Cálculo 1 - Lista 3
Limites - Provas via − δ
1. Mostre que
lim f (x) = L ⇔ lim (f (x) − L) = 0
x→a
x→a
2. Seja limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = L.
Mostre que limx→a (f (x) − g(x)) = 0.
3. Mostre que se limx→a = L e L 6= 0 então existe
um δ > 0 tal que 0 < |x−a| < δ ⇒ |f (x)−L| >
M
2 .
4. Mostre que limx→a |x| = |a|.
[Sugestão: | |x| − |a| | ≤ |x − a| ]
5. Mostre que limx→0 cx2 = 0, ∀c ∈ R.
6. Mostre que se limx→a f (x) = 0 e |g(x)| ≤
|f (x)| em um intervalo aberto contendo a,
então limx→a g(x) = 0.
Vale o mesmo resultado caso tenhamos g(x) ≤
f (x)? Explique.
7. Suponha f (x) tal que
x2 (1 − cos2 x) ≤ f (x) ≤ x2 (1 + cos2 x)
∀x, − π2 < x <
π
2.
Encontre limx→0 f (x).
8. Suponha que exista M ∈ R tal que |f (x)| ≤
M |x − a|, ∀x 6= a. Mostre que limx→a f (x) =
0.
9. (a) Mostre que se limx→a f (x) = 0 então
limx→a |f (x)| = 0.
(b) Use o teorema da substituição para
mostrar que se limx→a f (x) = L então
limx→a |f (x)| = |L|.
11. Use exercı́cio (10) para calcular os seguintes
limites
(a) limx→0 x cos x1
(b) limx→0 x sin x1
12. Suponha que L > 0 e limx→a [f (x)]2 = L com
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Dom f . Use o teorema da
substituição para mostrar que limx→a f (x) =
√
L.
13. Refaça o exercı́cio anterior sem usar o teorema
da substituição.
1√
1
. Use então o
[ Sugestão: |f (x)+
< |f (x)|
L|
exercı́cio (3) para encontrar um majorante para
1
|f (x)| ]
14. Use o teorema da substituição para mostrar
que se limx→0 f (x) = L então limx→0 f (xn ) =
L, ∀n ∈ N .
15. Use o exercı́cio (14) para mostrar que
limx→0 sin xn = 0, ∀n ∈ N .
16. Encontre uma função f (x) e n ∈ N tal que
limx→0 f (xn ) = L e limx→0 f (x) @.
[ Sugestão: Considere n par e observe que xn ≥
0, ∀x.]
17. Seja m ∈ R, m 6= 0.
Suponha que
limx→0 g(x) = L. Mostre que limx→0 g(mx) =
L.
18. Seja m 6= 0 e suponha que limx→0 f (x)
= L.
x
Use o teorema da substituição para mostrar
que
f (mx)
lim
= mL .
x→0
x
(c) Vale a volta dos resultados enunciados em
(a) e (b)? Explique.
19. Seja limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Se
f (x) ≤ g(x), x 6= a mostre que L ≤ M . Se
tivermos f (x) < g(x) pode-se concluir que L <
M ? Explique.
10. Suponha que limx→a f (x) = 0 e |g(x)| ≤ M
para um número real fixo M e para todo x 6= a.
Mostre que limx→a f (x)g(x) = 0.
[ Sugestão: Note que −M |f (x)| ≤ f (x)g(x) ≤
M |f (x)|. Use então o exercı́cio (9a), o teorema
do confronto, e limx→a cf (x) = c limx→a f (x).]
20. Seja f (x) ≤ x com 0 < x < 1.
Se
limx→1/2 f (x) = L o que se pode dizer sobre
L?
[ Sugestão: use exercı́cio (19)]