4.
Variáveis Aleatórias Unidimensionais
4.1 Lista # 8
1. Mostre que não há nenhum número c tal que a seguinte função f (x) seja uma função de
densidade de probabilidade.
( c
x≥0
f (x) =
1+x
0
x<0
2. A função de densidade de probabilidade de uma variável contı́nua é dada por:
−x
xe
x≥0
fX (x) =
0
x<0
Calcule P {X > 2}.
Resp.: 3e−2
3. A função
[x] !
1
F (x) = k 1 −
,x > 0
2
é a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X, onde [x] denota a parte
inteira de x, ou seja, o maior inteiro menor ou igual a x.
(a) Determine o valor de k
(b) Especifique a função de probabilidade de X
4. A função
0
x<0
1
1
F (x) =
x+
0≤x<2
6
4
1
x≥2
é a função de distribuição de uma variável aleatória X
(a) Determine a densidade generalizada de X
(b) Calcule P {0 ≤ X < 2} e P {0 < X < 2}
(c) Calcule P {X = 2}
5. A função de distribuição de X é dada por:
0
x<0
3 −x
FX (x) =
1− e
0≤x<1
4
1
x≥1
Determine P {0 ≤ X < 1}.
Resp.: 1 − 3/4e−1
6. A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade fX dada por:
1
x≥0
fX (x) =
(1 + x)2
0
x<0
Seja Y = max{X, c}, c > 0. Determine a função de distribuição de Y
Resp.: y/(1 + y), y ≥ c e 0 caso contrário
7. Seja X uma variável aleatória com densidade f (x) = cx2 , −1 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0, caso
contrário.
(a) Determine o valor da constante c
(b) Calcule P {|X| > 1/2}
(c) Ache α tal que FX (α) = 41 .
O valor de α que satisfaz esta relação é denominado primeiro quartil da distribuição
de X
8. Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição triangular no intervalo [0, 1] se sua
densidade é dada por f (x) = cx, para 0 ≤ x ≤ 1/2, f (x) = c(1 − x), para 1/2 < x < 1
e f (x) = 0, para os demais valores de x.
(a) Determine o valor da constante c
(b) Esboce o gráfico de f (x)
(c) Calcule P {X >
8
}
10
e P { 14 < X < 34 }
9. Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X é dada por
2
F (x) = 1 − e−x , x > 0
(a) P {X > 2}
(b) P {1 < X < 3}
10. Seja a função:
fY = 2
ln y
,
y
Para que valores de y > 1, fY será função de densidade de probabilidade?
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