamos refletir sobre as novas competências exigidas pela sociedade da informação e
da comunicação, a quem acrescentamos do conhecimento e da aprendizagem.
Competência é a reunião de:
 Conhecimentos: fatos, métodos, conceitos e princípios;
 Capacidades: saber o que fazer e como;
 Experiência: capacidades de aprender com o sucesso e com os erros;
 Contatos: capacidades sociais, redes de contatos, influência;
 Valores: vontade de agir, acreditar, empenhar-se, aceitar responsabilidades e poder
(físico e energia mental).
Ter competência é mobilizar os saberes. A competência não existe, sem os
conhecimentos e a capacidade de saber utilizá-los para agir frente à complexidade dos
fenômenos (Perrenoud, apud Alarcão, 2003, p. 20). Portanto, devemos ter competência
para:
 Aprender autonomamente;
 Utilizar e recriar o conhecimento;
 Lidar com as diferenças e trabalhar colaborativamente;
 Trabalhar com as incertezas, reconhecer e enfrentar a complexidade;
Complexidade é a qualidade do que é complexo. O termo vem do latim: complexus, que significa o que abrange muitos elementos
ou várias partes. É um conjunto de circunstâncias, ou coisas interdependentes, ou seja, que apresentam ligação entre si. Trata-se da
congregação de elementos que são membros e partícipes do todo. MORIN (apud Petraglia)
Na colaboração, os diversos participantes trabalham em conjunto, numa base de relativa igualdade e numa relação de ajuda mútua,
procurando atingir objetivos comuns (Pontes, 2003).
16
PROGRAMA EDUCIMAT: FORMAÇÃO, TECNOLOGIAS E PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
 Lidar com a informação;
 Compreensão Sistêmica: que se assenta na capacidade de escutar, de observar e de
pensar, assim como também na capacidade de utilizar as várias linguagens (onde
se insere a informática) que permitem ao ser humano estabelecer mecanismos de
interação e intercompreensão.
Perrenoud afirma ainda que a abordagem por competências não pretende mais do que
permitir a cada um aprender a utilizarem os seus saberes para atuar (2001, p. 17). Para que se
possa colocar em prática a utilização do saber é essencial que os alunos abandonem os papéis de
meros receptores e os professores sejam muito mais do que simples transmissores de um saber
acumulado.
OS ALUNOS NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
O aluno nesta sociedade deve ser aprendente (Tavares, 1996, apud Alarcão, 2003, p. 26),
isto é, que está em constante interação com as oportunidades que o mundo lhe oferece, mais
ainda, deve aprender a ser aprendente (Alarcão, 2003, p. 26). Tem de se convencer de que tem
de ir à procura do saber. Buscar ajuda nos livros, nas discussões, nas conversas, no pensamento,
no professor, etc. Confiar no professor a quem a sociedade entrega a missão de orientar nessa
caminhada. Mas é ele que tem de descobrir o prazer de ser uma mente ativa e não meramente
receptiva.
A fim de desenvolver a auto-aprendizagem e a auto-estima do aluno, Alarcão, ao sintetizar
três estudos que tratam da intervenção didático-curricular, propõe as seguintes atividades a serem
realizadas pelos alunos:
 Uma tomada de consciência do que sabiam ou precisavam saber para realizar a
atividade;
 Pesquisa pessoal;
 Um trabalho colaborativo entre eles;
 Uma sistematização orientada;
 Uma reflexão individual e partilhada sobre a tarefa realizada e os processos de
realização e aprendizagem que lhe eram inerentes;
 O apoio do professor como uma das fontes de saber e de regulação da aprendizagem.
Essas atividades não devem necessariamente ser desenvolvidas apenas na escola, mas
principalmente nela, pois a escola tem um papel importantíssimo na formação desse aluno, a fim
de ajudá-lo a aprender a ser aprendente, nos termos que nos coloca Alarcão.
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Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica – NPADC
17
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
A ESCOLA NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
Para que essas atividades tenham êxito é preciso também que as escolas estejam preparadas
para tal, porém a maioria das escolas ainda não percebeu que, também elas, têm de se repensar.
Permanecem na atitude negativa de se sentirem defasadas, mal compreendidas e mal-amadas,
ultrapassadas, talvez inúteis. Quedam-se à espera que alguém as venha transformar. E não
perceberam que só elas se podem transformar a si próprias. Por dentro. Com as pessoas que
as constituem: professores, alunos, funcionários. Em interação com a comunidade circundante
(Alarcão, 2003, p. 36).
No entanto, as escolas que perceberam o fenômeno começaram a funcionar como
comunidades autocríticas, aprendentes e reflexivas. Constituem aquilo que Alarcão chama a escola
reflexiva.
A ESCOLA REFLEXIVA
A escola reflexiva não é telecomandada do exterior e sim, auto-gerida: tem seu projeto próprio,
construído com a colaboração dos seus membros. Sabe aonde quer ir e avalia-se permanentemente
na sua caminhada; contextualiza-se na comunidade que serve e com esta interage, acredita nos
seus professores, cuja capacidade de pensamento e de ação sempre fomenta; envolve os alunos na
construção de uma escola cada vez melhor. Alem disso, não esquece o contributo dos pais e de toda
a comunidade e considera-se uma instituição em desenvolvimento e em aprendizagem. Pensa-se e
avalia-se. Constrói conhecimento sobre si própria. “(...) É uma comunidade de aprendizagem e é
um local onde se produz conhecimento sobre educação” (Alarcão, 2003).
A escola é um conjunto, que deve trabalhar de forma colaborativa e um dos agentes de
maior importância nesse processo de mudança é o professor, pois é ele que atua diretamente com
o aluno. Portanto, vejamos como deve se portar o professor nesta nova escola reflexiva.
A seu ver como a escola poderá se tornar um ambiente de reflexão, isto é, se tornar
uma escola reflexiva, dentro dos moldes apresentados por Isabel Alarcão?
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OS PROFESSORES NA SOCIEDADE DA APRENDIZAGEM
Para atuar nesta escola reflexiva, na sociedade da aprendizagem, o professor tem um
dos principais papéis. Criar, estruturar e dinamizar situações de aprendizagem e estimular a
aprendizagem e a autoconfiança nas capacidades individuais para aprender são competências que
o professor de hoje tem de desenvolver.
Na mesma lógica das capacidades e das atitudes que pretende ajudar a desenvolver nos
seus alunos, o professor tem também de se considerar num constante processo de auto-formação
e identificação profissional. É o que chamaremos um professor reflexivo numa comunidade
profissional reflexiva (Alarcão, 2003, p. 32).
Nesta era da informação, não há de se declarar a morte do professor. Para não se sentirem
ultrapassados, os professores precisam urgentemente se recontextualizarem na sua identidade e
responsabilidades profissionais.
Mas como formar professores reflexivos para e numa escola reflexiva?
Os formadores de professores têm uma grande responsabilidade na ajuda ao
desenvolvimento da capacidade de pensar autônoma e sistematicamente. Para isso,
as Universidades, a partir de seus cursos de formação de professores, devem também
entrar num processo de mudança, de reformulação curricular, mas não apenas isto, de
uma mudança de postura, consciente e crítica a partir dessa perspectiva, que é de formar
professores reflexivos.
Você como professor, se acha preparado para esta nova sociedade? Troque idéias
com seus colegas. Elabore uma relação de fatores que tenham contribuído para esta
preparação ou não.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Apresentaremos a seguir estratégias de desenvolvimento da capacidade de reflexão, para
uma melhor atuação dos professores, assim como dos formadores. São elas:
 Pesquisa-Ação;
 A análise de casos;
 As narrativas;
 A elaboração de Portfólios reveladores do processo de desenvolvimento seguido;
 O questionamento dos outros atores educativos;
 O confronto de opiniões e abordagens;
 Os grupos de discussão ou círculos de estudo;
 A auto-observação;
 A supervisão colaborativa;
 As perguntas pedagógicas.
Vejamos alguns comentários sobre algumas das estratégias.
A Pesquisa-Ação: Constitui uma metodologia científica aplicada à classificação e
resolução de problemas práticos, manifestando três características: a contribuição para a mudança,
o caráter participativo, motivador e apoiante ao grupo, e o impulso democrático. Esta abordagem
traz consigo a idéia de que a experiência profissional tem um enorme valor formativo, se sobre ela
se refletir e conceitualizar. Mais adiante, faremos um estudo sobre o professor pesquisador que nos
fará compreender melhor a respeito desta estratégia.
A Análise de Casos: Os casos são as expressões do pensamento sobre uma situação
concreta que, pelo seu significado, atraiu a nossa atenção e merece a nossa reflexão. São descrições,
devidamente contextualizadas, é complexo e sujeito a interpretações.
Segundo Shulman (1986), os casos só são casos (e não meros incidentes) porque representam
conhecimento teórico e assumem um valor explicativo que vai para além da mera descrição.
As Narrativas: Clandinin e Connely (1991) falam-nos do sucesso da utilização do que
chamaram “narrative inquiry” (pesquisa apoiada em narrativas) na formação de professores. Este
método assenta fundamentalmente no trabalho colaborativo entre colegas, independentemente da
sua posição ou experiência. Pressupõem que os membros do grupo partilhem as suas narrativas,
contem as suas histórias, as abram à reconstrução, desconstrução e significação, as ofereçam aos
outros colegas que como críticos, (pois é assim que devem agir), as ouvem ou lêem e sobre elas
questionem ou elaborem. Isto trouxe à luz o conhecimento prático docente.
A pesquisa narrativa pode facilitar a aproximação à opinião, idéias, experiência e prática
dos professores, a partir das suas próprias percepções. Na verdade, as descrições que os professores
fazem do seu ensino estão, na maioria das vezes, repletas de informações que provêm da prática,
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
freqüentemente, assumindo a forma de histórias.
Apresentaremos a seguir o trabalho desenvolvido por Hélia Margarida Oliveira, em um texto
intitulado Narrativa na Prática e na Investigação sobre as Investigações Matemáticas dos Alunos,
onde descreve um estudo com duas professoras do 3º ciclo (em Portugal) que trabalharam com
investigações matemáticas nas suas aulas. Estas professoras, possuindo formação e experiências
profissionais distintas, apresentaram, sob a forma de narrativas, algumas das suas perspectivas
sobre a natureza das investigações matemáticas e sobre o seu próprio papel, assim como do tipo de
interações que tentaram promover na aula.
A metodologia da pesquisa inseriu-se no paradigma interpretativo e envolveu a construção
de dois estudos de caso. A recolha dos dados incluiu a observação de aulas, com gravações de áudio
e vídeo, a realização de entrevistas e de reflexões após as aulas. Entre outras, foi desenvolvida uma
análise narrativa, seguindo o modelo de avaliação de Labov (Cortazzi, 1993). Trata-se de uma
abordagem sociolingüística, tendo em conta as propriedades formais da estrutura das narrativas em
relação com as suas funções sociais. Em termos de estrutura, Labov considera seis partes em certas
narrativas orais, que podem ser encaradas como respostas a questões formuladas pela audiência:
Estrutura
Questão
Resumo
Sobre o que é?
Orientação
Quem? Quando?
O quê? Onde?
Complicação da ação
Então o que aconteceu?
Avaliação
E então?
Resolução
O que aconteceu finalmente?
Corda (ligação)
(transporta o ouvinte para o presente)
Estas histórias envolvem algum tipo de conflito (complicação) que deve ser resolvido
de alguma forma (resolução). Durante as reflexões sobre as aulas com as investigações
matemáticas, Isabel e Teresa contaram diversas histórias, embora dispersas pelo seu discurso.
A investigadora reconstruiu cada história, unindo os elementos de um mesmo tema, mostrandoa em seguida às professoras para que manifestassem a sua opinião sobre essa versão.
Tradução do texto original, em inglês, “Narrative in Practice and in Research on Students’ Mathematical Investigations” incluído
nas atas do CIEAEM 50 (Neuchâtel,1998)
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Histórias de professores: dois exemplos
As duas histórias seguintes expressam alguns dos dilemas que estas professoras enfrentaram
ao realizar investigações matemáticas nas suas salas de aula. Estas histórias dizem respeito a duas
tarefas diferentes, ambas envolvendo a identificação de regularidades numa seqüência de números
construída pelos alunos.
Num segundo momento relatado na história 2, os alunos procuraram escrever a expressão
geral da seqüência.
História 1 – Isabel
A maior dificuldade que eu senti foi desempenhar o papel a que me propus: não ser tão direta
como habitualmente. É que às vezes dá mesmo vontade de dar um “empurrãozinho”, sobretudo
àqueles que têm mais dificuldades. Esses estão sempre à espera do ponto, que eu sirva de ponto.
[Resumo]
Isso aconteceu no grupo do Tiaguinho, quando estava analisando as questões acerca da
diagonal. [Orientação]
Ele, vez por outra, mexia a boca... E quando eu o vejo fazer esse gesto, sei que ele espera
que seja eu a dar a resposta. [Complicação da ação]
Assim, tive que me controlar, colocar questões mais orientadoras e não dar respostas, como
às vezes costumava mesmo fazer. [Resolução da ação]
Penso que essa é a parte mais difícil na coordenação dos trabalhos. [Avaliação]
Mas nas fichas de investigação se sou eu a dar a resposta acabo por ser eu a investigar e
não eles. [Corda]
Isabel fala sobre a sua dificuldade em desempenhar um papel diferente com que não estava
familiarizada. Pretendia que os alunos encontrassem as regularidades por eles próprios, mas estes,
por sua vez, esperavam pela ajuda da professora.
Nesta história, Isabel dá o exemplo de Tiaguinho, um dos alunos, que freqüentemente
mostrava que necessitava de apoio por mexer os lábios, mas sem dizer nada. Esta ação foi
compreendida facilmente pela professora que não quis agir da maneira que o aluno esperava
(complicação). Procurou agir de acordo com um novo papel fazendo perguntas, apesar de um forte
apelo para ser mais direta e para dar as respostas (resolução).
Esta história expressa um sentimento de sucesso por parte da professora, embora tenha
vindo a enfrentar este tipo de problema em diversas ocasiões. Refere que não é fácil para ela
integrar todos os aspectos deste novo papel na sua prática.
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História 2 – Teresa
Cheguei ao ponto de pensar que eles não iriam conseguir chegar lá (à expressão geradora)
porque estavam muito agarrados a isto, à expressão dos números. Então, houve alguns grupos em
que eu fui dizendo “Vejam como é que contam os fósforos. Arranjem uma maneira sistemática de
contar” e não sei quê. [Resumo] Porque, como foi assim que eu cheguei lá, achei que era a melhor
maneira. [Orientação] Mas depois pensei assim: “quem é que me diz que os meninos não chegam
lá de outra maneira?” [Complicação da ação] Então deixei de dizer isto. Pensei, “Não digo nada,
absolutamente nada, nem que eles não descubram nada a aula inteira”.
E fiquei realmente com a sensação de que eles não iriam descobrir nada a aula inteira, que
não iriam descobrir a expressão geradora. [Resolução da ação]
E ao fim acabou que aqueles outros dois grupos conseguiram chegar lá por outro processo.
De maneira que não sei se não é melhor não lhes dizer nada e deixá-los a desenvencilharem-se e
depois logo se vê. [Avaliação/Corda]
Neste caso, a tarefa em que os alunos estavam a trabalhar envolvia uma seqüência de
quadrados formados por fósforos.
Teresa decidiu ajudar os alunos a fazer uma generalização do número de fósforos para
cada quadrado. Através da sua sugestão pretendia conduzi-los para o processo que ela utilizou
para abordar esta questão. Então interroga a si própria sobre esta forma de atuação (complicação).
Decide não fazer mais sugestões daquele tipo ainda que os alunos tenham grande dificuldade em
conseguir atingir os objetivos desta tarefa (resolução).
Como existiram dois grupos que encontraram a expressão geral pretendida de uma
maneira diferente, a professora julga ter tomado a decisão certa (avaliação). Noutras histórias,
porém, expressa novamente dúvidas sobre o não ser direta quando os alunos não são bem
sucedidos.
A partir da análise de dados, em geral, e da análise narrativa, em particular, foi possível
distinguir cinco características principais a respeito do papel das professoras:
(1) criar condições para o desenvolvimento da atividade, (2) predispor para a atividade, (3)
sustentar a atividade, (4) promover o desenvolvimento do processo investigativo e (5) promover a
comunicação e o desenvolvimento de conceitos e procedimentos.
As professoras descreveram os diversos dilemas que enfrentaram ao desempenharem
o seu papel nas investigações matemáticas, a saber, apoiar os alunos sem dar as respostas,
fornecer sugestões sem desviá-los do percurso que tomaram e pedir justificações até um grau
razoável.
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Reflexão sobre o estudo
Com este estudo pretendia-se conhecer as perspectivas das professoras sobre a natureza das
investigações matemáticas e o papel do professor e dos alunos. As histórias, em especial, ajudaram
a compreender as dificuldades e os dilemas que as professoras enfrentaram. Além disso, a análise
narrativa permitiu conformar às histórias que estruturam a experiência das professoras com as
investigações matemáticas. Por exemplo, Teresa contou algumas histórias sobre outras situações
quando quis expressar as suas perspectivas ou justificar algumas das suas ações. Isabel contou
algumas histórias muito expressivas sobre esta experiência a outros colegas.
Estas professoras encararam este estudo como uma oportunidade de alargar e melhorar a
sua prática. Mostraram-se muito interessadas em experimentar novas tarefas e em fornecer um
contexto rico para a atividade. Também valorizaram a possibilidade que surgiu de refletirem sobre
a sua prática de uma maneira sistemática. Esta curta experiência sugere que as histórias são um
campo promissor para gerar a reflexão dos professores. Estas histórias podem ser pessoais ou de
um outro professor e constituir um começo para a reflexão pessoal.
Apesar de todas as vantagens identificadas nesta metodologia de investigação, existem
alguns pontos críticos. O fato de a investigadora estar presente na sala de aula pode ter contido as
professoras de falarem mais, contando mais histórias, supondo que são relatos conhecidos. Este
obstáculo será menos importante quando o professor tem outras experiências com estas atividades,
tal como era o caso de Teresa. A observação das gravações em vídeo das aulas pode facilitar a
reflexão sobre a prática e o surgimento de histórias. Porém, há que ter em conta que esta metodologia
exige muito em termos de tempo despendido, dado que exige a realização de reuniões com certa
regularidade e a subsequente escrita das histórias para garantir o feedback do professor, num curto
espaço de tempo.
Dentro do que foi lido sobre pesquisa Narrativa, propomos aos professores a escritura
de Narrativas no formato de casos contados por eles, como expressão do que se
configura como “documentos históricos de sua prática docente”, com as quais se
indicam a seguir:
1) Práticas/aulas bem sucedidas, isto é, que possibilitam aprendizagem dos alunos;
e
2) Práticas/aulas mal sucedidas, isto é, que não possibilitam a aprendizagem dos
alunos.
Os Portfólios: Compreende um conjunto coerente de documentação refletidamente
selecionada, significativamente comentada e sistematicamente organizada e contextualizada no
tempo, reveladora do percurso profissional.
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É, portanto, um conjunto de registros onde os alunos e professores deixam registrados seu
currículo, sua vida acadêmica, seus interesses, publicações, experiência profissional e tudo mais
que achar relevante como forma de se apresentar para a comunidade acadêmica, a fim de que todos
conheçam suas características e realizações pessoais, acadêmicas e profissionais. É um valioso
meio para os sujeitos visualizarem como vem sendo o seu desempenho em atividades acadêmicas
e como as mesmas estão contribuindo para suas experiências no campo pessoal e profissional.
Possibilita também que os professores registrem seus interesses, idéias e realizações.
As Perguntas Pedagógicas: Como atributo do ser humano, a capacidade de questionarmos
e de questionarmos a nós próprios é um motor de desenvolvimento e de aprendizagem. Pelo
questionamento tudo é suscetível de vir a ser mais bem compreendido, mais assumidamente aceito
ou rejeitado.
As perguntas, para merecer a designação de pedagógicas, têm de terem uma intencionalidade
formativa e isso, independentemente de quem as faz, quer o próprio professor quer um seu colega
ou supervisor.
Smyth (apud Alarcão, 2003) agrupa as Perguntas Pedagógicas em quatro tipos
fundamentais:
 Perguntas Pedagógicas de Descrição: situam-se ao nível do que os professores fazem
ou sentem;
 Perguntas Pedagógicas de Interpretação: vão mais longe e focalizam-se no significado
das ações ou dos sentimentos;
 Perguntas Pedagógicas de Confronto: trazem a novidade e por vezes o incômodo, de
outros olhares e podem vir a constituir-se como um rasgar de horizontes e início da
mudança da reconstrução e da inovação;
 Perguntas Pedagógicas de Reconstrução: hierarquicamente organizadas, elevam-se da
descrição à reconstrução e transformação.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Das estratégias apresentadas no texto, você já havia trabalhado com alguma delas? Faça
um relato dessa experiência caso sim. Se não, justifique o motivo de desconhecê-las.
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UNIDADE III
PROFESSOR PESQUISADOR E REFLEXIVO
As perspectivas do professor como pesquisador vêm sendo consideradas nos últimos anos
mais acentuada, pelos movimentos de reestruturação dos cursos de formação de professores e
de educação continuada, com a preocupação de preparar o profissional que pesquise sua própria
prática.
Para que este movimento tome ações práticas, fomos buscar na pesquisa-ação ELLIOT,
STENHOUSE e LEWIN.
A expressão pesquisa-ação foi usada pela primeira vez por Kurt Lewin nos anos 40, o que
nos mostra como estamos atrasados na sua aplicação; isso nos vale para contentação a análise e
reflexão das experiências desenvolvidas para que possamos avaliar sua aplicação nos cursos de
formação inicial de professores e de formação continuada.
Os princípios da pesquisa-ação estabelecidos por Kurt Lewin (1946) são: o caráter
participativo, o impulso democrático e a contribuição à mudança social, concebendo a pesquisaação como um posicionamento realista da ação, sempre seguida de uma reflexão autocrítica
objetiva e uma avaliação de resultados: “Nem ação sem investigação nem investigação sem ação”
(apud Serrano, 1990, p. 35).
ELLIOT (1990), educador inglês cujo pensamento está vinculado ao de Lawrence
Stenhouse, pensador também inglês, que lutou por reconhecer no professor uma postura de
produtor de conhecimentos sobre as situações vividas em sua prática, complementa dizendo que:
é uma atividade empreendida por grupos com o objetivo de modificar suas circunstâncias a partir
de valores humanos partilhados; não deve ser confundida com um processo solitário de autoavaliação; é uma prática reflexiva de ênfase social que se investiga e o processo de investigar sobre
ela.
Para PEREIRA (1998, p.179), o movimento de pesquisa-ação na atuação educacional
constitui-se na ênfase de se responder, como no grupo compromissado, às necessidades específicas
das vivências concretas dos espaços situacionais e do tempo histórico presente, fazendo acontecer
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
às mudanças na prática docente e no currículo escolar, com vistas a atingir os valores do “bem
comuns” coletivamente opostos.
Pesquisar é, sem dúvida, um processo fundamental de construção do conhecimento. Toda
pesquisa começa com a identificação de um problema relevante – teórico ou prático – para o qual
se procura, de forma tanto quanto possível metódica, uma resposta convincente. BEILLEROT
(2001) sugere três condições de base para que uma atitude se possa considerar uma pesquisa:
i) Produzir conhecimentos novos;
ii) Ter uma metodologia rigorosa;
iii)Ser pública.
Estas três condições têm a razão de ser. Na verdade, se tem uma questão que foi claramente
respondida antes, não estaremos perante uma pesquisa, mas tão só perante uma verificação ou
comprovação. Além disso, para termos uma pesquisa, devemos seguir algum método, com um
mínimo de rigor e permitir que todos os interessados possam compreender o que fizemos. Por
último, uma pesquisa tem de poder ser apreciada e avaliada pela comunidade interessada e para
isso, é necessário conhecê-la. Esse conhecimento é condição para que os resultados e perspectivas
emergentes dessa pesquisa possam ser eventualmente aceitos como relevantes pelo grupo
profissional e, possivelmente, pela comunidade em geral.
Se estas condições são adequadas para caracterizar toda a pesquisa, também o serão em
particular, para caracterizar a pesquisa que os profissionais realizam sobre sua própria prática. A
característica definidora desta forma particular de pesquisa refere-se apenas ao fato do pesquisador
ter uma relação muito particular com o objeto de estudo, uma vez que ele estuda não um objeto
qualquer, mas um aspecto de sua própria prática profissional.
As três condições indicadas por Beillerot são aplicáveis à pesquisa que os profissionais da
educação – entre os quais os professores – realizam sobre a sua prática. Como se refere PONTE
(2002) são condições muito gerais e será preciso operacionalizar através do desenvolvimento de
uma cultura de pesquisa e de discussão de pesquisa sobre a prática profissional. Somente com a
análise de casos concretos se estabelecerá com clareza o que é realmente novo e o que é déja vu,
se compreenderá melhor o que é ou não metódico e rigoroso e se reconhecerá o que foi divulgado
publicamente de modo adequado para ser escrutinado e discutido pelos pares. Ou seja, a pesquisa
envolve uma metodologia, mas também uma pergunta diretora e uma atividade de divulgação
e partilha. A formulação de boas questões para pesquisa é um ponto de grande importância no
trabalho a ser pesquisado. A existência de uma metodologia é uma condição necessária, mas não
suficiente para caracterizar uma atividade como sendo uma pesquisa e em particular, uma pesquisa
sobre a prática.
Na atual forma de ver o professor no processo educativo precisamos tirar da mente que sua
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
formação o prepara apenas para dar aula, mas deve prepará-lo sim também para ser um organizador,
orientador e dinamizador das relações de aprendizagem, onde o aluno se configura um grande
parceiro de trabalho.
O professor que veio dessa formação deve urgentemente mudar, renovar sua postura e
atitudes, procurando provocar transformações nas relações de aprendizagem.
Desta forma, a pesquisa é uma postura a ser construída/adquirida pelo professor. E esta
postura exigirá competência técnica, pedagógica e política para que o professor possa desenvolver
seu trabalho de forma que aluno e professor construam e reconstruam saberes que possibilitem a
sua emancipação.
A pesquisa deve ser algo inerente à profissão do professor, que o faça melhorar sua prática
em sala de aula, buscando junto com o aluno suprir as falhas que outrora os distanciavam, pois ao
ensinar também está aprendendo. Sobre isso. Freire afirma:
Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino. Esses fazeres se encontram um
no corpo do outro. Enquanto ensino contínuo buscando, reprocurando. Ensino porque
busco, porque indaguei, porque constatei, constatando, intervenho, intervindo educo e
me educo. Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou anunciar a
novidade (1996, p. 32).
A formação do professor-pesquisador está estreitamente relacionada ao seu potencial
de análise e reflexão, assim, a concepção de pesquisa que propomos é aquela que tem a sala
de aula como espaço de investigação. A ação reflexiva do professor possibilita que ele avalie
permanentemente seu trabalho, agindo como sujeito ativo que participa das discussões,
decisões e da produção e reprodução de novos saberes, ultrapassando, desta forma, a condição
de repassador de conhecimento que foi produzido por outrem. Nesta perspectiva, o professor
passa a ter uma atuação ativa, refletindo sobre os conteúdos que trabalhará, como desenvolvêlos e para quem, ou seja, identificando o perfil do seu aluno e ainda, questionar-se sobre o por
quê trabalhar determinado conteúdo. Esta análise possibilitará ao profissional rever sua prática,
dando-lhe subsídios para trabalhar conteúdos realmente significativos para seus alunos.
O professor precisa renovar-se, como dissemos. Para isso, precisa tornar-se um professor
reflexivo que se constitui em condição essencial para o desenvolvimento da pesquisa, pois o
professor reflexivo analisa cuidadosa e criteriosamente todas as possibilidades que a ele se
apresentam como viáveis e aquelas que parecem, a priori, impossíveis de solução e estabelece
novas construções a partir do que já existe.
A formação do professor-reflexivo e, conseqüentemente, do professor-pesquisador, vem
propor o resgate das funções do professor, seus direitos, seus deveres, seu compromisso, sua
cidadania enquanto profissional que decide sobre a qualidade do seu trabalho.
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É importante que o professor possa apresentar diferentes problemas aos alunos, procurando
despertar nestes a vontade de aprender e consiga desenvolver este trabalho na sala de aula, para
que ele se transforme em um profissional reflexivo e pesquisador.
Educar pela pesquisa tem como condição primeira que o professor seja pesquisador e a tenha
como atitude cotidiana. Não é o caso de fazer dele um pesquisador profissional, sobretudo na educação
básica, mas como instrumento principal do processo educativo. Não buscamos um profissional da
pesquisa, mas um profissional da educação pela pesquisa DEMO, 1998.
A pesquisa não é destinada (no caso da matemática) apenas àqueles que chamamos
provenientes da matemática pura ou aplicada, mas a todos aqueles que apresentam uma insatisfação
na área educacional que, a nosso ver, no ensino de matemática são vários, e que vai atrás de meios
investigativos para resolverem satisfatoriamente essas insatisfações. Isto abre um leque imenso
para a pesquisa em educação matemática, pois o professor ao assumir uma postura de professor
pesquisador e reflexivo, deve assumir também o compromisso de investigar e refletir sobre/na sua
prática diariamente.
Propomos-nos neste trabalho dar uma visão de pesquisa que se traduz como cotidiano de
cunho científico, onde as aulas tornam-se um grande laboratório de reflexão, análise, comprovação,
negação, construção e reconstrução das teorias e o professor um investigador.
A atualização continuada do professor é essencial para consolidar a sua ação reflexiva, a
pesquisa e construir sua competência. Implica no compromisso do profissional com uma educação
crítica e dialética, fundamentada na reflexão de sua prática com vistas a uma aprendizagem
construtiva e continuada.
O professor-pesquisador constitui-se, portanto, naquele profissional comprometido com
uma educação que fomenta nos alunos a potencialidade de inventar, reinventar e embrenhar-se
no conhecimento, buscando construir as bases de um mundo diferente daquele anteriormente
conhecido e tornando-se sujeito na construção de uma escola consciente das adversidades que a
constitui.
O professor-pesquisador deve atuar dialogicamente com a pesquisa-ação, implicando assim
um trabalho de pesquisa colaborativa dos professores; este deve ainda fazer da sua pesquisa um
momento constante de reflexão, olhando para sua ação de forma reflexiva, o que o levará a um
mergulho no processo de aprendizagem e crescimento de seu trabalho no ensino, mas ainda na
pesquisa em sala de aula, juntamente com seus alunos. Esse conjunto segue em direção à geração
de conhecimentos profissionais, conduzindo o professor ao seu desenvolvimento profissional.
Vejamos a seguir um esquema apresentado por Carrillo (2002, p. 311), onde partindo de
trabalhos como professor pesquisador culminamos no seu desenvolvimento profissional.
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No entanto, para que o professor possa desenvolver-se profissionalmente a partir das perspectivas
do professor pesquisador, é necessário que ele tenha autonomia para definir suas ações.
Segundo Aragão & Gonçalves, o termo ‘autonomia’ vem sendo utilizado no contexto
escolar nas mais diversas situações, se não vejamos algumas acepções correntes:
•
•
•
•
•
Utilizar as diferentes linguagens com autonomia,
Ter autonomia para escolher alternativas de ensino,
Ter autonomia para resolver problemas,
Ter autonomia para enfrentar situações de conflitos, e assim por diante,
Ter autonomia para tomar decisões no ensino e na avalição da aprendizagem.
Atividades propostas para o Texto
At. 1) Em algum momento de suas atividades em sala de aula, você tem atuado como
professor pesquisador e/ou reflexivo, segundo o olhar apresentado no texto? Faça um relato de sua
experiência a respeito dessa questão.
At. 2) Discuta com seus colegas as seguintes situações que se referem ao professor pesquisador:
Autores do texto: Subsídios para a Compreensão, tendo em vista a Investigação de questões relativas à Autonomia de
Professores.
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i) Como podem os professores ao investigarem suas ações em sala de aula, enfocando os
desafios enfrentados no âmbito escolar, bem como considerando as dificuldades dos alunos e dos
próprios professores no contexto da escola melhorar o trabalho em sala de aula.
ii) Investigando as considerações dos professores sobre a organização escolar, em termos de
sua compreensão da problemática da educação matemática na relação com os problemas políticos,
sociais, culturais e, ainda, em que medida a formação continuada na escola contribui para isso.
At. 3) Faça uma análise da fig.1 apresentada no texto e apresente um relato desta análise.
At. 4) Como você vê a participação dos professores na elaboração de projetos que estejam
relacionados com a prática do professor na escola, ou seja, como a voz dos professores se faz
presente nestas discussões.
Consideramos importante incidir sobre as questões aqui apontadas para analisar
com maior amplitude a questão da autonomia do professor, em termos investigativos.
Formar grupos para discutirmos até onde vai a autonomia do professor na escola.
At. 5) O envolvimento docente em atividades de pesquisa pode contribuir para que novos
caminhos sejam trilhados e outras possibilidades sejam consideradas com maior envolvimento e
participação de todos os professores nas tomadas de decisão escolares. Discuta no grupo, sobre
esta questão.
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UNIDADE IV
DA FORMAÇÃO INICIAL E CONTINUADA E DA
FORMAÇÃO E DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL
DO PROFESSOR
Introdução
Por acreditarmos que o professor pesquisador, que se quer também reflexivo, deva iniciar
sua atuação em sala com esses pré-requisitos, é necessário entendermos de forma crítica como se dá
a formação inicial e continuada deste professor, assim como seu desenvolvimento profissional.
Formação Inicial e Continuada
Segundo a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) de 1996, o professor é um profissional da educação,
que deve ter plano de carreira, acesso à formação inicial e continuada e condições adequadas de
trabalho. Essas determinações de fato correspondem às demandas do pessoal docente, mas estão longe
de ser uma realidade efetiva, neste momento, pois a situação da formação inicial está muito aquém
da desejável, havendo em exercício, na educação básica de todo o país, cerca de 1 milhão e 300 mil professores que não têm formação em nível superior.
Focalizando apenas o Brasil, percebemos facilmente que a identidade do professor mudou,
passando das figuras da normalista cheia de ideal ou do educador que trabalha por vocação, como
se fosse um “sacerdote”, para as do técnico em ensino e do trabalhador da educação. No momento
presente coloca-se a noção do professor profissional da educação que, ao formar-se, forma também
a escola e produz a profissão docente (Nóvoa, 1991). De que modo, no entanto, ocorre essa dinâmica
do processo identitário do professor, ao longo de sua formação inicial e continuada?
Considerando a importância das interações sociais e do contexto político e social para a
formação do professor, podemos dizer que é importante prever tempos e espaços curriculares,
INEP, Censo escolar de 2002.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
tanto na formação inicial quanto na continuada, para que ele – profissional em formação – possa
refletir criticamente sobre diferentes aspectos de sua prática pedagógica, em que seu trabalho
“dialoga” com diversos interlocutores: a própria sociedade (famílias dos alunos), o sistema de
ensino (MEC, Secretarias de Educação), a categoria docente (cujo campo de trabalho é a escola), a
instituição escolar (em que vivencia relações hierárquicas vinculadas aos papéis institucionais), a
escola em funcionamento (em cuja organização trabalha com seus pares) e a sala de aula (em que
interage com os alunos). Esse conjunto de relações, que se mesclam e se conformam mutuamente,
resultam na dinâmica do processo de formação da identidade do professor como um profissional.
(SALGADO, 1999)
A escola é o locus por excelência da formação continuada e deve ser um espaço importante na
formação inicial. É essencial que universidades ou institutos de formação de professores estabeleçam
parcerias com escolas da rede de educação básica, assegurando espaço de prática pedagógica para
seus alunos e, como contrapartida, oferecendo serviços especializados, para colaborar com a formação
continuada dos docentes das instituições parceiras. No caso da formação inicial em serviço – tão
freqüente no momento atual –, o que à primeira vista pareceria uma limitação, passa a ser uma
vantagem: estudando e trabalhando ao mesmo tempo, o professor tem mais oportunidades de receber
orientação e acompanhamento da prática e, sobretudo, tem um material mais rico para completar o
ciclo da ação-reflexão-ação.
Na formação do professor, a ação educativa não pode ser fragmentada em atos isolados.
Deve sim, constituir um processo contínuo de ação-reflexão-ação, no qual a prática não se dissocia
da teoria, desde o primeiro momento do curso.
A formação inicial garante o tratamento sistemático dos conhecimentos do professor
– como especialista, pensador e cidadão –, os saberes que produz em seu cotidiano dãolhe a segurança e a serenidade para o trato com os alunos. Nessa perspectiva, a formação
continuada não apenas se reporta à atualização do professor, mas principalmente permite
o distanciamento crítico, necessário para uma reflexão mais aprofundada que analise e
consolide os saberes da prática, evitando que se transformem em simples senso comum.
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Sua formação inicial contribuiu de forma efetiva na forma de você atuar hoje
em sala de aula?
Formação e Desenvolvimento Profissional
A formação e o desenvolvimento profissional são trabalhados de forma desarticulada:
primeiro vem a formação inicial, depois a formação continuada, enquanto que ela deveria se
configurar como uma formação para o docente se desenvolver profissionalmente, trabalhadas
concomitantemente (GONÇALVES, 2000, p.17).
MARCELO (1999, p.26) conceitua a formação de professores como a área de conhecimentos,
investigação e de propostas teóricas e práticas que, no âmbito da Didática e da Organização Escolar,
estuda os processos através dos quais os professores – em formação ou em exercício – se implicam
individualmente ou em equipe, em experiência de aprendizagem através das quais adquirem ou
melhoram os seus conteúdos, competências e disposições, lhes permitindo intervir profissionalmente
no desenvolvimento do seu ensino, currículo e da escola, com objetivo de melhorar a qualidade da
educação que os alunos recebem.
O desenvolvimento profissional deve concretizar-se como uma atitude permanente de
pesquisa, de questionamento e busca de soluções é o que nos apresenta RUDDUCK (1987, p. 129)
(apud Marcelo, 1999) quando coloca que a capacidade de um professor para manter a curiosidade
acerca da classe; identificar interesses significativos no processo de ensino e aprendizagem;
valorizar e procurar o diálogo com colegas especialistas como apoio na análise dos dados.
Para TARDIF (1991), é necessário que nos tempos atuais a formação profissional se
baseie em uma nova epistemologia: a “epistemologia da prática”, que ele define como “o estudo do
conjunto de saberes utilizados realmente pelos profissionais [professores, no caso], em seu espaço
de trabalho cotidiano, para o desempenho de todas as suas tarefas.”
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35
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Assim, a formação do professor, de acordo com a “epistemologia da prática, contribuiria
para dar novo significado também à escola e à profissão docente (Nóvoa, 1991)”.
Neste processo de Formação e Desenvolvimento Profissional, o professor constrói saberes,
que vêm facilitar seu entendimento sobre o que ensina e como ensina e dos conhecimentos
necessários que constituem esses saberes.
Discutam em grupo a respeito da formação e o desenvolvimento profissional dos
professores. Enfocando os aspectos que você achou mais importantes nesse processo,
até agora.
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
UNIDADE V
SABERES NA PRÁTICA DOCENTE
Introdução
O trabalho docente apresenta três dimensões básicas apresentadas por FIORENTINI (1999)
com base em GAUTHIER (1998), são elas: a ético-política, a emocional afetiva e a cognitiva relativa
aos saberes profissionais, sendo que este último nos leva aos saberes públicos, produzidos pelas
ciências da educação, dos conhecimentos disciplinares e das diversas teorias, e o saber privado é o
saber da experiência, construído na prática pelos docentes.
Segundo FIORENTINI et al (1999, p.57), o saber docente é “reflexivo, plural e complexo
porque histórico, provisório, contextual, afetivo, ético-político (pois tem como objetivo de
trabalho, seres humanos), cultural, formando em teia, mais ou menos coerente e imbricada, de
saberes científicos oriundos das ciências da educação, dos saberes das disciplinas, dos currículos
e de saberes da experiência e da tradição pedagógica”.
Dentre estes saberes, é preciso que saibamos explorar melhor na formação dos professores,
os saberes da experiência (TARDIF, LESSARD & LAHAYE, 1991) no sentido de ressignificarmos
esses saberes que são considerados relevantes para a profissão docente e constituem os fundamentos
de sua competência (GONÇALVES, 2000, p.150).
O SABER EXPERIENCIAL
A experiência e o hábito estão intimamente relacionados. De fato, aprender através de
suas próprias experiências significa viver um momento particular, momento esse diferente de
tudo o que se encontra habitualmente, sendo registrado como tal em nosso repertório de saberes.
Essa experiência torna-se então a “regra” e, ao ser repetida, assume muitas vezes a forma de
uma atividade de rotina. A experiência do professor apesar disso não deixa de ser uma coisa
pessoal e, acima de tudo, privada. Embora o professor viva muitas experiências das quais tira
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
grande proveito, estas, infelizmente, permanecem confinadas ao segredo. Seu julgamento e as
razões nas quais ele se baseia nunca são conhecidos nem testados publicamente. O que limita
o saber da experiência é exatamente o fato de que ele é feito de pressupostos e de argumentos
que não são verificados por meio de métodos científicos.
Entre outras categorias/tipologias de saberes, apresentaremos aqueles determinados
por GAUTHIER et al. (1998) que categorizam o saber público em: saber disciplinar, saber
curricular, saberes da ciência da educação e o saber da tradição pedagógica.
O SABER DISCIPLINAR
Refere-se aos saberes produzidos pelos pesquisadores e cientistas nas diversas disciplinas
científicas, ao conhecimento por eles produzidos a respeito do mundo. “Os saberes disciplinares
correspondem às diversas áreas do conhecimento, correspondem aos saberes que se encontram à
disposição de nossa sociedade tais como se acham hoje integrados à universidade sob a forma de
disciplinas, no âmbito de faculdades e cursos distintos.” (Tardif, Lessard e lahaye, 1991, p. 59).
O professor não produz o saber disciplinar, mas para ensinar, extrai o saber produzido por esses
pesquisadores. De fato, ensinar exige um conhecimento do conteúdo a ser transmitido, visto que,
evidentemente, não se pode ensinar algo cujo conteúdo não se domina.
O SABER CURRICULAR
Uma disciplina nunca é ensinada tal qual, ela sofre inúmeras transformações para se tornar
um programa de ensino. De fato, enquanto instituição, a escola seleciona e organiza certos saberes
produzidos pelas ciências e os transforma num corpus que será ensinado nos programas escolares.
Esses programas não são produzidos pelos professores, mas por outros agentes, na maioria das
vezes, funcionários do Estado ou especialistas das diversas disciplinas, transformados em manuais
e cadernos de exercícios que, uma vez aprovados pelos órgãos “competentes”, são utilizados pelos
professores. O professor deve conhecer o programa que constitui um outro saber e que o norteará
no planejamento de suas aulas.
O SABER DAS CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO
Todo professor adquiriu, durante sua formação ou em seu trabalho, determinados
conhecimentos profissionais que, embora não o ajudem diretamente a ensinar, informam-no a
respeito de várias facetas do seu ofício ou da educação de um modo geral. Um conjunto de saberes
a respeito da escola como: o sistema escolar, o conselho escolar, sindicato, carga horária, etc., que
são desconhecidos pela maioria dos cidadãos comuns e pelos membros de outras profissões. É um
saber profissional específico que não está diretamente relacionado com a ação pedagógica, mas
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
serve de pano de fundo tanto para ele quanto para os outros membros de sua categoria socializados da
mesma maneira. Este tipo de saber permeia a maneira de o professor existir profissionalmente.
O SABER DA TRADIÇÃO PEDAGÓGICA
A partir do séc. XVII, estrutura-se uma nova maneira de fazer a escola. O mestre deixa
de dar aulas no singular, isto é, de ensinar recebendo os alunos um por um em seu escritório. A
partir de então, ele passa a praticar muito mais o ensino simultâneo, dirigindo-se a todos os alunos
ao mesmo tempo. Essa tradição pedagógica é o saber dar aulas que transparece numa espécie
de intervalo da consciência. Nessa perspectiva, cada um tem uma representação da escola que
o determina antes mesmo de ter feito um curso de formação de professores, na universidade.
As pesquisas estão apenas começando a examinar essa concepção prévia do magistério existente
entre os alunos no início da formação docente. Muito mais forte do que se poderia imaginar à
primeira vista, essa representação da profissão, ao invés de ser desmascarada e criticada, serve de
molde para guiar os comportamentos dos professores. É claro que esse saber da tradição apresenta
muitas fraquezas, pois pode comportar muitos erros. Ele será adaptado e modificado pelo saber
experiencial e, principalmente, válido ou não pelo saber da ação pedagógica.
O SABER DA AÇÃO PEDAGÓGICA
É o saber experiencial dos professores a partir do momento em que se torna público e que é
testado através das pesquisas realizadas em sala de aula. Os julgamentos dos professores e os motivos
que lhes servem de apoio podem ser comparados, avaliados, pesados, a fim de estabelecer regras de
ação que serão conhecidas e aprendidas por outros professores. Nota-se, de fato que, no campo da
pedagogia, o saber do professor é em grande parte privado e não passa por nenhuma comprovação
sistemática como em outras profissões. Estamos ainda naquele ponto em que cada professor, sozinho
em próprio universo, elabora uma espécie de jurisprudência particular, feita de mil e um truques que
“funcionam” ou que ele acredita que funcionam, e essa jurisprudência por ser particular só raramente
chega ao conhecimento público para ser testada. Esse saber se perde quando o professor deixa de
exercer seu ofício, apesar de estar presente em toda a prática profissional do professor. Portanto, não
poderá haver profissionalização do ensino enquanto esse tipo de saber não for mais explicitado, visto
que os saberes da ação pedagógica constituem um dos fundamentos da identidade profissional do
professor.
Para que esse trabalho do professor como pesquisador e reflexivo convirja para a sua
formação e desenvolvimento profissional é necessário que seja realizado em um ambiente adequado
para tal. É o que exporemos na próxima unidade.
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39
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Dos saberes apresentados no texto, quais você acha que possui e como eles foram
construídos? Faça um relato!
Quais dos saberes apresentados no texto você acha que sejam imprescindíveis que o
professor possua?
D eixe no quadro abaixo suas impressões
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
UNIDADE VI
CENÁRIOS PARA INVESTIGAÇÃO
Introdução
A forma como a Matemática vem sendo ensinada nos ambientes escolares tem sido
componente das investigações em Educação Matemática. Atualmente, o ensino de matemática
ocupa lugar de destaque, sobressaindo-se entre as demais disciplinas, pois tem trazido preocupações
a professores, alunos, pais e à sociedade, diante do baixo rendimento escolar. Algumas pesquisas
apontam que a matemática ensinada (conteúdo) na sala de aula, bem como a forma (metodologia)
como ela vem sendo ensinada não correspondem às necessidades do aluno.
Neste sentido, as escolas brasileiras ainda têm um grande desafio a enfrentar. Segundo
resultados divulgados pelo Instituto Paulo Montenegro, braço social do Ibope, em 08 de setembro
de 2004, 77% dos brasileiros jovens e adultos não são capazes de resolver problemas matemáticos
que exijam mais de um passo para sua resolução e também, não conseguem ler mapas, gráficos
ou tabelas. A pesquisa indica também que 2% da população brasileira é totalmente analfabeta
em Matemática, o que significa que não domina habilidades simples como ler preços, identificar
números de telefone, contar dinheiro ou mesmo consultar um calendário. Segundo a pesquisa,
outro grupo formado por 46% dos brasileiros, embora consiga ler números, comparar preços e até
dar troco, não consegue resolver pequenas situações onde tenha de fazer alguns cálculos simples.
Levando em consideração que cabe também à educação escolar preparar sujeitos críticos,
conscientes e integrados à sociedade e que o ensino deve se dar em ambientes onde a aprendizagem
aconteça de forma significativa (Almeida & Dias, 2004). Nessa perspectiva, concordamos com
Skovsmose (2000) quando diz que os alunos devem ser levados a produzirem significados para os
conceitos e para as atividades matemáticas, que em nosso ponto de vista é fundamental para uma
aprendizagem significativa por parte dos alunos.
É aquele que convida os alunos a formular questões e procurarem explicações.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
Muitos estudos têm revelado um quadro desolador sobre o que acontece na sala de aula
tradicional, porém, não reconhecem que existem outros possíveis ambientes de aprendizagem
que em nosso ponto de vista podem minimizar a problemática do ensino-aprendizagem da
matemática.
Segundo Skovsmose (2000), é possível criar seis ambientes de aprendizagem, resultantes
da combinação entre os paradigmas do exercício e o cenário para investigação e os três tipos
diferentes de referência:
1°- Questões e atividades matemáticas podem se referir à matemática e somente a ela.
2°- É possível se referir a uma semi-realidade: não se trata de uma realidade que “de fato”
observamos, mas uma realidade construída, por um exemplo, por um autor de livro
didático de matemática.
3°- Alunos e professores podem trabalhar com tarefas com referências a situações da vida
real.
Combinando os três tipos de referência e a distinção entre os dois paradigmas de práticas
de sala de aula, obtém-se uma matriz com seis tipos diferentes de ambientes de aprendizagem,
como mostra o quadro abaixo:
Exercícios
Cenário para Investigação
Referências à matemática pura
(1)
(2)
Referências à semi-realidade
(3)
(4)
Referências à realidade
(5)
(6)
QUADRO (I)
 O ambiente tipo (1): É aquele dominado por exercícios apresentados no contexto
da “matemática pura”;
 O ambiente tipo (2): É caracterizado como um ambiente que envolve números e
figuras geométricas;
 O ambiente tipo (3): É constituído por exercícios com referências à semirealidade;
 O ambiente tipo (4): Também contém referências a uma semi-realidade, mas agora
ela não é usada como recurso para a produção de exercícios, é um convite para que
os alunos façam explorações e explicações;
 O ambiente tipo (5): São exercícios baseados na vida real;
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
 O ambiente tipo (6): Tem como característica a escolha de temas reais que levem
os alunos a produzirem diferentes significados para as atividades e não somente os
conceitos.
DIVERSIFICANDO OS AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
Nosso objetivo em relação à proposta de reflexão dos ambientes de aprendizagem não é de
mapear e criar receitas de bolo, mas de apresentar diversas formas de ambientes para facilitar as
discussões sobre as mudanças na educação matemática.
Nossa discussão é de crítica em relação ao paradigma do exercício, porém, não propomos
substituição e sim reestruturação na forma como vem sendo utilizado, não podemos deixar de
considerar que determinados exercícios podem criar atividades de resolução de problemas
transformando-se em genuínas investigações matemáticas e desta forma apontando em direção
aos cenários de investigação. Nossa proposta não é de abandonar por completo os exercícios da
educação matemática e sim utilizar como complemento para consolidar o processo de ensinoaprendizagem.
Nessa perspectiva, Skovsmose (2000) afirma que:
“Quando os alunos estão explorando um cenário, o professor não pode prever
que questões vão aparecer. Uma forma de eliminar o risco é o professor tentar guiar todos
de volta ao paradigma do exercício, à zona do conforto. (...) a rota entre os diferentes
ambientes pode ajudar a dar novos significados para as atividades dos alunos.”
“Criar uma harmonia entre o trabalho de projeto e as atividades de sala de aula
tem sido o grande desafio para a educação matemática baseada em projetos”.
Concordamos com Skovsmose quando afirma que os ambientes de investigação se
apresentam como um grande desafio à tradição da matemática escolar. Contudo, acreditamos
que a educação matemática deve se mover entre os diferentes ambientes, tal como é apresentado
no quadro (I). Na verdade, é importante que juntos, alunos e professores, achem seus percursos
entre os diferentes ambientes de aprendizagem, o melhor caminho não pode ser determinado
apressadamente, mas tem que ser decidido por ambos.
CONTRATO DIDÁTICO
Com relação à noção de ambiente de aprendizagem, um contrato didático pode ser definido
em termos do “equilíbrio no ambiente de aprendizagem” (SKOVSMOSE, 2000).
O fato de o contrato estar estabelecido não revela muito sobre a qualidade do ambiente
de aprendizagem. Mas antes de tudo, indica que o professor e os alunos compartilham a mesma
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
compreensão e aceitação das propriedades do ambiente de aprendizagem. A interação entre
ambas as partes não é problemática, desde que reconheçam o contrato.
A atuação do professor pesquisador e reflexivo deve estar pautada sobre uma metodologia
de ensino que esteja de acordo com o ambiente onde a escola está inserida e trabalhada de forma
contextualizada, para isso se faz importante que passemos a discutir agora as tendências de ensino
que podem ser trabalhadas pelos professores.
Descreva o seu ambiente de trabalho e procure comparar com o ambiente sugerido
no texto. Se pudéssemos determinar distâncias entre esses ambientes, você acha que
a escola hoje está próxima, à meia distância ou longe desse ambiente?
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
PROPOSTA DE CRIAÇÃO DE AMBIENTES DE APRENDIZAGEM
AMBIENTE (1): Criar ferramentas básicas, capazes de determinar o número de elementos
de conjuntos formados de acordo com certas regras, sem que seja necessário enumerar seus
elementos.
PROBLEMAS
1) Para fazer uma viagem Rio-São Paulo-Rio, posso usar como transporte o trem, o ônibus ou o
avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo
meio de transporte usado na ida?
2) Uma bandeira é formada por quatro listas que devem ser coloridas, usando-se apenas as
cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes terem a mesma cor. De quantos
modos pode ser colorida a bandeira?
3) Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
4) Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores de 5000 e
divisíveis por 5 podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
5) Quantos são os naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos?
6) Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO?
7) Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO que começam e terminam por consoante?
8) De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de dois lugares cada, de
modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça?
9) De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?
10) De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada?
11) Seja A = {a1, a2, a3, a4, a5}, de quantos modos podemos escolher 3 elementos distintos entre os
5 objetos distintos dados?
12) Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas
diferentes?
Problemas retirados do livro Análise Combinatória e Probabilidade (SBM)
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
13) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a s. Quantos
triângulos existem com vértices em 3 desses 13 pontos?
14) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um
grupo de 7 homens e 4 mulheres?
15) Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8
homens e 5 mulheres.
a) Quantas comissões podem ser formadas?
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar da comissão se nela
estivesse determinada mulher?
16) De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas
determinadas crianças não fiquem juntas?
17) Quantos anagramas possui a palavra MATEMÁTICA?
18) De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores?
OBJETIVO DO ESPAÇO:
AMBIENTE (2): Para cada situação, faça uma leitura detalhada, reflita sobre o enunciado
e, se necessário, faça suas anotações. A seguir se reúna a outros (as) colegas para uma socialização.
Aguarde a socialização das idéias, entre todos os grupos e sempre que possível participe das
discussões.
1ª situação: Considere a potência (a+b)n, com a∈ℜ, b∈ℜ e n∈Ν. Atribuindo n desenvolva
as potências e, a partir dos resultados, tire suas conclusões.
2ª situação: No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho. Registre
todos os resultados possíveis e em seguida use o mesmo procedimento para cada situação
abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
Sair o mesmo número em ambos os dados
Sair soma 7
Sair soma maior que 10
Sair soma maior que 12
Sair soma maior que 1 e menor que 13
O livro texto: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE, COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA/
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
3ª situação: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima:
a) Descreva todos os possíveis resultados e registre o número de possibilidades.
b) Considere os números pares e repita o procedimento anterior.
c)Qual a possibilidade de tirar um número par utilizando o experimento inicial?
4ª situação: Analise as seguintes situações:
a) Uma moeda é lançada três vezes. Qual a possibilidade de sair exatamente duas caras?
b) Uma moeda é lançada três vezes. Considerando que “o resultado do primeiro
lançamento foi cara”. Qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes?
5ª situação: Considere uma família. Representamos o nascimento de um menino por M e o
nascimento de uma menina por F, não se especificando a ordem de ocorrência. Determine
a possibilidade do nascimento de crianças do mesmo sexo e de sexos diferentes, em cada
caso abaixo:
a) Com duas crianças
b) Com três crianças
c) Para n crianças
Nosso objetivo não é afirmar que o abandono do paradigma do exercício para
explorar cenários de investigação forneceria resposta para nossa questão. Nem afirmar
que é suficiente construir uma educação matemática baseada somente em referências à
vida real. Nossa expectativa é que a busca de um caminho entre os diferentes ambientes de
aprendizagem possa oferecer novos recursos para levar os alunos a agir e refletir e, dessa
maneira, oferecer uma educação matemática de dimensão crítica.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
UNIDADE VII
TENDÊNCIAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
O Ensino de Matemática vem buscando incansavelmente através de grupos de pesquisas,
alternativas para melhoria do Ensino e Aprendizagem desta. D’Ambrósio apresenta algumas
propostas para a transformação do ensino de matemática nas escolas, entre elas a Etnomatemática,
a História da Matemática, a Matemática Humanística, a Informática (utilização de calculadoras e
computadores). Para ele, a matemática e a educação matemática não podem ser insensíveis aos
problemas maiores que vêm afetando o mundo moderno, principalmente, a exclusão de indivíduos,
comunidades e até nações, dos benefícios da modernidade. Além destes citados por D’Ambrósio,
acrescentamos a Modelagem Matemática, a Resolução de Problemas e o Construtivismo. As
tendências que apresentaremos a seguir podem servir de bases para as pesquisas do professor em
sala de aula.
Etnomatemática
A proposta de trabalho numa linha de etnomatemática tem como objetivo valorizar
a matemática dos diferentes grupos culturais. Propõe-se uma maior valorização dos conceitos
matemáticos informais construídos pelos alunos através de suas experiências, fora do contexto da
escola.
No processo de ensino propõe-se que a matemática informalmente construída seja utilizada
como ponto de partida para o ensino formal. Procura-se eliminar a concepção tradicional de que
todo conhecimento matemático do indivíduo será adquirido na situação escolar e, mais ainda, de
que o aluno chega à escola sem nenhuma pré-conceituação de idéias matemáticas.
Essa proposta de trabalho requer uma preparação do professor no sentido de reconhecer e
identificar as construções conceituais desenvolvidas pelos alunos.
Segundo Amelia Hamze, a ampla finalidade da Etnomatemática é reconhecer a cultura
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
plural que é responsável pela constituição do país e elaborar um padrão educacional que responda
aos anseios do seu povo. Ela deve estar a serviço da construção da responsabilidade social e da
cidadania. É uma abordagem histórico-cultural da disciplina (...) e deve ser compreendida não
apenas como uma constituição social, mas também como uma construção histórica e política.
Ela enaltece a matemática dos distintos grupos culturais e recomenda uma enfatização
maior dos conceitos matemáticos informais desenvolvidos pelos educandos através de seus
conhecimentos, fora da conjuntura escolar na vivência do seu cotidiano.
Os povos, com suas diferentes culturas, têm múltiplas maneiras de trabalhar com o
conceito matemático. Todos os diferentes grupos sociais produzem conhecimentos matemáticos.
A Etnomatemática valoriza estas diferenças e afirma que toda a construção do conhecimento
matemático é válida e está intimamente vinculada à tradição, à sociedade e à cultura de cada povo;
é uma das alternativas de tornar viável uma proposta de trabalho com a Matemática que leve em
conta não apenas a construção dos conteúdos, mas também a sua forte ligação com a realidade
sócio-cultural da criança.
Todas as pesquisas modernas nesta área apontam na mesma direção: é preciso trazer a
Matemática para a vida, para fora dos livros; é preciso que a Matemática da escola esteja em
sintonia com a Matemática da vida. É preciso também, que tomemos consciência do fato de
que não existe apenas uma Matemática (que precisa ser “aprendida” a todo custo), existem
muitas.
A Etnomatemática surge como uma resposta a estas necessidades, na medida em que suas
bases são totalmente diferentes das bases da Matemática tradicional. Enquanto a Matemática
tradicional (e, portanto, o seu ensino) procura universalizar os conceitos e conteúdos desta área,
tornando-os cada vez mais generalistas e abstratos, a Etnomatemática busca regionalizá-los,
tornando-os mais específicos a cada contexto.
A idéia básica é simples: todas as pessoas, todos os povos, em diferentes culturas, possuem
formas de lidar com o conhecimento matemático que lhes são próprias, sejam eles os grupos
indígenas da Amazônia, sejam as comunidades agrícolas do interior do Brasil, sejam os moradores
dos grandes centros urbanos, todos produzem, de alguma forma, conhecimentos matemáticos.
É claro que estes conhecimentos estarão muito fortemente ligados às práticas e vivências (e
necessidades) de cada um destes grupos em questão.
Eis aqui a raiz da diferença: a Matemática tradicional ignora estas especificidades,
negando os conhecimentos anteriores e substituindo-os por modelos genéricos de conhecimento
(por exemplo, os algoritmos das operações fundamentais, a tabuada, os postulados da Geometria
Analítica, etc.). A Etnomatemática valoriza estas diferenças e reconhece que todas as formas
de produção do conhecimento matemático (modelos matemáticos) são válidas e estão sempre
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
fortemente ligadas à tradição, sociedade e cultura de cada povo.
A Etnomatemática é, então, uma nova linha de ensino - ou, nas palavras do professor
D’Ambrósio, um novo programa de ensino. Um programa que valoriza as diferenças, trazendo-as
para o contexto da escola e impulsionando a construção do conhecimento em uma outra direção:
ao invés de construirmos o conhecimento na escola para resolvermos os problemas propostos pela
própria escola (e que, geralmente, não têm nenhum correspondente na “vida real”), usando os
modelos genéricos da Matemática, construímos o conhecimento através da escola, mas resolvendo
problemas reais, socialmente contextualizados, usando os modelos matemáticos próprios de cada
contexto sócio-cultural.
Para tanto, é fundamental que a criança se sinta interessada na resolução de um problema,
qualquer que seja ele, aguçando assim a sua curiosidade e a sua criatividade ao resolvê-lo. É muito
importante, para isso, que o professor apresente situações as mais variadas possíveis que toquem
bem fundo no emocional da criança. E isto, geralmente, só acontece quando a situação está ligada
à sua própria vida, à sua realidade.
Outro objetivo igualmente importante é aproximar os conteúdos trabalhados na escola o
mais possível da realidade vivida pela criança. A escola se encarrega de transmitir conhecimentos
produzidos e acumulados pelos homens ao longo de milhares de anos; ora, não podemos esperar
que todo este conhecimento seja “absorvido” por ninguém, seja pela quantidade de informações,
seja pela sua qualidade.
Modelagem Matemática
O ensino de matemática sempre foi alvo das atenções sociais. Atualmente, ocupa lugar de
destaque, sobressaindo-se entre as demais disciplinas, pois tem trazido preocupações a professores,
alunos, pais e à sociedade, diante do baixo rendimento escolar. Por esse motivo, procuramos,
através da modelagem matemática, contribuições que possam proporcionar a nós professores
condições para o controle e se possível superação de tal problema. É consensual a idéia de que
não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer
disciplina, em particular da matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho
em sala de aula, onde os problemas surgem de forma contextualizada, é fundamental para que o
professor construa sua própria prática.
Dentre elas, destacamos a modelagem matemática como um recurso metodológico, como
também os instrumentos para a construção das estratégias de resolução. O interesse neste contexto
é relativo às características da prática docente do professor, discutir aspectos da metodologia da
modelagem matemática e os benefícios que essa tendência educacional pode trazer para professores
50
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
e alunos e suas relações com a matemática. Apresentamos, no decorrer do trabalho, duas propostas
de atividades de modelagem matemática que foram aplicadas, a primeira em uma turma do ensino
médio (1ªserie), mas entendemos que poderá servir de subsídio para o professor de 5ª a 8ª, onde
o interesse estava voltado para divulgação da modelagem, troca de experiência, crescimento
profissional e encorajamento à utilização da Modelagem Matemática como estratégia de ensino.
As discussões geradas no desenvolvimento dessa atividade apontam os aspectos positivos e
estimulam a continuar trabalhando nessa direção.
Em nosso ponto de vista, modelagem é o processo de criar modelos por hipóteses e
aproximações simplificadoras para obter múltiplas respostas com suas respectivas justificativas.
Contudo, procuramos neste item deixar clara a idéia de modelagem e para isso utilizamos os
conceitos elaborados por alguns autores que trabalham com Educação Matemática.
D’Ambrósio (1986) nos coloca que “Modelagem é um processo muito rico de encarar
situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com a simples resolução formal
de um problema artificial”.
Para Biembengut (1999) o uso da Modelagem Matemática “Pode ser considerado um
processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento de matemática, o
modelador, precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto,
saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar
com as variáveis envolvidas”
Bassanesi (2002) afirma que “A modelagem matemática consiste essencialmente na arte
de transformar problemas da realidade e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do
mundo real”.
A modelagem oferece uma maneira de colocar a aplicabilidade da matemática em situações
do cotidiano, no currículo escolar em conjunto com o tratamento formal que é predominante no
modelo tradicional. Esta ligação da matemática escolar com a matemática da vida cotidiana do
aluno faz um papel importante no processo de escolarização do indivíduo, pois dá sentido ao
conteúdo estudado, facilitando sua aprendizagem e tornando-a mais significativa. Em outras
palavras, se considerarmos as necessidades da vida do aluno haverá uma maior garantia de um
aprendizado eficaz (BORBA, 1987, como também CALDEIRA, 1992). Contudo, não podemos
supervalorizar o conhecimento cotidiano deixando de lado o conhecimento escolar, como nos
alerta Giardinetto (1999):
“A relação entre a matemática escolar e a matemática da vida cotidiana
denomina-se ser um problema pedagógico, em lugar da necessária valorização do
conhecimento cotidiano, vê-se ocorrer algumas pesquisas na educação matemática,
uma super valorização desse conhecimento, na qual se perde de vista a relação com o
conhecimento escolar.”
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51
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Levando em consideração o processo, o tema para um trabalho com Modelagem Matemática
deve preferencialmente ser escolhido pelos alunos. Porém, no início, o professor deve ter preferência
por um único tema, pois sua experiência gera insegurança para desenvolver atividades com vários
temas. A partir da prática e segurança adquirida, é possível trabalhar com vários temas por vários
motivos:
Possibilita maior interesse em função da diversidade de temas;
Manifesta mais flexibilidade do processo, dados os diferentes caminhos;
Possibilita ao professor mostrar sua experiência, abertura e disponibilidade;
Estreitamento do vínculo professor-aluno, consolidando no decorrer das
atividades.
O trabalho pode ser desenvolvido em grupos de 3 alunos, número muito bom para que
se realize uma melhor interação entre professor e aluno, possibilitando um clima de confiança e
respeito mútuo.
A duração de uma experiência envolvendo o método da modelagem é variável, o tempo
depende do interesse do grupo, daí a importância do tema ser escolhido pelos alunos, pois eles se
tornam co-responsáveis pelo desencadear do processo de ensino.
O processo de desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática compreende
diversas etapas fundamentais. Primeiramente, devemos escolher um tema central para ser
desenvolvido pelos alunos e recolher dados gerais e quantitativos que possam ajudar a levantar
hipóteses com objetivo de elaborar problemas conforme interesse dos grupos de alunos. Depois
de selecionar as variáveis essenciais envolvidas nos problemas e formular as hipóteses, tornase necessária a sistematização dos conceitos que serão usados na resolução dos modelos e a
interpretação da solução (analítica e, se possível, graficamente). Para finalizar, dependendo do
objetivo, é necessário fazer a validação dos modelos, confrontando os resultados obtidos com os
dados coletados. Segundo Biembengut (1999), esses procedimentos podem ser agrupados em três
etapas subdivididas em seis sub-etapas, a saber:
•
•
•
•
1 - Interação
1.1 - Reconhecimento da situação (problema);
1.2 - Familiarização com o assunto a ser modelado (referencial teórico).
2 - Matematização
2.1- Formulação do problema (hipóteses);
2.2- Resolução do problema em termos de modelo.
3 - Modelo matemático
3.1- Interpretação da solução;
3.2- Validação do modelo (avaliação).
52
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Neste enfoque o professor assume características diferentes, tem o papel de mediador da
relação ensino-aprendizagem e deve orientar o trabalho tirando dúvidas, colocando novos pontos
de vista em relação ao problema tratado e outros aspectos que permitam aos alunos pensarem
sobre o assunto. Segundo Barbosa (1999), a modelagem redefine o papel do professor no momento
em que ele perde o caráter de detentor e transmissor do saber para ser entendido como aquele que
está na condução10 das atividades, numa posição de partícipe.
Pode ser útil o professor proporcionar um momento de discussão durante a realização da
tarefa com o objetivo de ajudar os alunos a vencer certas dificuldades. A discussão final sobre a
atividade e conclusões dos alunos é também uma boa ocasião para promover a reflexão sobre o
trabalho.
Em relação à forma de trabalhar com a modelagem matemática, não é, e nem deve ser rígida;
o momento orientará a forma mais indicada. Contudo, alguns professores apresentam dúvidas na
forma de desenvolvimento de sua prática docente, que podem ser resumidas em duas questões:
• Deve-se desenvolver os conteúdos matemáticos simultaneamente com o processo de
modelagem?
• Deve-se desenvolver, inicialmente, o processo e, posteriormente, o conteúdo
matemático?
Nas experiências com modelagem, as duas formas foram usadas e a adoção depende do
professor. Levando em consideração nossa experiência profissional, acreditamos que o processo
simultâneo apresenta uma maior aceitação por parte dos alunos.
Segundo Barbosa (2001), o ambiente de aprendizagem da modelagem pode se configurar
através de três níveis no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar por meio da
matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade. Trata-se de três zonas de possibilidades
sem limites claros que ilustram a materialização da modelagem na sala de aula.
Nível 1 - Trata-se da problematização de algum episódio real: A partir das informações
qualitativas e quantitativas apresentadas no texto da situação, o aluno desenvolve a investigação
do problema proposto.
Nível 2 - Apresentação de um problema aplicado: Os dados são coletados pelos próprios
alunos durante o processo de investigação.
Nível 3 - Tema gerador: Os alunos coletam informações qualitativas e quantitativas,
formulam e solucionam o problema.
Os níveis não só apresentam diferentes tipos, como essa classificação pode representar o
10
No sentido de problematizar e direcionar as atividades escolares.
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53
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
próprio caminho para o professor. Certamente, o professor que atualmente desenvolve a chamada
prática tradicional sente-se mais à vontade para desenvolver atividades do nível 1, onde a partir
daí pode avançar para o nível 2 e nível 3, deixando claro que este procedimento não é regra e sim
uma sugestão do autor.
Experiências provam que a modelagem se adapta muito bem em algumas séries com
determinados assuntos, porém em outras, os assuntos não apresentam tanta facilidade de
contextualização, é hora de dividir o tempo e aplicar os dois processos até que o professor encontre
situações em que estes conteúdos possam ser tratados. Outro ponto a ser considerado é relativo à
seqüência; diferentemente do ensino tradicional, os conteúdos são determinados pelos problemas
de interesse de cada grupo.
Argumentos favoráveis e desfavoráveis
1- Argumentos desfavoráveis
Segundo Blun (1989) apud Pedroso (1997), em relação ao processo de modelagem
matemática, alguns obstáculos têm sido evidenciados no que se refere à teoria construída a partir
das experiências e das próprias ações pedagógicas.
Em relação ao ensino
Dificuldade de cumprir programas pré-estabelecidos nos planos de ensino, dos conteúdos
tradicionalmente abordados em cada série, numa seqüência a priori.
O tempo que o professor deve dispor para desenvolver esses conteúdos, determinados por uma
sociedade competitiva, que visa à preparação ao ingresso na universidade, em geral não permite
o ensino por meio do processo de modelagem como método de ensino.
Em relação ao aluno
Muitas questões são observadas simultaneamente, o que pode provocar maior complexidade
na interpretação e assimilação dos temas abordados.
A falta de experiência por parte dos alunos e do professor em formular questões frente a
uma situação.
Em relação ao professor
Uma maior disponibilidade, principalmente pela necessidade de buscar conhecimentos não
apenas matemáticos, de modo a garantir a transdisciplinaridade necessária para abordar o
tema.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Falta de tempo para estudo sobre temas fora da matemática e preparação das aulas que
envolvem o tema em estudo.
2. Argumentos favoráveis
Em relação ao ensino
Deixa entrever, à primeira vista, a possibilidade da desfragmentação dos currículos
matemáticos tradicionais pela introdução do estudo temático, aventando a possibilidade do
currículo transdisciplinar.
A interação que esse método propicia com as outras ciências deve acarretar um processo
formativo, muito mais abrangente do que podemos esperar pelos currículos tradicionais.
Em relação ao aluno
O contato permanente com problemas que emergem naturalmente de sua realidade
percebida, despertando maior motivação para o aprendizado, atribuindo significado para o
ensino da matemática.
O desenvolvimento de habilidades como hábito de pesquisa e da capacidade de levantar hipóteses,
bem como de selecionar dados e posteriormente adequá-los às suas necessidades.
Em relação ao professor
Evolução intelectual, bem como sua formação continuada através da troca de experiências
com os alunos e o meio social.
A caracterização do professor como orientador/pesquisador.
Relato de duas experiências com modelagem matemática
Esta atividade é uma adaptação do trabalho proposto por Geraldo Ávila. Funções num
problema de frenagem (Artigo publicado na SBM, 1º semestre de 1988, p. 18 a 23) e elaborado
pelo professor Arthur.
NOÇÕES PRELIMINARES
A REGRA DO GUARDA RODOVIÁRIO: Segundo o depoimento de um guarda rodoviário,
eles têm uma regra para calcular a distância de frenagem de um veículo desde o momento que é
acionado o freio até o momento em que este se encontra parado, da seguinte forma:
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55
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
a) Eleva-se a velocidade do veículo no momento da frenagem ao quadrado.
b) O resultado divide por 100.
c) Finalmente, o resultado obtido é o valor da distância em que o veículo vai parar depois
de acionado o freio.
MATEMATIZANDO COM DADOS NUMÉRICOS
Vamos completar o quadro, relacionando a velocidade (V) e a distância que o móvel deve
ser frenado (D), utilizando o método do guarda rodoviário.
V (Km/h)
0
20
40
?
80
100
120
...
V
D (m)
0
?
16
36
64
?
144
...
?
por:
Assim, concluímos que a expressão utilizada pelo guarda rodoviário pode ser expressa
D1=
A tabela abaixo divulgada na Revista 4 Rodas fornece os resultados encontrados no
lançamento do FIAT UNO.
V
40
60
80
100
120
D
8,2≅8
18,1≅18
31,8≅32
50,3≅50
71,6≅72
Observe que o resultado encontrado para as distâncias é aproximadamente igual à metade
dos valores encontrados na tabela anterior, considerando as mesmas velocidades.
Com base na afirmação acima, escreva uma relação em função da expressão anterior, em
outras palavras, relacione as duas situações.
D2=
Neste momento, possuímos os conhecimentos necessários para escrever o modelo
matemático que relaciona D e V.
D=
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
BUSCANDO NA FÍSICA OUTRO ARGUMENTO DE VALIDAÇÃO DO MODELO
Considerando o Teorema da Energia Cinética, o trabalho da resultante das forças11 que atuam
sobre um corpo é igual à variação da energia cinética12 sofrida por esse corpo. Portanto:
Pelo que apresenta o modelo do guarda rodoviário, podemos dizer que o método é na
verdade um modelo matemático, pois aproxima a distância calculada através de sua expressão da
distância considerada ideal, considerando a segurança do condutor do veículo que, dependendo
da situação, pode ou não perceber a necessidade da frenagem e o momento em que começa a
pressionar o freio.
Obs: A parte gráfica depende das condições que a escola oferece ao professor, não
atrapalhando em momento algum o bom andamento da atividade; caso a escola esteja equipada
com laboratório de informática, os gráficos podem ser construídos por programas específicos de
matemática como MATLAB, GRAFMAT e outros, do contrário os gráficos podem ser traçados
em papel milimetrado.
FAZENDO UMA ANÁLISE DO MODELO
Ficou claro que a equação D = K.V2 nos dá uma visão muito mais clara como as
variáveis V e D estão relacionadas, justamente porque
estamos contemplando, nessa equação, a relação de
interdependência das variáveis V e D. Considerando
que V pode assumir qualquer valor positivo, sendo
assim uma variável independente, e D, por conseguinte,
assume também todos os valores positivos como
variável dependente, pois cada um de seus valores é
determinado por algum valor de V. A relação fica bem
representada pelo gráfico ao lado.
11
Faz o corpo de massa m, com velocidade v0 (inicial), adquirir velocidade v (final).
12
É a capacidade de realizar trabalho que os corpos têm devido ao movimento.
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57
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
O modelo pertence à família das funções Potência, na qual variável dependente é
proporcional a uma potência da variável independente. Em geral, uma função potência tem a
forma D = f(V)= kVp , onde k e p são constantes quaisquer.
Obs: As funções as quais nos referimos neste artigo são aquelas em que p=2.
GENERALIZAÇÃO
Transladando a parábola e utilizando as seguintes substituições; V por x+d e D por
y-h, temos:
Comparando a equação y=k(x+d)2+h com a expressão y=ax2+bx+c, temos:
ax2+bx+c ≡ kx2+2kdx+kd2+h
CONCLUSÕES
1. Zeros da função
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
2. Coordenadas do Vértice
Apresentação do segundo trabalho
Este trabalho é resultado de uma das atividades desenvolvida pelos professores Narciso
das Neves Soares13 e Adilson Oliveira do Espírito Santo14, na disciplina Prática de Ensino, com 31
alunos do curso de Licenciatura em Matemática do Campus Universitário do Sul e Sudeste do Pará
- Núcleo de Parauapebas - da UFPA.
A intenção de apresentar este trabalho é fazer com que o professor perceba que existem
várias possibilidades de se trabalhar com a modelagem matemática na escola inserindo as atividades
de acordo com o seu conteúdo programático.
Roteiro das atividades
As atividades foram desenvolvidas com os alunos de acordo com o seguinte roteiro:
1. Apresentação de textos relacionados a MM e vídeo: com finalidade de fornecer aos
alunos conceitos e aplicações sobre MM;
2. Expor alguns exemplos de trabalhos de MM: são trabalhos que foram apresentados por
alunos da disciplina MM do programa de Mestrado em Ciências e Matemáticas do NPADCUFPA, a fim de dar embasamento aos alunos no desenvolvimento da atividade com MM;
3. Apresentar os níveis propostos por Barbosa (2001): são três os níveis propostos no
artigo de Barbosa, sendo que fizemos com que os níveis 1, 2 e 3 sejam relacionados
com os níveis de ensino fundamental, médio e superior, respectivamente;
4. Dividir a turma de acordo com os níveis propostos por Barbosa (2001): foram criados
seis grupos, sendo dois para cada nível;
5. Apresentação das atividades: os trabalhos foram apresentados em aulas de 90 minutos,
o equivalente a duas aulas de 45 minutos cada;
6. Aplicação de questionário: este questionário visa detectar a impressão dos alunos sobre
Especialista em Matemática, professor de Matemática do Campus de Marabá da UFPA, mestrando em Educação Matemática
pelo Programa de Mestrado em Ciências e Matemáticas do Núcleo Pedagógico de Apoio ao Desenvolvimento Científico – NPADC/
UFPA.
13
Professor do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas no Núcleo Pedagógico de Apoio ao
Desenvolvimento Científico (NPADC/UFPA).
14
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
a atividade de MM na disciplina Prática de Ensino e a contribuição em sua formação
como professor do ensino fundamental e médio.
Este roteiro se fez necessário, pois, como previsto, muitos alunos não tinham conhecimento
de como proceder no trabalho com MM em sala de aula, devido não terem tido contato com esta
tendência de ensino em suas passagens pelo ensino fundamental e médio. Isto pode ser constatado
pelo resultado obtido com a primeira pergunta do questionário, quando indagamos se o aluno
havia estudado matemática no ensino fundamental e médio com MM, obtendo como resposta que
dos vinte e três alunos que responderam ao questionário, dezenove afirmaram não terem tido esse
contato.
O que também nos chamou atenção é que quando responderam a mesma pergunta em
relação à graduação, oito responderam não terem tido contato com a modelagem em nenhuma
disciplina, onze relacionaram os trabalhos desenvolvidos na disciplina desenho geométrico com
MM e dois na disciplina computação, o que é uma surpresa, pois, sendo esta turma concluinte, é de
se estranhar que não reconheçam problemas trabalhados em equações diferenciais, em estatística,
geometria, entre outras, que se utilizam muito de modelos matemáticos e que podem ser convertidos
em atividades de modelagem matemática.
O desenvolvimento da atividade
Para início da atividade com modelagem na disciplina Prática de Ensino, se fez necessário que
déssemos um embasamento teórico aos alunos. Para tanto, aplicamos alguns textos que permitissem
aos alunos compreenderem melhor o trabalho com modelagem matemática.
Num segundo momento da primeira etapa, passamos o filme “Nenhum a Menos” que
contava a história de uma jovem professora contratada para substituir um professor de uma escola
da zona rural na China, o qual lhe incumbiu a missão de não “perder” nenhum aluno até o seu
retorno. Ao perceber que um dos alunos por necessidade de trabalho não estava freqüentando às
aulas, não poupou esforços para recuperá-lo. Durante sua busca para encontrar o aluno se viu
diante de vários problemas, dentre os quais a falta de dinheiro para se deslocar até a cidade. Foi
então que decidiram desenvolver algumas atividades na vila para conseguirem o dinheiro, surgindo
naturalmente a MM a partir de situações reais vividas pela professora juntamente com os alunos.
O vídeo se mostrou muito esclarecedor aos alunos, pois para todas as situações (problemas)
reais vividas pela turma, a professora levava para a sala de aula a fim de que fossem resolvidas de
forma coletiva com a turma.
Na segunda etapa da atividade, para que os alunos pudessem confrontar as idéias e
conceitos apresentados nos textos sobre Modelagem, fizemos uma exposição de alguns trabalhos
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
apresentados na disciplina Modelagem Matemática do curso de Mestrado em Ciências e Matemática
do NPADC-UFPA.
Passamos então para a terceira etapa das atividades tomando por base Barbosa (2001), que
considera que o ambiente de aprendizagem da Modelagem Matemática se configura através de
três níveis:
Nível 1: Trata-se da “problematização” de algum episódio “real”;
Nível 2: O professor apresenta um problema aplicado, mas os dados são coletados pelos
próprios alunos durante o processo de investigação;
Nível 3: A partir de um tema gerador, os alunos coletam informações qualitativas e
quantitativas, formulam e solucionam problemas.
A fim de serem aplicados os níveis acima no ensino fundamental, médio e superior, para
que estes se relacionassem com os níveis 1, 2 e 3, respectivamente, ficou claro que essa relação
era dada apenas para fins didáticos e não uma relação fixa, pois, como estávamos trabalhando
com formação de professores, se fazia necessário esta analogia, para trabalhar nos três níveis de
ensino.
A turma foi dividida em seis grupos, sendo que cada dois grupos ficaram com um dos
níveis.
Os trabalhos foram apresentados em aulas simuladas. Ficando a cargo dos grupos
organizarem a turma conforme fosse a estratégia e dinâmicas exigidas pelo trabalho a ser
apresentado.
Um dos grupos que ficou com nível 1 iniciou seu trabalho com uma simulação de um
programa de TV, onde os alunos deveriam observar e anotar as informações a respeito de uma
receita de bolo, com o objetivo de buscarem informações acerca de frações, unidade de medida,
etc. O outro grupo simulou uma feira, solicitando que os alunos coletassem informações de preços
numa tabela, e em seguida fizessem uma nova coleta com os novos preços (mudados pelo grupo)
e com esses dados solicitaram aos alunos que desenvolvessem atividades relacionadas à estatística
e à matemática financeira.
Os grupos que ficaram com o nível 2 desenvolveram atividades com geometria, mostrando
como a prefeitura (no caso Parauapebas), para efeito de impostos, calcula uma determinada área e
como os valores obtidos diferem quando aplicamos as regras que aprendemos na escola; e análise
combinatória, propondo aos alunos que montassem uma tabela de um campeonato de futebol, a
partir dos dados fornecidos.
Nos grupos relativos ao nível 3, um destes trabalhou com a questão ambiental como
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61
introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
temática, tratando do lixo e do tempo de vida de determinados elementos encontrados no lixo e o
outro grupo escolheu a questão da economia para trabalharem tópicos da disciplina Matemática
Financeira.
Apresentaremos a seguir um dos trabalhos proposto por um dos grupos15 que trabalhou
com o nível 2, conforme abordado anteriormente.
Cálculo de Área de Superfícies Planas
Criando um contexto:
Pode-se pedir para os alunos observarem e se possível medirem áreas planas como:
-
-
-
-
-
Terrenos baldios
Lotes
A superfície construída de sua casa
A sala de aula
A quadra de esportes
Após os alunos terem observado e relatado cada superfície observada, seria interessante que
esboçassem seu formato e suas medidas, para que juntamente com o restante da turma pudessem
começar a se interar da importância de conhecer a área de terrenos e construções.
Preparação para a Aula:
Para esclarecer os alunos da importância de conhecer a área das superfícies anteriormente
citadas, fomos visitar o departamento de Terras e Tributos da Prefeitura Municipal, onde pudemos
constatar como se dá esse cálculo no método utilizado pelos técnicos e fiscais do departamento
e para que essas áreas sejam utilizadas. Procuramos assim, motivar e despertar o interesse dos
educandos, pois irão compreender um dos “por quês” de estarem estudando este conteúdo. Esse
esclarecimento pode ser feito através de visita planejada pelos próprios alunos ou podemos convidar
um fiscal da instituição para fazer uma palestra sobre o assunto na escola.
Criando Situações:
Escolhida uma das superfícies relatadas pelos alunos, pode-se propor situações como:
a) Supondo que o valor da tarifa do IPTU em nossa cidade é de R$ 1,38 por metro
quadrado de terreno, qual o valor do IPTU a ser pago da seguinte propriedade:
Este trabalho foi proposto pelos alunos Itamar, Cícero, Ferreira, Waldir e Josué, do curso de Matemática do núcleo de Parauapebas
da UFPA sob a orientação do professor Narciso Soares na disciplina Prática de Ensino.
15
62
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Método dos Fiscais:
No método dos fiscais somamos as bases, dividimos por 2 e fazemos o mesmo com os
lados. Como os lados são iguais, teremos:
Valor do IPTU: A x TARIFA = 297 x 1.38 = R$ 409,89
De acordo com os fiscais, o IPTU será de 409,89 reais, porém, será que este método está
correto?
Método da Matemática Formal (da sala de aula)
No método matemático, medimos o comprimento da propriedade, que consideraremos
como altura e teremos:
Área =
Neste caso, o IPTU será:
Área x TARIFA = 285,45 x 1,38 = R$ 393,92
A tarifa pelo método dos fiscais seria de R$ 409,89, já pela forma matemática R$ 393,92.
Isso dá um aumento de 4% no valor que realmente deveria ser cobrado.
Para o aluno é importante perceber a margem de erro existente nos dois métodos, e que, no
caso do cálculo do IPTU ou de outra tarifa cujo cálculo é feito a partir da área do imóvel ou terreno,
pagamos a mais se o método utilizado for o dos fiscais.
b) Uma imobiliária está loteando um novo bairro na cidade e um de nossos colegas foi lá
conferir o preço de um lote, trazendo-nos as seguintes informações:
Preço por m2: R$ 55,00
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Os últimos terrenos à disposição têm as seguintes características:
De acordo com técnicos da imobiliária a área destes lotes é de 290 m2 e seu preço é a
bagatela de R$ 15.950,00.
Como eles chegaram a esse valor? Será que está matematicamente correto?
Vamos inicialmente calcular a área deste terreno, que tem forma triangular pela fórmula
de Heron:
Conhecendo os lados a = 20 metros, b = 28 metros e c = 30 metros, a área pode ser calculada
a partir do semiperímetro que é dado por:
p = (a + b + c)/2, temos:
(fórmula de Heron)
Calculando pelo método matemático:
Sendo a = 20m, b = 28m e c = 30m, calculemos o semiperímetro:
Se o triângulo fosse retângulo faríamos: área = (Base x Altura) / 2
Sendo esta a área, o preço do terreno será:
Preço = 270,84 x 55 = R$ 14.896,20
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Pelo método que aprendemos com os fiscais, calculamos a área de um terreno em forma
de triângulo da seguinte forma:
1. Consideramos o menor dos lados e dividimos por 2; a = 20m
20/2 = 10m
2. Somamos os outros dois lados e também dividimos por dois;
(28 + 30) / 2 = 58/2 = 29m
3. E, por fim, multiplicamos os resultados das divisões, obtendo assim a área:
A1 = 29 x 10 = 290 m2
Preço = 290m2 x 55,00 = 15.950,00. Assim fazendo, transformamos o triângulo em um
retângulo e teremos um aumento de 19,16 m2 na área do terreno, ou aproximadamente 7.1%.
Com isso, temos que:
A diferença do preço do terreno pedido pela imobiliária e o preço real a ser cobrado será:
P1 – P2 = 15950,00 – 14896,20 = R$ 1053,80, ou seja, aproximadamente 7% a mais, com
isso, ao negociar poderíamos evitar pagar um valor maior que o real.
Conclusões (dos alunos):
Como pudemos perceber o método utilizado pelos fiscais é bem razoável, porém,
matematicamente não está correto, pois o erro que se obtém é bem significativo.
Podemos despertar a atenção dos alunos para assuntos que antes não se dava tanta
importância, e, como vimos, por simples que seja, podemos evitar sermos lesados, melhorando até
mesmo nossas negociações.
O aluno fica atento aos acontecimentos do dia-a-dia, fixando ainda mais o conteúdo
aplicado.
Muitos outros benefícios podem ser alcançados se utilizarmos corretamente a modelagem.
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
Percalços na Aplicação da Modelagem Matemática
Relacionaremos algumas dificuldades que os alunos destacaram no questionário para a
aplicação da modelagem matemática em sala de aula com alunos do ensino fundamental, médio e
alunos da licenciatura em matemática:
-
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-
-
-
-
-
Falta de tempo dos professores para efetuarem o planejamento
Falta de informação sobre o assunto/metodologia
Falta de entusiasmo dos docentes
Falta de incentivo da direção, da coordenação da/do escola/curso
Falta de recursos
Preparação adequada dos professores
“Obrigação” de cumprir o programa
Essas dificuldades listadas que são mencionadas também nos trabalhos de Gazzeta (1989)
e Burak (1992) só reforçam o fato de que realmente precisamos desenvolver com maior freqüência
na formação inicial do professor de Matemática, atividades como a MM que possibilitam ao aluno
experiências na qual ele venha desenvolver um trabalho coletivo e reflexivo nas escolas, pois só
assim conseguiremos vencer barreiras que impedem as melhorias no ensino e aprendizagem de
matemática, no ensino fundamental e médio.
Apesar das dificuldades evidentes colocadas pelos alunos, não podemos nos deixar abater;
as novidades com freqüência apresentam resistências, isto é, uma reação natural dos educadores,
que, mesmo clamando por mudanças, se sentem inseguros, receosos, com medo de comprometerem
seu trabalho. Bassanezi (1994) aponta que os professores constituem um dos principais obstáculos
para a implementação da MM nas escolas, o que é verificado também nas respostas dos alunos.
No entanto, percebemos que a MM traz uma série de vantagens para o ensino-aprendizagem
de matemática, é o que percebemos nas colocações dos alunos, quando os mesmos apontam as
possibilidades de relacionarem a matemática com o cotidiano, de como o professor pode desenvolver
sua capacidade criativa, do trabalho em equipe, da relação de afetividade que o professor passa a
ter com a turma, de como vários conteúdos podem ser trabalhados numa única atividade, de forma
transversal, contemplando os PCNs, ainda que fiquem evidentes as dificuldades detectadas.
Portanto, acreditamos que a experiência com a MM na Prática de Ensino, mas não apenas
nesta disciplina, fornecerá ao aluno na sua formação inicial uma boa oportunidade de tomar atitudes
de um professor que trabalhe de forma coletiva, reflexiva e investigativa.
Consideremos agora o processo de Modelagem apresentado por Maturana e Varela.
Traçando um paralelo com as quatro condições estabelecidas por Maturana e Varela (1995, p.
71) para a proposição de uma explicação científica, os procedimentos podem ser assim sintetizados:
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I. “Fenômeno a ser explicado”:
Para que se possa explicar o fenômeno, inicialmente, procura-se reconhecer a situaçãoproblema, familiarizando-se com ela e, então, efetuar uma descrição detalhada.
II. “Hipótese explicativa”:
A partir da descrição, analisa-se criteriosamente o fenômeno, propondo um sistema
conceitual, formulando hipóteses, identificando constantes e variáveis envolvidas, formulando e
modelando a situação-problema.
III. “Dedução de outros fenômenos”:
Uma vez modelada, resolve a situação-problema a partir do modelo, realiza-se uma
aplicação e interpreta-se a solução, procurando, assim, descrever e deduzir ou verificar outros
fenômenos a partir deste modelo.
IV. “Observações adicionais”:
A partir dos resultados verificados e deduzidos da aplicação, efetua-se uma avaliação e
validação do modelo, observando os outros fenômenos deduzidos. O processo de modelagem
pode ser utilizado em qualquer área do conhecimento. Na matemática, em particular, o processo
de modelagem requer do modelador, dentre outras habilidades, conhecimento matemático e
capacidade de fazer uma leitura do fenômeno sob uma ótica matemática. Nestes termos, o modelo
é expresso em termos matemáticos (fórmulas, diagramas, gráficos, representações geométricas,
equações algébricas, tabelas, programas computacionais) que levam à solução do problema ou
permitem a dedução de uma solução.
Maturana e Varela (1995, p.70) afirmam que “uma explicação sempre é uma proposição que
reformula ou recria as observações de um fenômeno dentro de um sistema de conceitos aceitáveis
para um grupo de pessoas que compartilham um critério de validação”.
Modelagem e Etnomatemática no ensino de matemática
A modelagem matemática é área de pesquisa voltada à elaboração ou criação de um modelo
matemático não apenas para uma solução particular, mas como suporte para outras aplicações e
teorias. A etnomatemática é a área de pesquisa que procura conhecer, entender, explicar como uma
pessoa ou um grupo de uma cultura social elabora um modelo matemático ou faz uso deste modelo
em suas atividades práticas. Enquanto a modelagem está inserida no contexto da metodologia, a
etnomatemática no da epistemologia.
Como perfazem o caminho da investigação científica não podem deixar de ser consideradas
no contexto escolar como métodos de ensino e pesquisa, uma vez que oportunizam ao aluno
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aprender a arte de modelar, matematicamente, bem como a arte de explicar as práticas matemáticas
de culturas sociais. Embora haja consenso quanto à importância da matemática na formação dos
alunos, ainda se dá um valor indevido ao conhecimento livresco, em contraste com a experiência
e a observação das questões que nos envolvem na realidade. Isso porque “De modo geral, na
escola básica, as disciplinas são tratadas, freqüentemente, como ‘culturas’ independentes, com
metas próprias e fracas interações, constituindo um cenário muito favorável a manifestações de
intolerância [...]” (MACHADO, 2000, p. 52).
O conhecimento tem que ser adquirido mediante a aprendizagem. Neste sentido, a
modelagem matemática ou a etnomatemática na educação formal de matemática podem
propiciar ao aluno em qualquer nível de escolaridade, uma aprendizagem mais significativa
possibilitando:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Melhor apreensão dos conceitos matemáticos frente à aplicabilidade;
Integração da matemática com outras áreas do conhecimento;
Estímulo à criatividade na formulação e resolução de problemas;
Discernimento de valores e concepções dos antepassados;
Valorização das competências das culturas sociais;
Realização de pesquisa científica.
A forma de implementação da modelagem, da etnomatemática ou de ambas, simultaneamente
no ensino-aprendizagem, depende dos objetivos do ensino, bem como do grau de escolaridade,
faixa etária, interesse dos envolvidos, o currículo e as propostas pedagógicas da comunidade
escolar. Cabe ao educador adaptar e adequar essas variantes conforme o caso.
Seja qual for o caso, frente ao sentido da educação como processo, vale a pena considerar um
processo ou outro, tendo em vista que ambos oportunizam ao aluno aprender pela experiência.
“Conhecer é fazer e fazer é conhecer”, conforme MATURANA e VARELA (1995). “Todo
ato de conhecer produz um mundo. [...] O produzir do mundo é o cerne pulsante do conhecimento,
e está associada às raízes mais profundas do nosso ser cognitivo, por mais sólida que nos pareça
nossa experiência. Não há uma descontinuidade entre o social e o humano e suas raízes biológicas.
O fenômeno do conhecer é um todo integrado, e todos os seus aspectos estão fundados sobre a
mesma base” (1995, p.71).
As pesquisas realizadas utilizando-se da modelagem e/ou da etnomatemática no ensino de
matemática têm mostrado que, mais que conhecimento de regras matemáticas, está proporcionando
ao aluno valores culturais e alguns princípios gerais concernentes ao papel desempenhado
por nós enquanto indivíduos responsáveis pela realidade que nos cerca. Conforme bem expôs
HERSKOVITS, “entre os índios apaches Chiricahua, a lembrança de sua aprendizagem é sinônimo
da consciência do eu” (1947, 107).
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Uma análise da participação dos alunos com a modelagem como caminho para fazer
matemática na sala de aula
Há evidências de que a integração de atividades matemáticas escolares com situações
da realidade pode contribuir para a aprendizagem da matemática, tendo a satisfazer, de forma
mais eficiente, às necessidades do indivíduo para vida social (BARBOSA, 1999). Contudo, a
modelagem matemática para ser utilizada como estratégia de ensino pressupõe que o professor
esteja preparado para desempenhar um papel ativo na organização, implementação e avaliação das
atividades com os alunos.
As considerações aqui apresentadas são estabelecidas levando em conta um questionário
respondido pelos alunos no final das atividades e observações feitas pelos autores deste trabalho
na execução e na elaboração das atividades.
Nos discursos fragmentados dos alunos eles deixam transparecer as vantagens que
acreditam existir quando se cria um ambiente de aprendizagem no qual a Modelagem é a estratégia
de ensino:
“...parece que muda a matemática,... uma matemática diferente....”
Ao falarem da aplicabilidade da modelagem matemática como motivação no ensino de
matemática os alunos colocaram:
“....nessa hora que passei aqui estudando, comecei a me achar na matemática. (...) se
pudesse mudaria para esse colégio.”
No que se refere à proximidade da matemática com a realidade para desenvolvimento do
conteúdo matemático, os alunos afirmaram:
“.... A contextualização nos problemas de matemática, era o que estava faltando para
melhorar o nosso aprendizado.”
“... contextualizando o conteúdo ficou mais fácil de entender o conteúdo.”
“... achei esta didática extremamente importante para que nós alunos pudéssemos enxergar
a matemática de maneira mais clara.”
A relação com outras disciplinas, ora para compreender ou explicar algum fenômeno, ora
para descrevê-lo ou prevê-lo, os alunos falaram:
“...a interdisciplinarização com as matérias é ótimo é mais uma chance de aprender que nos
favorece. (...) é sem dúvida muito interessante....”
Em relação à aprendizagem, os alunos analisaram:
“... eu acho que aprendi mais desta forma.”
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“... eu gostei, acho que aprendi melhor torna a aula mais interessante...”
Em nosso ponto de vista, a modelagem como método de ensino proporciona ao aluno e,
naturalmente, ao professor, uma aprendizagem mais significativa e motivadora, pois possibilita o
aprendizado de conteúdos matemáticos interligados aos de outras ciências, propiciando assim uma
atitude interdisciplinar frente ao ensino/aprendizagem de matemática.
Todos esses fatores apontam na direção da modelagem matemática como um processo rico
e criativo, que deve ser valorizado pelos múltiplos aspectos favorecidos por esta prática educativa.
Desta forma, a modelagem matemática é indicada para tentar superar a crise no ensino, pois é capaz
de responder à pergunta que tanto atrapalha o processo de ensino da matemática: Por que tenho que
aprender isso? Apresentando uma forma de construção de conhecimento que flui de maneira natural e
não por imposição, facilitando o entendimento e as relações com o cotidiano do aluno (CALDEIRA,
1992).
História da Matemática
A história da matemática tem servido para alguns pesquisadores como motivação para o
trabalho com o desenvolvimento de diversos conceitos matemáticos. Esta linha de trabalho parte do
princípio de que o estudo da construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior
compreensão da evolução do conceito, enfatizando as dificuldades epistemológicas inerentes ao
conceito que está sendo trabalhado. Essa dificuldade histórica tem se revelado a mesma, sendo muitas
vezes apresentada pelos alunos no processo de aprendizagem.
Esse estudo está muito relacionado com o trabalho em etnomatemática, pois mais e mais
são revelados estágios de desenvolvimento matemáticos em diferentes grupos culturais que se
assemelham aos estágios de desenvolvimento histórico de diversos conceitos.
Uma percepção da história da matemática é essencial em qualquer discussão sobre
matemática e o seu ensino é um elemento fundamental para se perceber como teorias e práticas
matemáticas foram criadas, desenvolvidas e utilizadas num contexto específico de sua época.
Certo conhecimento da história da matemática deveria formar parte indispensável
da bagagem de conhecimentos do matemático em geral e do professor de qualquer nível fundamental, médio ou superior. E, no caso deste último, com a intenção de que possa utilizála como instrumento de sua própria formação, porque a história lhe pode proporcionar uma
visão verdadeiramente humana da ciência e da matemática, muito necessária ao matemático
(GUZMÁN, 1989).
Conhecer, historicamente, pontos altos da matemática de ontem poderá, na melhor das
hipóteses, e de fato faz isso, orientar no aprendizado e no desenvolvimento da matemática de hoje,
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pois o conhecimento da história proporciona uma visão dinâmica da evolução da matemática.
A história se pode e se deve utilizar, por exemplo, para entender e fazer compreender uma idéia
difícil do modo mais adequado.
Os diferentes métodos do pensamento matemático, tais como a indução, o pensamento
algébrico, a geometria analítica, o cálculo infinitesimal, a topologia, a probabilidade, entre outros,
surgiram em circunstâncias históricas muito interessantes e muito peculiares, freqüentemente na
mente de pensadores singulares, cujos méritos, não só por justiça, como por exemplaridade, é útil
ressaltar.
Segundo Guzmán (1989), a história deve ser usada como um poderoso auxiliar para
objetivos tais como:
- Mostrar a forma peculiar de aparecer das idéias matemáticas;
- Demarcar temporalmente e espacialmente as grandes idéias, problemas, junto com sua
motivação, precedentes;
- Ressaltar os problemas abertos de cada época, sua evolução, a situação na qual se
encontram atualmente;
- Apontar as conexões históricas da matemática com outras ciências, em cuja interação
tem surgido tradicionalmente grande quantidade de idéias importantes.
Jogos Matemáticos
Em muitos grupos de trabalho e pesquisa em Educação matemática propõe-se o uso de jogos
no ensino de Matemática. Um grupo em particular, o Pentathlon Institute, vê os jogos como uma
forma de se abordar, de forma a resgatar o lúdico, aspectos do pensamento matemático que vêm
sendo ignorados no ensino. Com uma tendência no osso ensino à supervalorização do pensamento
algorítmico tem-se deixado de lado o pensamento lógico-matemático, além do pensamento espacial.
A proposta desse grupo é de desenvolver através de jogos de desenvolvimento de estratégias esses
dois tipos de raciocínio na criança, além de trabalhar, também, a estimativa e o cálculo mental.
Acredita-se que no processo de desenvolvimento de estratégias de jogo o aluno envolvese com o levantamento de hipóteses e conjecturas, aspecto fundamental no desenvolvimento do
pensamento científico, inclusive matemático.
Resolução de Problemas
A Resolução de Problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
professor propõe ao aluno situações-problema caracterizadas por investigação e exploração de
novos conceitos. Essa proposta visa à construção de conceitos matemáticos pelo aluno através
de situações que estimulam a sua curiosidade matemática. Através de suas experiências com
problemas de naturezas diferentes, o aluno interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-lo
dentro de sua concepção da matemática envolvida.
O processo de formalização é lento e surge da necessidade de uma nova forma de
comunicação pelo aluno. Nesse processo, o aluno envolve-se com o “fazer” matemática no sentido
de criar hipóteses e conjecturas a partir da situação-problema proposta.
Construtivismo
Construtivismo é uma das correntes teóricas empenhadas em explicar como a inteligência
humana se desenvolve partindo do princípio de que o desenvolvimento da inteligência é determinado
pelas ações mútuas entre o indivíduo e o meio.
A idéia é que o homem não nasce inteligente, mas também não é passivo sob a influência
do meio, isto é, ele responde aos estímulos externos agindo sobre eles para construir e organizar o
seu próprio conhecimento, de forma cada vez mais elaborada.
De acordo com Piaget, o desenvolvimento cognitivo é um processo de sucessivas mudanças
qualitativas e quantitativas das estruturas cognitivas, derivando cada estrutura de estruturas
precedentes. Ou seja, o indivíduo constrói e reconstrói continuamente as estruturas que o tornam
cada vez mais apto ao equilíbrio.
Essas construções seguem um padrão denominado por Piaget de ESTÁGIOS que seguem
idades mais ou menos determinadas. Todavia, o importante é a ordem dos estágios e não a idade
de aparição destes.
Matemática Humanística
A concepção humanística das ciências sociais enquanto agente catalisador da progressiva
fusão das ciências naturais e ciências sociais coloca a pessoa, enquanto autor e sujeito do mundo,
no centro do conhecimento, mas, ao contrário das humanidades tradicionais, coloca o que hoje
designamos por natureza no centro da pessoa (SANTOS).
Uma preocupação geral que se observa na educação matemática conduz para a busca da
motivação do aluno desde um ponto de vista mais amplo, que não se limite ao possível interesse
intrínseco da matemática e de suas aplicações. Trata-se de fazer patentes os impactos mútuos que
a evolução da cultura, a história, os desenvolvimentos da sociedade, por uma parte, e a matemática
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introdução à pesquisa no/do ensino de matemática
por outra, tenham proporcionado.
Cada vez vai sendo mais patente a enorme importância que os elementos afetivos que
envolvem a toda pessoa influenciam na vida da mente em sua ocupação com a matemática. É
claro que uma grande parte dos fracassos matemáticos dos nossos estudantes tem sua origem num
posicionamento inicial afetivo totalmente destrutivo de suas próprias potencialidades neste campo,
que é provocado, em muitos casos, pela inadequada introdução por parte de seus mestres. Por isso,
deseja-se também, através de diversos meios, que os estudantes percebam o sentimento estético,
o prazer lúdico que a matemática é capaz de proporcionar, a fim de envolvê-los nela de um modo
mais pessoal e humano.
No nosso ambiente contemporâneo, com uma forte tendência desde a desumanização da
ciência, até a despersonalização produzida por nossa cultura computadorizada, é cada vez mais
necessário um saber humanizado no qual o homem e a máquina ocupem cada um o lugar que
lhe corresponda. A educação matemática adequada pode contribuir eficazmente nesta importante
tarefa (GUZMÁN, 1989).
Tecnologias: Informática
“Informática e Educação” têm sido temas de debate recorrente nas últimas duas décadas
no Brasil. Havia os discursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazer para a
aprendizagem dos alunos, de que o aluno iria apenas apertar teclas e obedecer à orientação dada
pela máquina, tornando-se um mero repetidor de tarefas. Na verdade, ainda hoje essa preocupação
é verificada dentro de parte da comunidade de educação matemática. Em especial para aqueles
que concebem a matemática como a matriz do pensamento lógico. Nesse sentido, se o raciocínio
matemático passa a ser realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará
de desenvolver sua inteligência (BORBA & PENTEADO, 2001).
Por outro lado, tem havido, mais recentemente, argumentos que apontam “o computador”
como a solução para os problemas educacionais. Entretanto, diferentemente do que acontece
quando se trata de apontar os perigos, nem sempre aparece de forma explícita para qual problema
o computador é a solução. Nem sempre é feita a pergunta: “qual é o problema?” ou “qual é o
problema para o qual o computador é a resposta?” Em particular, essa pergunta também faz sentido
na educação matemática (BORBA & PENTEADO, 2001).
Há também de ser perguntado se, entre a postura assumidapelo computador é ruim para
o aluno e aquela de que melhora o ensino; há espaço para outros posicionamentos, pois a relação
entre a informática e a educação matemática não deve ser pensada da forma dicotômica, se é bom
ou ruim para a aprendizagem, mas sim como transformação da própria prática educativa.
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O novo cenário educacional que se constitui a partir da entrada desse “novo ator”, a
tecnologia informática apresentou possibilidades e dificuldades, do mesmo modo que outros
recursos didáticos apresentaram quando de sua inserção na educação.
Algumas das preocupações daqueles que defendem o argumento da não adequação do uso
de tecnologia informática na escola são: “Se meu aluno utilizar a calculadora, como ele aprenderá
a fazer conta?”; “Se o estudante do ensino médio aperta uma tecla do computador e o gráfico da
função já aparece, como ele conseguirá, ‘de fato’, aprender a traçá-lo?” (BORBA & PENTEADO,
2001)
Além dessa preocupação com o desenvolvimento dos alunos, um outro argumento utilizado
pelos que são “contra a informática na escola” é a questão econômica. Muitos questionam: Como
comprar computadores para as escolas se nem mesmo há giz em várias delas? Como pensar em
computadores na escola se os professores continuam sendo mal remunerados? De acordo com esse
argumento, é necessário primeiro melhorar as condições da escola, os salários dos professores para
que, em uma segunda etapa, possa se pensar em tecnologia de ponta.
Para os que não querem a utilização do computador, ele não é solução, mas é um problema
em si. Resolver esse problema significa simplesmente impedir que essa tecnologia adentre a escola
para que menos males sejam feitos à educação.
Visto que aqueles que têm o computador como solução argumentam que, pelas exigências
que coloca sobre os professores, a inserção de tecnologia na escola pode estimular o aperfeiçoamento
profissional para que eles possam trabalhar com informática. O computador, portanto, pode ser um
problema a mais na vida já atribulada do professor, mas pode também desencadear o surgimento
de novas possibilidades para o seu desenvolvimento como um profissional da educação. Esta
questão mostra que a relação entre problema e solução não é biunívoca, ou seja, não há uma única
solução para um dado problema ou, às vezes, ver algo a partir do binômio solução-problema
pode não ser a melhor forma de lidar com uma dada questão. Um outro argumento é aquele que
enfatiza a importância do uso da informática em educação para preparar o jovem para o mercado
de trabalho.
O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e
particulares o estudante deve usufruir uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma
“alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática,
mas sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em
atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos,
contar, desenvolver noções espaciais, etc., e, nesse sentido, a informática na escola passa a ser
parte da resposta a questões ligadas à cidadania.
O acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como
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parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por
essa mesma sociedade. É dessas duas formas que a informática na educação deve ser justificada:
alfabetização tecnológica e direito ao acesso.
Analisar e compreender as características dos cenários educacionais, especialmente em
educação matemática, que incluem “atores informatizados”, tem sido uma necessidade para quem
trabalha com educação matemática.
A natureza do conteúdo que pode ser estudado num ambiente informatizado, o conhecimento
produzido, a demanda para o trabalho do professor e outras possibilidades educacionais que possam
ser exploradas têm sido mote de pesquisa em educação matemática.
Atividades
1) Aplicar um questionário aos professores, com a finalidade de captar as impressões dos mesmos
em relação à Modelagem Matemática (MM) e Resolução de Problemas (RP).
i) Como você vê a aplicação de MM em sala de aula?
ii) Você saberia diferenciar a MM da RP?
iii) Durante sua formação inicial, você havia lidado anteriormente com a MM em alguma
das suas atividades curriculares?
iv) Você acha possível desenvolver um trabalho de MM e/ou RP na escola de hoje, isto é, a
escola está preparada para este trabalho?
v) Além dos trabalhos apresentados no caderno de textos, você havia lido ou visto ou até
mesmo trabalhado com MM e/ou RP?
2) Considere todos os retângulos de perímetro 80m. Encontre:
a) Uma expressão que represente a área do retângulo.
b) O valor das dimensões para que a figura possua área máxima.
c) O valor da área máxima da figura.
3) Vamos fazer pipas, recortando papel de seda. Veja a figura:
De um quadrado de 40 cm de lado, devemos tirar 2 triângulos
congruentes de lados x e 2x. A figura resultante é utilizada para fazer pipas.
Pede-se:
a) A função que associa x à área do papel para fazer pipas.
b) Qual o valor de x que torna área máxima.
c) Qual o valor da área máxima.
d) Represente graficamente a situação.
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS
Coordenação Editorial
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