GEOMETRIA ANALÍTICA
LISTA 1a
1. Dado o vetor v   2, 1, 3 , determinar o vetor paralelo a v que tenha
a. Sentido contrário ao de v e três vezes o modulo de v .
b. O mesmo sentido de v e módulo 4 .
c. Sentido contrário ao de v e módulo 5 .
 8 4 12   10 5 15 
,
,
,
,
Rpta. a.  6,3,9  b. 
 c. 

 14 14 14   14 14 14 
2. Dados os pontos A 1, 1,3 e B  3,1,5 até que ponto se deve prolongar o segmento AB , no
sentido de A para B , para que seu comprimento quadruplique de valor?
Rpta.  9,7,11
3. Se u é um vetor unitário, encontre u  v e u  w na Figura 1.
(a)
(b)
Figura 1. (a) Triângulo equilátero. (b) Quadrado.
Rpta. (a)
1
1
1
,  . (b) , 0
2
2
2
Ortogonalidade
4. Dados os vetores u e v , com u  0 , prove que o vetor
wv
 v, u 
u
u , u 
é perpendicular a u .
5. Sejam u , v vetores não colineares. Se um vetor w é tal que  w, u  0 e  w, v  0 , mostre que
w 0.
6. Sendo A  2, 5,3 e B  7,3, 1 vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e
M  4, 3,3 o ponto de intersecção das diagonais. Determinar os vértices C e D .
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Rpta. C  6, 1,3 e D 1, 9,7 
7. Uma mulher anda em direção ao oeste no tombadilho de um navio a 5 km/h . O navio está se
movendo em direção ao norte com velocidade escalar de 35 km/h . Determine a velocidade
escalar e a direção da mulher em relação à superfície da água.
Rpta. 1250 km/h e N8°O
8. A tensão T em cada extremidade da corrente (veja Fig.2) tem um modulo de 25N . Qual é o
peso da corrente?
Figura 2.
Rpta.
9. Se A   2, 1,1 e B   3, 4, 4  , encontre um ponto C 
3
50
sen37 kg
9,8
tal que A , B e C sejam os
vértices de um triângulo retângulo.
Rpta. C  8,1,1
10. Um vetor A n tem comprimento 6 . Um vetor B  n tem a propriedade que para qualquer
para de escalares x e y os vetores xA  yB e 4 yA  9 xB são ortogonais. Calcule o comprimento
de B e o comprimento de 2 A  3B .
Rpta. 4 e 12 2
11. Três vetores A, B, C 
3
satisfazem as seguintes propriedades:
A  C  5,
Se o ângulo entre A e B é
B  1,
A B C  A B C

. Encontre o ângulo entre B e C .
8
Rpta.
12. Se  denota o ângulo entre os dois vetores de
n
: A  1,1,
,1 e B  1, 2,
7
8
, n  . Encontre o
valor limite de  quando n   .
Rpta.
13. Sejam u, v, w
3

6
vetores ortonormais. Se A  u v w é uma matriz de ordem 3  3 cujas
colunas são os vetores u, v, w , então A é invertível e A1  At .
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14. Espaço Normado
Seja X um Espaço vetorial. A aplicação
:X 

0
x
x
é uma norma em X se satisfaz as seguintes propriedades
x 0
i.
ii.
x 0 x0
iii.
x y  x  y
iv.
x   x ,
A dupla
 X, é

chamado de Espaço normado, isto é, uma dupla formada por um espaço
vetorial X e uma norma definida nele.
Espaço Produto Interno
Seja X um Espaço vetorial. A aplicação
 , :X X 
 x, y 
 x, y
é um produto interno em X se satisfaz as seguintes propriedades
 x, x  0
i.
ii.
 x, x  0  x  0
iii.
 x, y   y, x
iv.
 x  z, y   x, y   z, y
v.
 x, y    x, y,
A dupla
 X , ,  é

chamado de Espaço produto interno, isto é, uma dupla formada por um
espaço vetorial X e um produto interno definido nele.
(a)
(b)
Figura 3. Espaço Produto Interno e Espaço Normado.
(c)
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A Figura 3a nos diz que todo Espaço produto interno é um Espaço normado, com a seguinte norma:
x   x, x
(1)
A Figura 3b nos diz que todo Espaço normado é um Espaço produto interno se sua norma satisfaz a
Lei do Paralelogramo, isto é,


x y  x y  2 x  y
2
2
2
2
(2)
Nesse caso o produto interno será dado por
 x, y 
1
4

x y  x y
2
2

(3)
A Figura 3c nos diz que, em geral, nem todo Espaço normado é um Espaço produto interno, isto é,
num Espaço normado existem normas que não satisfazem a Lei do Paralelogramo.
a.
b.
c.
d.
e.
Prove que Eq. (1) é uma norma
Prove a Lei do Paralelogramo dada em Eq. (2)
Obtenha a Eq. (3) a partir da Eq. (2)
Prove que Eq. (3) é um produto interno
Dê um exemplo de uma norma que não satisfaça a Lei do Paralelogramo
15. Seja  X ,  ,   um Espaço produto interno.
a. Mostre a desigualdade de Schwarz
 x, y  x y
b. Mostre a desigualdade triangular
x y  x  y
16. Em
2
, prove a seguinte desigualdade
2

i 1
para todo  x1 , x2  ,
 y1, y2  
2
1/2
1/2
 2
 2
2
2
xi yi    xi    yi 
 i 1
  i 1

(4)
.
Dica: Use a seguinte expressão
xy
1 2
17. A dupla

2
,
2
 x2 y1   0
2
 é o Espaço normado euclidiano com a norma euclidiana:
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x 2  x12  x22
Verifique a desigualdade triangular
x y 2  x 2  y
2
Dica: Use Eq. (4).
18. Em
n
1 1
  1,
p q
, prove a desigualdade de Hölder, 1  p, q   ,
n

i 1
para todo  x1 ,..., xn  ,
 y1,..., yn  
n
1/ p
 n
p
xi yi    xi 
 i 1

1/ q
 n
q
  yi 
 i 1

(5)
.
Dica: Use a desigualdade de Young
1 p 1 q
a  b ,
p
q
ab 
1 1
 1
p q
a, b  0,
para os seguintes números não negativos
ai 
19. Em
n
xi
bi 
,
1/ p
 n
p
  xj 
 j 1

yi
1/ q
 n
q
 yj 
 j 1

, i  1, 2,..., n
define-se as seguintes aplicações:
x 1  x1  x2 
x
x
para todo x   x1 , x2 ,
, xn  

 xn
p
 x1  x2 
 xn

 max  x1 , x2 ,
, xn 
n
,

p
p

p 1/ p
,
1  p  
denota o módulo de um número real e max é o valor máximo
entre n números não negativos. Verifique que cada uma destas aplicações são normas em
n
.
Observe que para p  2 temos a norma euclidiana.
Dica: Use a seguinte expressão
max  xi  yi   max  xi  yi   max  xi   max  yi 
i
i
i
i
20. O espaço das sequências reais, l p , 1  p   definido por
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


l p    i i 1 :  i  , i  , i  1, 2,3,...


p

i 1
é um espaço vetorial real.
a. Em l
p
prove-se a desigualdade de Hölder, 1  p, q   ,
1/ p
 
p




i i
  i 
i 1
 i 1


1 1
 1
p q
1/ q
 
q
  i 
 i 1

(6)
para todo i i 1 , i i 1  l p . E para p  1





i 1
 i 1

 i 
  ii    i  sup
i
(7)

Dica: Use a desigualdade de Young
ab 
1 p 1 q
a  b ,
p
q
a, b  0
b. Defina-se a seguinte aplicação
1/ p
 
p
    i 
 i 1

sobre l p . Verifique que o espaço l
p
(8)
com essa aplicação, Eq. (8), é um Espaço normado.
21. O espaço, l  , definido por


l     i i 1 : i, i  c, c  cte., i  , i  1, 2,3,...

é um espaço vetorial real. Defina-se a seguinte aplicação
  sup  i 
(9)
i
sobre l  , onde sup é o supremo do módulo das componentes da sequência  . Verifique que o
espaço l  com essa aplicação, Eq. (9), é um Espaço normado.
22. O espaço das funções contínuas, C  a, b , definido por
C  a, b  x :  a, b 
| x é uma função contínua
é um espaço vetorial real. Defina-se a seguinte aplicação
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
x  max x  t 
t a ,b

(10)
sobre C  a, b . Verifique que o espaço C  a, b com essa aplicação, Eq. (10), é um Espaço
normado.
Projeção Ortogonal
23. Para cada um dos pares de vetores u e v , encontrar o vetor projeção ortogonal de v sobre u e
descompor v como soma de v1 com v2 , sendo v1 // u e v2  u .
a. u  1,0  e v   4,3
b. u  1,1 e v   2,5
7 7
 3 3 
Rpta. a. v1   4,0  , v2   0,3 b. v1   ,  , v2   , 
2 2
 2 2
24. Sejam A  2,1,3 , B  m,3,5 , C  0, 4,1 vértices do triângulo na
Figura 4.
a. Para que valor de m o triangulo ABC é retângulo em A ?
b. Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa
BC
c. Determinar o ponto H , pé da altura relativa ao vértice A
d. Mostre que AH  BC
Figura 4.
Rpta. a. m  3 b.
9
 51 87 94 
26 c. H  , , 
26
 26 26 26 
25. Sejam a e b dois vetores não paralelos. Provar que
c a
a, b
b
2
b
é perpendicular a b . Interprete geometricamente o que representa o vetor c .
26. Se A  3i  5 j  3k , B  i  2 j  3k e C  2i  j  4k obtenha a componente de B na direção
A  2C .
46
19
57
27. Em teoria eletromagnética, muitas vezes é necessário realizar o seguinte: se E e H são dois
vetores dados, expresse E como a soma dos vetores E1 e E2 tais que E1 seja paralelo a H e E2
Rpta. 
seja ortogonal a H . Defina E1 e E2 nessa situação.
Rpta. E1 
EH
EH
H e E2  E 
H
H H
H H
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28. Descomponha o vetor w   1, 3, 2  como a soma de dois vetores u e v , com u paralelo ao
vetor a   0,1,3 e v ortogonal a este último.
33 11 

 3 9
, 
Rpta. u   0, ,  e v   1,
10 10 

 10 10 
Produto Vetorial
29. Provar
   
a  b  c    a  c  b   a  b  c
a. a  b  c  a  b  c
b.
c.
a c
a d
a  b   c  d   b  c
b d
30. Se v1 , v2 e v3 são vetores não coplanares, sejam
k1 
v2  v3
v3  v1
v1  v2
, k2 
, k3 
v1  (v2  v3 )
v1  (v2  v3 )
v1  (v2  v3 )
(Esses vetores aparecem no estudo de cristalografia. Vetores da forma n1v1  n2v2  n3v3 , onde cada
ni é um inteiro, formam um reticulado para o cristal. Vetores escritos de modo semelhante em
termos de k1 , k 2 e k3 formam o reticulado recíproco.)
a. Mostre que ki é perpendicular a v j se i  j
b. Mostre que ki  vi  1 para i  1, 2,3
c. Mostre que k1  (k2  k3 ) 
1
v1  (v2  v3 )
31. Use o produto misto para verificar se os vetores
u  i  5 j  2k , v  3i  j, w  5i  9 j  4k
são coplanares.
32. Mostre que a área do triângulo na Figura 5 é dada pelo determinante
x1
1
x2
2
x3
y1 1
y2 1
y3 1
Figura 5.
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33. Determine a área do paralelogramo com vértices em K 1, 2,3 , L 1,3, 6  , M  3,8, 6  e
N  3, 7,3 .
Rpta. 265
34. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a  i  j  k , b  i  j  k e
c  i  j  k .
Rpta. 4
35. Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes PQ , PR e PS , onde P  2,0, 1 ,
Q  4,1, 0 , R  3, 1,1 e S  2, 2, 2  .
Rpta. 3
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