PIRÂMIDES
Pirâmides
Vamos considerar um plano , uma
região poligonal convexa S contida
em  e um ponto V fora de .
Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de
reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S.
Elementos de uma pirâmide
Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos:
 base: a região poligonal S;
 vértice da pirâmide: o ponto V;
 faces laterais: as superfícies
triangulares AVB, BVC, ..., NVA;
 arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;
 arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;
 altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano .
Classificação das pirâmides
Consideramos o número de arestas da base:
 se a base tem 3 arestas
pirâmide triangular
 se a base tem 4 arestas
pirâmide quadrangular
 se a base tem 5 arestas
pirâmide pentagonal,
e assim por diante.
Pirâmide regular
Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja
projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com
o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular.
Pirâmide regular
Observações:
 O centro de um polígono regular coincide com
o centro da circunferência circunscrita a esse
polígono.
 As faces de uma pirâmide regular são
determinadas por triângulos isósceles
congruentes. Um importante exemplo desse
tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.
Elementos das pirâmides regulares
Relações métricas entre os elementos
de uma pirâmide regular
Relações métricas entre os elementos
de uma pirâmide regular
Relação entre as medidas da aresta da base e as
do apótema da base de algumas pirâmides
regulares
Base
Triângulo
equilátero
Figura
Relação
ou
Relação entre as medidas da aresta da base e as
do apótema da base de algumas pirâmides
regulares
Base
Quadrado
Figura
Relação
ou
Relação entre as medidas da aresta da base e as
do apótema da base de algumas pirâmides
regulares
Base
Hexágono
regular
Figura
Relação
ou
Exercícios
1.Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida
do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a
altura da pirâmide (h).
Resolução
No ΔDMA, temos:
Como a base é uma superfície triangular equilátera, vem:
Agora, no ΔDMO, temos:
Portanto, as medidas são:
cm,
cm e
cm
Área da superfície de uma pirâmide
Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies
triangulares);
Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja:
Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície de uma pirâmide
Observação:
Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da
medida ℓ da aresta, será dada por:
Atotal =
Volume de uma pirâmide qualquer
Vpirâmide =
área da base x altura
Exercícios
2. A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 5 cm. Sabendo-se
que a pirâmide tem altura de 30 cm, calcular o volume dessa
pirâmide.
Exercícios
3. (ITA - SP) Quanto mede a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular
de altura 4 m e de área da base 64 m²?
Resolução:
Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a
área do quadrado é L², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a
altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da
pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a
apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:
Exercícios
4. (FUVEST – SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide
regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As
telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo
que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número
mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
Resolução:
Propriedades das pirâmides
1a propriedade: A razão entre a área S’ de uma secção transversal de
uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da
base dessa pirâmide de altura h é:
2a propriedade: Se duas pirâmides têm
mesma altura e mesma área de base,
elas são equivalente, portanto têm o
mesmo volume.
Exercícios
5. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta
da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm.
Resolução
Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.
Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um
hexágono regular, temos:
Cálculo da altura h da pirâmide:
Cálculo da área da base:
Abase =
Abase =
Cálculo do volume da pirâmide:
Vpirâmide =
Vpirâmide =
Vpirâmide =
Exercícios
6. (VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à
prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma
pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
figura.
Sabendo-se que a aresta da base da
pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide
será de 4 m, o volume de concreto (em m³)
necessário para a construção da pirâmide
será:
a) 36
b) 27
c) 18
d) 12
e) 4
Resolução:
Exercícios
7. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede
5 cm e a altura mede 4 cm. O volume, em cm3, é:
Resolução:
Tronco de pirâmide
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida
em um plano .
Tronco de pirâmide
Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é
separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova
pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da
pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.
Elementos de um tronco de pirâmide
Considerando o tronco de pirâmide da figura
ao lado, temos:
 base maior: superfície poligonal ABCDEF;
 base menor: superfície poligonal
A’B’C’D’E’F’;
 faces laterais: superfícies trapezoidais
AA’B’B, BB’C’C etc.;
 altura do tronco (ht): distância entre a base
maior e a base menor (ht = H – h).
Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular,
observamos que:
 as bases são superfícies poligonais regulares
semelhantes;
 as faces laterais são superfícies trapezoidais
isósceles e congruentes;
 a altura de uma face lateral é o apótema do
tronco (de medida p).
Área da superfície de um tronco de pirâmide
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor
e maior, ou seja:
Atotal = Alateral + Ab + AB
Volume de um tronco de pirâmide
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
ou
Vtronco =
Razão de semelhança

= ... =


Observação:
Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança
entre dois segmentos.
Exercícios
8. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e
10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do
tronco.
Resolução
AB = 102 = 100
Logo: AB = 100 cm2
Ab = 42 = 16
Logo: Ab = 16 cm2
Vtronco =
Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312
Logo, o volume do tronco é 312 cm3.
Exercícios
9. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de volume. Calcular
o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à
base e à altura de 2 cm.
Resolução
Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k,
então a razão entre seus volumes é:
Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3.
Exercícios
10. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo
dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm.
Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco.
Resolução
 Cálculo da área de cada base:
Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2
AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2
 Cálculo da área lateral:
Para calcular a área lateral, precisamos
da medida de M’M indicada na figura.
Vamos destacar a face lateral BB’C’C.
Pela figura ao lado, temos:
A área de cada face lateral (trapézio
BB’C’C) é:
ABB’C’C =
Resolução
A área lateral do tronco de pirâmide é:
Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140;
logo: Alateral = 140 dm2
 Cálculo do volume do tronco:
Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do
tronco de pirâmide. Observe o trapézio O’M’MO destacado:
Pela figura, temos:
ht2 + 32 = 52 ht = 4
Portanto:
Vtronco =
Vtronco = 208
Logo, o volume do tronco é 208 dm3.