Exercício 5 Mostre que o vector (a; b; c) é perpendicular ao plano
ax + by + cz + d = 0.
Resolução
Suponhamos que o vector (a; b; c) é não nulo. (porquê?)
Note-se que um vector é perpendicular a um plano se e só se for perpendicular a todos as direcções paralelas ao plano.
Sejam A = (x1 ; y1 ; z1 ) e B = (x2 ; y2 ; z2 ) dois pontos do plano (isto é, o
ponto A satisfaz a igualdade
(1)
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
e o ponto B satisfaz a igualdade
(2)
ax2 + by2 + cz2 + d = 0.)
!
AB = B A = (x2 x1 ; y2
genérica paralela ao plano.
y1 ; z2
z1 ) representa uma direcção
!
Queremos mostrar que (a; b; c) AB = 0. Ora
!
(a; b; c) AB =
=
=
=
(a; b; c) (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 )
a (x2 x1 ) + b (y2 y1 ) + c (z2 z1 )
ax2 + by2 + cz2 (ax1 + by1 + cz1 )
ax2 + by2 + cz2 + d (ax1 + by1 + cz1 + d)
{z
} |
|
{z
}
=0 por (2)
=0 por (1)
= 0
como queriamos veri…car.
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Ilda Marisa de Sá Reis –Departamento de Matemática 2005/06 –ESTiG - IPB
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