UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
SUZANNE BARUH SUSSKIND
ESTUDO DAS PERDAS DEPENDENTES DA POLARIZAÇÃO
NO ANEL DE RECIRCULAÇÃO ÓPTICO
São Paulo
2006
SUZANNE BARUH SUSSKIND
ESTUDO DAS PERDAS DEPENDENTES DA POLARIZAÇÃO
NO ANEL DE RECIRCULAÇÃO ÓPTICO
Dissertação apresentada à Universidade
Presbiteriana Mackenzie, como requisito
parcial para a obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
ORIENTADORA: PROF.ª DR.ª MARIA APARECIDA G. MARTINEZ
São Paulo
2006
1
Dedico este trabalho ao
meu marido e a minha
filha.
2
AGRADECIMENTOS
A D’us, por possibilitar chegarmos a esta ocasião com saúde, paz e alegria.
A minha orientadora, Maria Aparecida G. Martinez, pela dedicação ao nosso trabalho e pela
grande amizade cultivada.
Ao meu marido, Rafael Susskind, pelo apoio em todos os momentos de dificuldade.
A minha filha Hanna Susskind, que iluminou minha vida.
A minha mãe, Perla Bark que sempre esteve ao meu lado.
A Mônica L. Rocha, Cláudio Florídia e Sérgio Szpigel pela ajuda e apoio na realização deste
trabalho.
3
RESUMO
O estudo experimental da Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss –
PDL) é realizado em um Anel de Recirculação Óptico (Recirculating loop - RCL). A PDL por
sua natureza estatística tem seu valor acumulado diferente da soma da PDL de cada elemento
que constitui o anel. Estudos teóricos são conduzidos utilizando o método da matrix de Jones
e Mueller para representar os diferentes elementos ópticos constituintes do anel. Erros
experimentais são introduzidos nos resultados teóricos e comparados com os resultados
experimentais. Verifica-se que uma despolarização em torno de 7% ocorre no aparato
experimental. Essa despolarização tem forte indicação de ser oriunda do amplificador óptico
devido a natureza não polarizada da emissão espontânea amplificada.
4
ABSTRACT
An investigation of Polarization Dependent Loss (PDL) behavior is performed in an
Recirculation Loop (RCL) experimental apparatus. The PDL statistical nature turns its
accumulated contribution in the RCL different from the sum of each different elements
contributions. Theoretical analyses are also performed using the Jones and Mueller matrix
approach to represent each element in the loop. Experimental errors are considered in the
theoretical results and compared with experimental ones. A 7% depolarization most likely due
to optical amplifier amplified spontaneous emission is identified in the experimental apparatus
5
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO .........................................................................................................11
2
POLARIZAÇÃO DA LUZ .......................................................................................14
2.1
POLARIZAÇÃO LINEAR .........................................................................................15
2.2
POLARIZAÇÃO CIRCULAR....................................................................................17
2.3
POLARIZAÇÃO ELÍPTICA ......................................................................................19
3
REPRESENTAÇÕES DA POLARIZAÇÃO DA LUZ..........................................24
3.1
VETOR DE JONES ....................................................................................................26
3.1.1
Polarização Linear.....................................................................................................27
3.1.2
Polarização Circular..................................................................................................28
3.1.3
Polarização Elíptica...................................................................................................29
3.1.4
Aplicação ....................................................................................................................30
3.2
VETOR DE STOKES .................................................................................................32
3.3
MATRIZ DE MUELLER............................................................................................36
3.4
GRAU DE POLARIZAÇÃO ......................................................................................37
3.5
ESFERA DE POICARÉ..............................................................................................39
4
PERDAS DEPENDENTES DE POLARIZAÇÃO (PDL) .....................................40
4.1
DEFINIÇÃO................................................................................................................42
4.2
TÉCNICAS DE MEDIDA ..........................................................................................43
4.2.1
Técnica de escaneamento da Polarização................................................................44
4.2.2
Técnica do Método de Mueller .................................................................................46
5
ANÁLISE EXPERIMENTAL E TEÓRICA ..........................................................52
5.1
DESCRIÇÃO DA MONTAGEM EXPERIMENTAL ...............................................53
5.2
ANÁLISE TEÓRICA..................................................................................................56
6
5.3
RESULTADOS ...........................................................................................................58
6
CONCLUSÃO.............................................................................................................68
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................70
ANEXOS ................................................................................................................................68
7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1
-
Representação da polarização linear..........................................................17
Figura 2
-
Representação da polarização circular à direita ........................................18
Figura 3
-
Representação da elipse deslocada do eixo cartesiano..............................21
Figura 4
-
Representação da ordem dos elementos ópticos........................................31
Figura 5
-
Esfera de Poincaré .....................................................................................39
Figura 6
-
Efeito da PDL em componentes ópticos passivos .....................................42
Figura 7
-
Esquema de medidas de PDL (técnica de escaneamento de polarização).45
Figura 8
-
Transformador de polarização com três anéis de fibra..............................46
Figura 9
-
(a) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização
(b) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização ............47
Gráfico 1
-
Acúmulo da PDL no RCL e no sistema em linha reta ..............................53
Figura 10
-
Montagem experimental utilizada para a medição da PDL no RCL.........54
Figura 11
-
Montagem experimental na Fundação CPqD............................................55
Figura 12
-
Varredura da Esfera de Poincarè ...............................................................57
Gráfico 2
-
Histograma teórico de valores de PDL normalizada .................................59
Gráfico 3
-
Histograma experimental de valores de PDL normalizada .......................60
Gráfico 4
-
PDL normalizada para o caso de 7% de depolarização por volta no anel.62
Gráfico 5
-
PDL normalizada para o caso de 4% de depolarização por volta no anel.63
Gráfico 6
-
PDL normalizada experimental para a primeira volta...............................64
Gráfico 7
-
Comparação da PDL normalizada experimental para 1 volta e os valores
teóricos obtidos através da convolução com a função Gaussiana .............64
8
Gráfico 8
-
Resultados numéricos comparados com a convolução com a Gaussiana .65
Gráfico 9
-
Comparação dados experimentais e de simulação (DOP = 0,93) .............66
Gráfico 10
-
Comportamento do valor médio de PDL acumulada por volta .................67
9
SIGLAS
BER
Taxa de Erro de Bit (Bit Error Rate)
DOP
Grau de Polarização (Degree of Polarization)
DSF
Fibras com Dispersão Deslocada (Dispersion Shifted Fiber)
DUT
Dispositivo sob teste (Device Under Test)
DWDM
Multiplexação por Divisão de Comprimento de Onda Densa (Dense Wavelength
Division Multiplexing)
EDFA
Amplificador de Fibra Dopada à Erbio (Erbium Doped Fiber Amplifier)
L+45
Luz com polarização linear com ângulo de 45 graus (Linear +45 degrees)
LHC
Luz com polarização circular à esquerda (Left Hand Circular)
LHP
Luz com polarização linear horizontal (Linear Horizontal Polarized)
LVP
Luz com polarização linear vertical (Linear Vertical Polarized)
OADM
Multiplexadores ópticos add/drop (Optical Add and Drop Multiplexing)
PDF
Probability Density Function
PDL
Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss)
PMD
Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode Dispersion)
RCL
Anel de Recirculação (Recirculating Loop)
RHC
Luz com polarização circular à direita (Right Hand Circular)
SOP
Estado de Polarização (State of Polarization)
WDM
Multiplexação por divisão de comprimento de onda (Wavelength Division
Multiplexing)
10
1
INTRODUÇÃO
Os sistemas de comunicações que utilizam a fibra como meio de transmissão oferecem
uma largura de banda de dezenas de THz e perdas da ordem de décimos de dB por kilometro.
Essas características tornam esses sistemas extremamente atrativos para aplicações de longa
distância.
O desenvolvimento, montagem e estudo da transmissão de canais ópticos através de
elementos alternados com fibra é de grande importância não apenas para a implantação de
enlaces de longa distância, mas também para a avaliação da evolução da qualidade do sinal ao
passar por uma cascata de elementos (BARUH, 2003). Entretanto, a construção de um sistema
com elementos em cascata requer grandes investimentos associados à aquisição de vários
desses dispositivos e rolos de fibra.
A alternativa para este tipo de estudo é a montagem de um anel de recirculação
(Recirculating loop - RCL), que permite simular a transmissão por vários enlaces de fibra
com apenas um amplificador de linha, alguns filtros e dispositivos para testes e um rolo de
fibra, sendo assim, com um custo muito menor. Para efeito de pesquisas tecnológicas, um
sistema de longo alcance pode se tornar inviável, devido a fatores como custo e espaço físico
(BARROS, 2002).
A montagem de um RCL permite emular uma transmissão por vários enlaces de fibra e
analisar o desempenho, a taxa de erro de bit (Bit Error Rate – BER), além de fenômenos
específicos da luz no sistema.
O desempenho de sistemas é influenciado diretamente pela polarização da luz, e com o
aumento da taxa de transmissão e do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos
parâmetros à serem testados, como a Perda Dependente da Polarização (Polarization
Dependent Loss – PDL), e a Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode
11
Dispersion – PMD), cujo efeito principal é distorção do sinal, acumulativa ao longo da
distância (HENTSCHEL,2002).
Altas taxas de transmissão (10 Gb/s ou 40 Gb/s) requerem pulsos de curta duração e no
domínio da freqüência causam o alargamento do espectro. Para a obtenção de qualidade de
transmissão necessita-se de faixas espectrais com baixa PDL, para evitar a variação de
atenuação entre diferentes componentes de freqüência (AGILENT, 2002).
A PDL presente nos dispositivos deve ser caracterizada corretamente, com o objetivo de
prever o impacto no desempenho das novas gerações de sistemas DWDM1 (Dense
Wavelength Division Multiplexing ) de alta velocidade.
A PDL pode ser definida como a relação entre a máxima e a mínima transmissão através
de um dispositivo óptico, considerando-se todos os estados de polarização da luz (State of
Polarization – SOP) (AGILENT, 2002).
Usualmente, dispositivos ópticos, como isoladores, acopladores e amplificadores de
fibra dopadas à érbio (Erbium Doped Fiber Amplifier – EDFA) podem apresentar uma PDL
superior à 0,3 dB, com flutuações de até 0,1 dB, conforme as condições ambientais, isto é,
temperatura, umidade ou stress da fibra (VINEGONI, 2004).
Para estimar o valor da PDL de um sistema óptico, utiliza-se a análise estatística da PDL
total acumulada, pois o alinhamento entre os elementos com PDL muda com o tempo,
dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura (FUKADA, 2002).
Segue abaixo uma sucinta descrição do conteúdo deste documento.
No Capítulo 2 serão analisados os diferentes tipos de polarização da luz e suas
representações matemáticas na forma cartesiana. No Capítulo 3, serão apresentados os
formalismos matemáticos, tais como Vetor de Jones e Stokes, entre outros, utilizados para
representar os diversos SOPs e conseqüentemente a PDL.
1
Sistemas DWDM se caracterizam por utilizar a múltiplas portadores ópticas com espaçamento menor do que
50GHz.
12
O Capítulo 4 trata do estudo e das técnicas de medida da PDL e no Capítulo 5 são
apresentados os resultados experimentais e teóricos obtidos.
13
2
POLARIZAÇÃO DA LUZ
A luz é uma onda eletromagnética constituída de campos elétricos e magnéticos
variantes no espaço e tempo. No estudo da polarização da luz analisa-se apenas campo
r
elétrico ( E ), pois na maioria dos meios ópticos, as interações físicas com a luz envolvem o
campo elétrico (HECHT, 1998).
A luz ao interagir com um meio dielétrico produz uma oscilação nas cargas ligadas do
material, induzindo dipolos elétricos e conseqüentemente uma polarização no meio. Essa
polarização induzida é dependente da direção do campo elétrico da luz (polarização da luz).
r
A polarização da luz refere-se ao comportamento do vetor campo elétrico E em
função do tempo t, num determinado ponto fixo no espaço z. A variação no tempo é senoidal,
portanto o campo elétrico oscila numa freqüência definida. Assumindo que a luz se propaga
na direção z, o campo elétrico irá surgir predominantemente, no plano xy. A componente x
pode oscilar independentemente da componente y e o efeito produzido pelas duas oscilações
independentes resulta numa variedade de comportamentos do vetor campo elétrico total.
No caso da orientação do campo elétrico ser constante no espaço, mesmo variando em
magnitude e no tempo, ocorre uma polarização linear ou luz plana polarizada e o campo
elétrico ou perturbação ótica reside num plano de vibração também chamado de plano de
polarização. Como será visto a seguir, este plano fixo é definido pela direção do campo
elétrico e a direção de propagação da onda eletromagnética.
Se duas ondas harmônicas linearmente polarizadas, com a mesma freqüência, movemse através da mesma região e mesma direção e seus vetores de campo elétrico forem
colineares, estas irão simplesmente se combinar resultando numa onda linearmente
polarizada.
14
Por outro lado, se duas ondas possuem seus respectivos vetores de campo elétrico
perpendiculares entre si, a onda resultante pode ou não ser linearmente polarizada. Portanto,
dependendo da amplitude e fase relativa entre as componentes de campo elétrico E x e E y , a
onda eletromagnética apresentará polarização linear, circular ou elíptica e sua forma exata da
polarização é chamada de estado de polarização (State of Polarization - SOP). Seus tipos,
como podem ser observados, representados e suas interações com o meio serão analisados
neste capítulo.
2.1
POLARIZAÇÃO LINEAR
Uma onda plana uniforme com direção de propagação na direção z é chamada de onda
linearmente polarizada (Linear Polarized - LP), quando possuir suas duas componentes de
campo (Ex e Ey) ou componentes transversais em fase.
Consideram-se duas ondas eletromagnéticas ortogonais, se propagando na direção z,
como pode ser observado nas Equações (1) e (2):
E x ( z , t ) = â x E ox cos(kz − ωt + δ x )
(1)
E y ( z , t ) = â y E oy cos(kz − ωt + δ y )
(2)
onde, E 0 x e E 0 y representam as amplitudes complexas de E x e E y , respectivamente.
A diferença relativa de fase ( δ ) entre as ondas, pode ser definida como:
δ = δ y −δx
(3)
15
A resultante óptica é representada pelo vetor soma, conforme equação abaixo:
E ( z, t ) = E x ( z, t ) + E y ( z, t )
(4)
Se δ = 0 ou múltiplo de ± 2π , as ondas estão em fase e com amplitude fixa, logo:
E ( z , t ) = (â x E ox + â y E oy ) ⋅ cos(kz − ωt )
(5)
Portanto, o campo eletromagnético resultante apresenta-se linearmente polarizado com
amplitude constante e igual ao módulo de
(E
2
0x
r
r
+ E 02y . Os campos E x e E y avançam
)
r
através de um plano e o campo resultante cossenoidal no tempo E , representado como a
soma entre as duas componentes, pode ser observado ao longo do eixo de propagação, através
da sua projeção num plano de observação. Como mostra a Figura 1, nota-se que a diferença
de fase entre as duas componentes é nula e o vetor campo elétrico resultante possui direção
constante.
Figura 1 – Representação da Polarização linear
16
r
Para polarização linear horizontal, a resultante é a própria componente de campo E x e
r
para vertical, o campo resultante é igual à componente E y . No caso da polarização linear à
r
r
45º, os campos E x e E y devem possuir amplitudes iguais; e linear à -45º, apenas estão
r
r
defasados de 180º ou π rad. Através da variação das magnitudes dos vetores E x e E y , obtémr
se o campo resultante linear E com diferentes ângulos de polarização.
2.2
POLARIZAÇÃO CIRCULAR
A polarização circular ocorre quando os campos elétricos da onda possuírem a mesma
amplitude (Eox = Eoy = Eo ) e diferença de fase relativa entre eles igual à δ = ± π 2 + 2 mπ ,
onde m = 0, ±1, ±2, ..., ou seja:
r
E x ( z , t ) = â x E o cos(kz − ωt )
(6)
r
π
E y ( z, t ) = â y E o cos(kz − ωt ± )
2
(7)
r
A resultante E pode ser escrita como:
r
E = E o [â x cos(kz − ωt ) ± â y sen(kz − ωt )]
(8)
r
A amplitude do campo E é constante e igual à Eo, mas sua direção varia no tempo e
r
não está restrita a um plano. Como mostra a Figura 2, o campo elétrico E possui amplitude
constante, existe ao longo de um eixo de referência e se observado ao longo do eixo de
propagação descreve uma trajetória circular.
17
Figura 2 – Representação da polarização circular à direita
r
r
Quando o campo E x estiver adiantado de π/2 em relação à E y , ou seja, a diferença de
fase entre eles for de δ = − π 2 + 2 mπ , o movimento do vetor resultante do campo elétrico
r
E será no sentido horário e, portanto, a onda possuirá polarização circular à direita (Right
Hand Circular - RHC). Neste caso, tem-se:
r
E = Eo [ âx cos (kz − ωt) + ây sen (kz − ωt) ]
(9)
Assim sendo, o caminho traçado pela ponta da flecha que representa o vetor
r
instantâneo do campo elétrico E , descreve o SOP, e está rodando no sentido horário com
r
freqüência angular ω. O vetor E completa uma rotação quando a onda avançar um
comprimento de onda (λ).
De forma similar, se δ = + π 2 + m2π , onde m = 0 , ±1, ±2, ..., tem-se:
r
E = E o [ âx cos (kz − ωt) − ây sen (kz − ωt) ]
(10)
18
r
r
Neste caso, E realiza rotação no sentido anti-horário, pois o campo E x ( z , t ) está
r
atrasado de π/2 em relação à E y ( z , t ) , portanto, a onda possui polarização circular à esquerda
(Left Hand Circular - LHC).
Uma onda polarizada linearmente pode ser sintetizada através da soma de duas ondas
eletromagnéticas com amplitudes iguais e polarizações circulares opostas. Através da soma
das Equações (9) e (10) obtém-se:
r
E = 2 E o â x cos(kz − ωt )
(11)
onde, a amplitude é constante e igual à 2Eo e linearmente polarizado.
2.3
POLARIZAÇÃO ELÍPTICA
Toda polarização que não é circular nem linear pode ser chamada de polarização
elíptica e possui rotação à direita ou à esquerda, como será visto à seguir.
r
A polarização elíptica, de um modo geral, indica que a resultante E realiza rotação,
porém altera sua magnitude ao longo do tempo, pois Eox é diferente de Eoy. Considerando
δx=0, tem-se:
Expandindo Ey:
E x = E ox cos (kz − ωt )
(12)
E y = E oy cos (kz − ωt + δ )
(13)
19
Ey
E oy
= cos(kz − ωt ) ⋅ cosδ − sen(kz − ωt ) ⋅ senδ
(14)
Substituindo a Equação (12) em (14), tem-se:
Ey
Eoy
−
Ex
⋅ cos δ = − sen(kz − ωt ) ⋅ senδ
Eox
(15)
Da Equação (12), obtém-se:
  E 2 
sen(kz − ωt ) = 1 −  x  
  E ox  
12
(16)
Substituindo a Equação (16) na Equação (15), tem-se:
2
  E 2 
 Ey

Ex


−
⋅ cos δ = 1 −  x   ⋅ sen 2δ
E

E
  E ox  
ox
 oy

(17)
Reagrupando os termos, obtêm-se a equação de uma elipse, conforme Equação (18).
 Ey

E
 oy
2
2
  Ex 
E E
 +
 − 2 y x cos δ = sen 2δ


E oy E ox
  Eox 
(18)
20
Os eixos da elipse não coincidem com os eixos x e y do sistema de coordenadas
retangulares, particularmente, eles encontram-se deslocados de um ângulo α em relação às
coordenadas do sistema (Ex, Ey), conforme Figura 3.
Figura 3 – Representação da elipse deslocada do eixo cartesiano
O ângulo de deslocamento α é dado por:
tan 2α =
2 E ox E oy
2
E ox − E oy
2
⋅ cos δ
(19)
O ângulo ε pode ser calculado através da razão dos eixos principais da elipse ( b ≤ a )
e representa a elipticidade (e) da elipse, pode ser definida como:
e = tanε = ±
b
a
(20)
O sentido da rotação de uma polarização elíptica é determinado pelo sinal do sin δ ou
pela elipticidade. O vetor de campo elétrico irá girar no sentido horário quando sin δ > 0 ou
e > 0 e no sentido anti-horário se sin δ < 0 ou e < 0.
21
As polarizações circulares e lineares podem ser consideradas como casos particulares da
polarização elíptica. Se α = 0, o eixo da elipse está alinhado com o eixo das coordenadas
cartesianas, e portanto, δ = ± π/2, ±3π/2, ±5π/2, ... Deste modo tem-se:
 Ey

E
 oy
2
2
  Ex 
 +
 =1
 E 
ox



(21)
Se o eixo maior e menor da elipse forem iguais, ou seja, Eoy = Eox = Eo, obtêm-se a
equação de um círculo, ou seja um caso particular da equação da elipse:
Ey2 + Ex2 = Eo2
(22)
Se δ for múltiplo par de π, a Equação (18) resulta em:
Ey =
E0 y
E0 x
Ex
(23)
Similarmente, se δ for múltiplo ímpar de π, tem-se:
Ey = −
E0 y
E0 x
Ex
(24)
As Equações (23) e (24) representam a polarização linear da luz com inclinação de
±
E0 y
E0 x
.
22
Pode-se nomear a luz polarizada particular em termos dos seus específicos SOPs. A
polarização linear ou polarização plana é chamada de estado P e a luz circular à direita e à
esquerda é denominada estado R e estado L, respectivamente. A condição de polarização
elíptica corresponde ao estado E.
O SOP de um campo elétrico não possui nenhuma dependência com a fase ou a
intensidade do campo, entretanto, há uma forte dependência entre a diferença de fase entre as
componentes de campo elétrico.
23
3
REPRESENTAÇÕES DA POLARIZAÇÃO DA LUZ
O sistema de coordenadas cartesianas, utilizado no Capítulo 2, descreve o estado de
polarização da luz em função da amplitude e da diferença de fase entre as componentes x e y
do campo elétrico. Entretanto, a representação através dos números complexos também pode
ser empregada.
A representação complexa do campo elétrico de uma onda plana monocromática
propagando-se na direção z é dada por:
[
E ( z , t ) = Re E o e i (kz −ωt )
]
(25)
onde, Eo é o vetor complexo no plano xy.
Pode-se escrever o campo elétrico na forma complexa a partir da Equação (8):
E ( z , t ) = â x Eox e i ( kz −ωt ) + â y E oy e i ( kz −ωt ±π
2)
(26)
Utilizando a identidade e i π 2 = i , tem-se:
E ( z , t ) = â x Eox e i ( kz −ωt ) ± i ⋅ â y E oy e i ( kz −ωt )
(27)
O sinal negativo indica polarização com rotação à direita e o sinal positivo, à
esquerda. Define-se Eo como o vetor complexo:
r
E o = â x Eox + i ⋅ â y Eoy
(28)
24
Portanto, a correspondente função da onda que representa qualquer tipo de polarização
é definida como:
r
E = E o e i ( kz −ωt )
(29)
r
Se a componente real de E o for diferente da componente imaginária, a resultante do
campo elétrico sofre rotação com alteração da sua magnitude, descrevendo assim uma elipse.
Porém, se existir apenas a componente real, teremos polarização linear. No caso da
r
polarização circular as partes real e imaginária de E o são iguais.
Vários métodos foram desenvolvidos para facilitar a representação dos estados de
polarização, dos elementos polarizadores e da evolução da luz ao passar por tais componentes.
No caso de campo quase-monocromático, os quatro elementos do vetor de Stokes descrevem
o estado da luz utilizando intensidades de campo medidas experimentalmente. O cálculo de
Mueller representa os componentes ópticos como matrizes 4 x 4, e quando combinadas com
os vetores de Stokes, fornecem descrições quantitativas da interação da luz com os
dispositivos ópticos.
Em contraste, o cálculo de Jones caracteriza a luz utilizando um vetor com 2
elementos de campo elétrico e não descreve a luz parcialmente polarizada ou não polarizada,
apenas retém a informação de fase.
A esfera de Poincaré é uma representação usual para o melhor entendimento da
interação entre retardadores ópticos e os estados de polarização. Neste Capítulo, todos os
métodos citados serão analisados.
25
3.1
VETOR DE JONES
O vetor de Jones, introduzido em 1941 pelo físico americano R. C. Jones, descreve
eficientemente o estado de polarização de uma onda plana. O SOP é descrito em função da
amplitude e do ângulo de fase das componentes x e y do vetor de campo elétrico, portanto,
toda a informação sobre a polarização da onda está contida na amplitude complexa Eo da onda
plana (FOWLES, 1975; HECHT, 1998).
A Equação (28) assume que a componente x é real e a componente y é imaginária,
porém, uma maneira geral de expressar a onda plana é:
r
E o = â x Eox + â y E oy
(30)
onde, Eox e Eoy podem ambos ser complexos e escritos na forma exponencial, conforme
Equações (31) e (32):
E ox = E ox ⋅ e iδ x
(31)
iδ y
(32)
E oy = E oy ⋅ e
A representação na forma do vetor de Jones é bidimensional e corresponde às
amplitudes complexas do campo elétrico, onde:
iδ
 E ox   E ox ⋅ e x 


=
J = 
  E ⋅ e iδy 
E
 oy   oy

(33)
26
J não é um vetor no espaço físico real, representa um vetor num espaço matemático
abstrato (YARIV, 1984). O vetor de Jones especifica somente a onda, fornecendo
informações completas de amplitude e fase, entretanto, para obter-se o SOP da onda não é
necessário saber exatamente a amplitude e fase das componentes. Portanto, o vetor de Jones
pode ser normalizado, desprezando os fatores de fase e deve satisfazer a seguinte condição de
normalização:
2
J ∗ ⋅ J = Eox + Eoy
2
=1
(34)
onde o asterisco (*) denota o complexo conjugado.
Os SOPs podem ser representados através do vetor de Jones complexo conjugado, como
será analisado a seguir (CANTRELL, 2004).
3.1.1
Polarização linear
Uma onda linearmente polarizada com o vetor do campo elétrico oscilando ao longo de
uma dada direção, pode ser representada pelo vetor Jones:
 Eo ⋅ cos Ψ ⋅ e i.0 

J = 
i .0 
E
sen
e
⋅
Ψ
⋅

 o
⇒
 cosΨ 

J = Eo. 
 senΨ 
onde, Ψ é o ângulo entre a direção de oscilação e o eixo x.
O vetor de Jones normalizado que representa o SOP é:
(35)
27
 cosΨ 

J = 
 senΨ 
(36)
Portanto, o vetor de Jones para o caso de polarização linear horizontal, cujo ângulo Ψ é
igual à zero, pode ser escrito como:
1
J h =  
 0
(37)
O SOP linear vertical é ortogonal ao estado representado anteriormente pela Equação
(37), portanto pode ser determinado pelo vetor de Jones conjugado, substituindo Ψ por
Ψ+
π
2
, e resulta em:
 − senΨ 

J ∗ = Eo ⋅ 
 cosΨ 
(38)
Portanto, o vetor normalizado de Jones que representa a polarização linear vertical é:
 0
J v =  
1
3.1.2
(39)
Polarização circular
Para uma onda com polarização circular à direita e à esquerda, os vetores de Jones são
respectivamente:
28
J RHC
 Eo ⋅ cos 45° ⋅ e i.o 
π 
=
 E ⋅ sen45° ⋅ e −i. 2 

 o
⇒
J RHC =
1 1
 
2 − i
(40)
J LHC
 Eo ⋅ cos 45° ⋅ e i.o
π
=
 E ⋅ sen45° ⋅ e i. 2
 o
⇒
J LHC =
1 1
 
2 i
(41)




As duas polarizações circulares são ortogonais entre si, pois:
∗
J RHC ⋅ J LHC = 0
3.1.3
(42)
Polarização elíptica
O vetor de Jones para casos gerais, os quais englobam todos os SOP, inclusive a caso da
polarização elíptica é dado por:
 cosΨ 

J =  i.δ
 e senΨ 
onde, δ = δy – δx
(43)
29
3.1.4
Aplicação
Pode-se obter o resultado da adição de duas ou mais ondas com uma dada polarização,
simplesmente pela adição dos vetores de Jones. Um exemplo é a superposição de duas ondas
com mesma amplitude, uma delas com polarização circular à direita e outra, à esquerda,
resultando numa onda com polarização linear, na direção x e com o dobro da amplitude,
conforme Expressão (44):
1
 1  1 1 + 1 2
 − i  + i  =  i − i  =  0  = 2 ⋅ 0 
 
  
   
(44)
O estudo do efeito da propagação de uma onda plana através de elementos ópticos,
birrefringentes e polarizadores, pode ser realizado através da matriz Jones. Enquanto a luz é
representada pelo vetor complexo de Jones 2 x 1, os componentes ópticos são representados
por matrizes quadradas complexas de Jones de ordem 2 (ROCHFORD).
 A
Se o vetor da luz incidente é   , e o vetor da luz emergente é
B
a b   A  A'
 c d  ⋅  B  =  B'
    

a b 
onde, 
 é a matriz Jones do elemento óptico.
c d 
 A' 
 '  , então:
B 
(45)
30
Através da matriz Jones do elemento óptico pode-se determinar a polarização do raio
emergente. Deste modo, se a luz passa por uma série de elementos ópticos, representados
pelas matrizes A1, A2, ..., An, tem-se:
J e = An ... A2 A1 J i
(46)
As matrizes não comutam, portanto devem ser aplicadas na ordem correta. O primeiro
elemento pelo qual a onda passa é A1, como pode ser observado na Figura 4, portanto a luz
emergente será A1Ji. Após atravessar o segundo elemento, o vetor de Jones emergente será
A2A1Ji e assim por diante.
Ji
A1
A2
A3
Je
Figura 4 – Representação da ordem dos elementos ópticos, através dos quais
se calcula o vetor de Jones emergente.
Entretanto, o cálculo através da notação Jones é utilizado apenas para raios de luz
inicialmente polarizados. Não existe representação através de vetor Jones para luz não
polarizada, pois este método fornece apenas a representação instantânea do campo elétrico,
enquanto os parâmetros de Stokes descrevem o valor médio do sinal.
A luz pode ser considerada não polarizada, ou natural, se a variação no tempo da
diferença de fase (δ) entre Eox e Eoy for totalmente não correlacionada e conseqüentemente a
luz apresentará aleatórios SOPs. A luz randomicamente polarizada se dispersa em todas as
direções, enquanto que na luz polarizada, ocorre dispersão apenas no plano perpendicular à
direção do vetor de polarização (NEWPORT, 1999). Quase toda a luz natural que existe,
como o Sol, não é polarizada ou pouco polarizada.
31
3.2
VETOR DE STOKES
Os parâmetros de Stokes foram introduzidos em 1852, por George Gabriel Stokes, e
são caracterizados pela intensidade do campo elétrico, portanto o vetor de Stokes descreve
completamente a potência e o SOP de um sinal óptico e pode ser representado na seguinte
forma:
 S0 
 
S 
S = 1
S
 2
S 
 3
(47)
Os parâmetros de Stokes relacionam-se com os vetores do Jones, através das matrizes
de Pauli, conforme Equação (48). A partir de agora, será utilizada a notação de Dirac, para
representar os Vetores de Jones (GORDON, 2000):
S= J σ J
(48)
onde, S representa cada componente dos parâmetros de Stokes, J representa o vetor coluna
de Jones, J seu complexo conjugado e σ o vetor de Pauli no espaço de Stokes, ou seja:
 Jx 
J = J =  
Jy 
(
J * = J = J x*
(49)
*
Jy
σ = (σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 )
)
(50)
(51)
32
A matriz identidade é definida com:
1 0

σ 0 = 
0 1
(52)
As matrizes de Pauli são conhecidas da mecânica quântica e são definidas
como (COHEN-TANNOUDJI, 1977):
1
0

σ 1 = 
 0 − 1
0 1

σ 2 = 
1 0
0 − i

0 
σ 3 = 
i
(53)
Substituindo as expressões (49), (50) e (51) na Equação (48) tem-se (SHTAIF):
S 0 = J x J x* + J y J *y
(54)
S1 = J x J x* − J y J *y
(55)
S 2 = J x J y* + J x* J y
(56)
S 3 = j ( J x J y* − J x* J y )
(57)
Cada parâmetro de Stokes está relacionado com a diferença de intensidades de luz
entre específicos pares ortogonais de SOPs, e podem ser facilmente encontrados através da
determinação da potência transmitida em polarizadores diferentes.
Considerando o vetor de Jones da luz incidente ou inicial
conforme Equação (49), o vetor de Jones da luz emergente
( J ),
e
( J ),
i
representado
após atravessar os
polarizadores (An), pode ser obtido através da Equação de Transferência (58):
33
J e = An . J i
(58)
A intensidade de campo transmitida pode ser obtida através da seguinte relação:
I = J e* . J e = J e J e
(59)
A Tabela 1 apresenta as matrizes de Jones dos polarizadores, os respectivos vetores de
Jones dos raios emergentes e as intensidades de campo.
Polarizador
óptico
Linear
Horizontal
Matriz de Jones
1

0
0

0
0

0 
0

1 
Luz emergente
(Je)
Jx 
 
0
Intensidade de Campo (I)
J x* J x
Linear à 45º
1  1 1


2 1 1
0
 
J 
 y
1 Jx + Jy 


2  J x + J y 
Linear à -45º
1  1 − 1


2  − 1 1 
1 Jx − Jy 


2  − J x + J y 
1 *
J x J x − J x* J y − J x J y* + J y* J y
2
Circular à
direita
1  1 i


2  − i 1
1 Jx −i Jy 


2  i J x + J y 
1 *
J x J x + i J x* J y − i J x J y* + J y* J y
2
)
Circular à
esquerda
1 1 − i 


2  i 1 
1  Jx + i Jy 


2  − i J x + J y 
1 *
J x J x − i J x* J y + i J x J y* + J y* J y
2
)
Linear Vertical
J y* J y
1 *
J x J x + J x* J y + J x J *y + J y* J y
2
)
)
(
(
(
(
Tabela 1 – Matrizes de Jones dos Polarizadores ópticos, vetor de Jones da luz emergente e
expressão da intensidade de campo (I).
Comparando as expressões de Intensidade de Campo (I), constantes na Tabela 1, e os
parâmetros de Stokes, representados pelas Equações 54 à 57, conclui-se que:
1.
S0 representa a intensidade de campo total de luz que passa pelo polarizador linear
horizontal (eixo x) e o vertical (eixo y);
34
2.
S1 representa a diferença de potência entre a luz que passa pelo polarizador linear
horizontal (eixo x) e o vertical (eixo y);
3.
S2 representa a diferença de potência entre a luz que passa pelo polarizador linear à 45º e
à -45º, ou seja, é a diferença de intensidade entre as componentes, linearmente
polarizadas, orientadas à +45° e – 45°; e
4.
S3 é a diferença de intensidade de campo entre as componentes circularmente
polarizadas à direita e à esquerda.
Portanto, a medida das intensidades de campo das componentes da onda, descritos
pelos parâmetros de Stokes, permite a determinação do SOP e corresponde ao princípio de
operação dos polarímetros ou medidores de SOP. O vetor de Stokes pode ser escrito como:
 S0   I x + I y 

  
 S1   I y − I x 
S = =
S
I − I −45 
 2   45


S  I
 3   RHC − I LHC 
(60)
Uma das vantagens da utilização do vetor de Stokes é a possibilidade de representar a
luz não polarizada ou parcialmente polarizada, pois os parâmetros de Stokes descrevem o
valor médio do sinal.
O vetor de Stokes pode ser representado na esfera de Poincaré, como será analisado no
item 3.5.
35
3.3
MATRIZ DE MUELLER
Dispositivos ópticos e sistemas de transmissão ópticos possuem coeficientes de
transmissão dependentes da polarização. A matriz de Mueller descreve as propriedades de
polarização e de potência de um dispositivo sob teste (Device under test – DUT), portanto
relaciona o vetor de Stokes de entrada e de saída, como representado no diagrama de blocos e
descrito na equação a seguir:
DUT
(M)
Sin
S out
=
Sout
M DUT . S in
(61)
onde, MDUT é a matriz quadrática de Mueller do DUT, de ordem 4, e Sin o vetor de Stokes de
entrada, representados como:
M DUT
=
S in
 m11
m
 21
 m31

m 41
=
m12
m 22
m32
m 42
 S in 0 
S 
 in1 
 S in 2 


 S in3 
Substituindo Sin e MDUT na Equação 61, tem-se:
m13
m 23
m33
m 43
m14 
m 24 
m34 

m 44 
(62)
(63)
36
S 0 
S 
 1
S 2 
 
 S 3  out
 m11
m
=  21
 m31

m 41
m12
m22
m32
m42
m13
m 23
m33
m 43
m14 
m 24 
m34 

m 44 
S 0 
S 
 1
S 2 
 
 S 3  in
(64)
Apenas os elementos da primeira linha da matriz de Mueller, m11, m12, m13 e m14,
descrevem a potência de transmissão total através do DUT. Os demais elementos referem-se a
frações de intensidades de campo presentes em específicos SOPs, como foi analisado
anteriormente no item 3.2.
Portanto, a potência total transmitida pode ser escrita como:
Sout0 = m11 Sin0 + m12 Sin1 + m13 Sin2 + m14 Sin3
(65)
A análise da polarização da luz pode ser realizada através do Grau de Polarização da
Luz (Degree of Polarization - DOP), como será visto a seguir.
3.4
GRAU DE POLARIZAÇÃO (DOP)
Quando a luz não se apresenta polarizada nem despolarizada, ela pode ser chamada de
parcialmente polarizada. A fração da sua intensidade que permanece polarizada por um
período maior que o período óptico é conhecida como Grau de Polarização (Degree of
Polarization - DOP), e pode variar de DOP = 0, referente à luz não polarizada, à DOP = 1,
para luz totalmente polarizada. Portanto, a luz é parcialmente polarizada quando 0 < DOP < 1
e ocorre quando as amplitudes de campo Ex(t) e Ey(t) e as respectivas fases δx(t) e δy(t) não
estão completamente correlacionadas.
37
A luz parcialmente polarizada, também pode ser representada como a soma das
componentes da luz completamente polarizada e não polarizada e a redução do DOP da onda,
representa a despolarização da luz (ROCHFORD).
Pode-se definir o DOP linear, como sendo a fração de intensidade de luz que apresenta
polarização linear, e o DOP circular, a fração com polarização circular. Portanto, o DOP
caracteriza a variação do SOP da onda, e pode ser descrito através formalismo de Stokes da
seguinte forma:
S12 + S 22 + S 32
DOP =
S0
(66)
Para a luz completamente polarizada a seguinte relação entre os vetores de Stokes
pode ser aplicada, pois DOP = 1:
S0 2 = S12 + S 2 2 + S 3 2
(67)
E para luz não polarizada, cujo DOP é igual à zero:
2
2
2
S1 + S 2 + S 3 = 0
(68)
38
3.5
ESFERA DE POINCARÉ
A esfera de Poincaré, criada pelo matemático e físico francês Henri Poincaré em 1892,
permite um método visual de representação de todos os possíveis SOPs da luz e prevê suas
alterações devido a qualquer tipo de atraso.
A esfera de Poincaré tem raio unitário e todos os estados ortogonais são pontos
diametralmente opostos sobre a superfície da esfera. Os pólos, superior e inferior, representam
a luz polarizada circularmente à esquerda e à direita, respectivamente, enquanto pontos no
equador da esfera indicam polarização linear. Quaisquer outros pontos na esfera representam
polarização elíptica. Um ponto genérico na superfície da esfera é especificado em termos de
latitude e longitude.
Cada ponto na superfície da esfera de Poincaré representa um único SOP, e sua
alteração durante qualquer interação óptica, pode ser descrita através de uma curva unindo o
SOP inicial ao final.
O vetor de Stokes, que define o SOP da onda, pode ser representado na esfera de
Poincaré na forma de um ponto de coordenadas (S1, S2, S3), chamado Vetor de Stokes
normalizado, como pode ser observado na Figura 5 (ESPINOZA).
Figura 5 – Esfera de Poincaré
39
4
PDL
As redes de comunicação óptica de longa distância sofrearam drásticas alterações
devido à crescente demanda por largura de banda, pois além da implementação de novos
serviços, houve um aumento substancial do número de usuários (ZHU, 2000).
O sistema de DWDM e canais ópticos de alta velocidade conduzem ao crescimento da
capacidade de transmissão das redes.
O rápido desenvolvimento da tecnologia em redes de fibra óptica intensifica-se pelo
avanço nos projetos e na fabricação de novos dispositivos ópticos passivos e ativos. Porém, a
necessidade de obtenção de taxas de transmissão mais elevadas tem conduzido
gradativamente, ao limite de utilização da tecnologia existente nos componentes ópticos
(AGILENT, 2002).
O desenvolvimento e testes de novos componentes tornaram-se mais desafiante e
complexo, como por exemplo:
1. Devido a redução constante do espaçamento entre canais, as medidas dependentes do
comprimento de onda necessitam de maior precisão;
2. A complexidade dos sistemas de teste realizados em multi-canais aumenta conforme
novos canais são adicionados;
3. A ampliação das regiões espectrais utilizadas para transmissão de dados ópticos, como a
banda L, envolve o desenvolvimento de componentes ópticos específicos e equipamentos
para testá-los;
4. O desempenho de sistemas DWDM é influenciado diretamente pela polarização da luz, e
com o aumento do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos parâmetros a serem
testados, como a Perda Dependente da Polarização (Polarization Dependent Loss – PDL),
40
e a Dispersão dos Modos de Polarização (Polarization Mode Dispersion – PMD), cujo
efeito principal é distorção do sinal, acumulativa ao longo da distância.
5. Altas taxas de transmissão (10 Gb/s ou 40 Gb/s) requerem pulsos de curta duração e no
domínio da freqüência causam o alargamento do espectro. Para a obtenção de qualidade
de transmissão necessita-se de faixas largas do espectro com baixa PDL, para evitar a
variação de atenuação entre diferentes componentes espectrais.
6. Devido ao rápido crescimento do mercado tecnológico de fibras ópticas, os fabricantes
necessitam aumentar o volume de produção através do aumento da capacidade de
fabricação e diminuição do tempo dispensados a testes, sem comprometer sua exatidão.
Além da dispersão, a PDL combinada com a PMD na fibra e nos componentes de fibra
óptica representam uma grande fonte de distorção e alargamento do sinal, pois causam
flutuação de potência no enlace e aumentam a BER do sistema.
A PDL presente nos dispositivos deve ser caracterizada corretamente, com o objetivo
de prever o impacto no desempenho das novas gerações de sistemas DWDM de alta
velocidade.
41
4.1
DEFINIÇÃO
A PDL pode ser definida como a máxima alteração de potência transmitida, através de
um componente óptico ou sistema, considerando todos os possíveis estados de polarização, ou
seja, é a relação entre a transmissão máxima e mínima através de um dispositivo óptico em
relação à todos os estados de polarização.
Portanto, a equação que define a PDL, em dB, é dada por:
PDLdB
P
= 10 ⋅ log  max
 Pmin



(69)
onde, Pmax e Pmin referem-se à potência transmitida ou refletida máxima e mínima,
respectivamente.
A Figura 6 mostra o efeito da aplicação de todos os possíveis estados de polarização
através de um dispositivo óptico passivo. O sinal de entrada é aplicado ininterruptamente,
com potência constante e luz totalmente polarizada. Através da variação apenas do estado de
polarização da luz de entrada, o sinal de saída apresenta uma correspondente variação de
potência.
Sinal de saída
Sinal de entrada
DUT
PMAX
PMIN
Figura 6 – Efeito da PDL em componentes ópticos passivos.
42
As principais causas de PDL são curvaturas na fibra, interfaces ópticas angulares e
reflexões oblíquas. Estes efeitos ocorrem em grande parte dos componentes ópticos padrões
utilizados em redes de fibra óptica, por exemplo, acopladores, isoladores, multiplexadores por
divisão de comprimento de onda (Wavelength Divison Multiplexing - WDM) e fotodectores.
Porém, o estado de polarização que exibe máxima perda, ou seja, mínima transmissão, através
de um componente óptico, não é o mesmo para todos os elementos pertencentes à um enlace,
portanto, o eixo de máxima transmissão de todos os componentes estarem alinhados, não
corresponde ao efeito de máxima ou mínima sensibilidade à polarização.
Além disso, o estado de polarização não é constante ao longo da fibra e sua evolução
é completamente estatística. O aumento do efeito da PDL de forma incontrolada, pode resultar
na degradação da qualidade de transmissão do enlace ou até à falhas no sistema óptico.
Portanto, os sistemas de comunicações ópticas modernos requerem componentes com baixa
PDL.
4.2
TÉCNICAS DE MEDIDAS
A combinação da contribuição dos efeitos da PDL de cada componente causa grandes
flutuações de potência, e afeta seriamente o desempenho de todo sistema. Porém, a PDL total
de diversos componentes não pode ser obtida através da adição individual de PDL, pois
resultaria no pior caso atingido por um sistema óptico (ZHU, 2000).
Existem duas categorias de técnicas de medidas de PDL, a determinística e a não
determinística. A técnica determinística computa o valor de PDL através da matriz de Jones
ou da matriz de Mueller, obtidas através dos parâmetros de Stokes relacionados a um conjunto
de estados de polarização pré-fixados.
43
O método não determinístico define o valor de PDL através de medidas da máxima
sensibilidade à polarização de um dispositivo referente a todos os possíveis estados de
polarização.
A empresa Agilent Technologies recomenda duas técnicas de medidas em
componentes passivos para determinação da PDL, o escaneamento de polarização e o método
de Mueller (AGILENT, 2002).
A técnica de escaneamento de polarização é adequada para a realização de medidas
de PDL em comprimento de onda específicos, enquanto o método de Mueller é apropriado
para medidas em diversos comprimentos de onda.
4.2.1
Escaneamento da polarização
A técnica de escaneamento da polarização, também chamada de potência
mínima/máxima, é o método não determinístico fundamental de medidas de PDL e consiste
na transmissão de todos os estados de polarização, através do DUT, obtendo-se, assim, as
variações máximas e mínimas na potência de transmissão e conseqüentemente o valor da
PDL.
A geração de todos os estados de polarização é praticamente impossível, porém, na
prática, um grande número de estados diferentes pode ser obtido, através de transformadores
de polarização, de forma determinística ou pseudo-randômica. No primeiro caso, o método
percorre toda a esfera de Poincaré ao longo de trajetórias pré-estabelecidas e no segundo caso,
um conjunto de esferas de Poincaré é percorrido por trajetórias geradas por variações pseudorandômicas no atraso do controlador de polarização.
44
Os transformadores de polarização promovem o escaneamento dos estados de
polarização, a uma certa taxa, referente à rapidez de alteração da polarização da luz. Quanto
maior a taxa, maior o número de estados de polarização. A taxa de escaneamento deve ser
favorável ao tempo médio de resposta do medidor de potência, e o seu ajuste é crítico, pois,
quanto menor o tempo de varredura, maior a incerteza das medidas de PDL.
Um típico esquema de montagem para a realização de medidas de PDL pode ser
observado na Figura 7. A fonte óptica gera luz totalmente polarizada e o controlador de
polarização a transforma utilizando anéis de fibra motorizados. A esfera de Poincaré está
representada no esquema indicando que toda a sua superfície é escaneada. Em seguida,
localiza-se o DUT e o medidor de potência.
Fonte
óptica
Controlador de
polarização
DUT
Medidor de
potência
Figura 7 – Esquema de medidas de PDL utilizando a técnica de escaneamento de polarização.
O controlador de polarização possui anéis de fibra óptica, cujo movimento causa a
variação da birrefringência da fibra e conseqüentemente, a variação do estado de polarização
da luz. Neste caso, a variação ocorre de forma pseudo-randômica devido à velocidade
rotacional diferente dos anéis. A Figura 8 mostra um exemplo de transformador de
polarização com três anéis de fibra.
A transmissão máxima e mínima é medida diretamente na saída do DUT para cada
estado de polarização, e conseqüentemente, tem-se a PDL, através da Equação (69).
45
Figura 8 - Transformador de polarização com três anéis de fibra
O método do escaneamento da polarização é demorado, apesar da utilização de
controladores automatizados e medidores de potência com rápido tempo de resposta,
principalmente no caso de medidas de PDL dependentes do comprimento de onda, em que são
necessárias diversas medidas em cada componente espectral e com precisão. Torna-se mais
viável, portanto a utilização do método de Mueller ou de Jones.
4.2.2
Método de Mueller
Medidas de PDL podem ser obtidas através da matriz de Mueller de um DUT, esta
técnica é conhecida como Método de Mueller.
Diferente da técnica de escaneamento de polarização, o método de Mueller determina
a PDL através da exposição do DUT à apenas quatro estados de polarização conhecidos, por
exemplo, luz polarizada linear horizontal (linear horizontal polarized – LHP) e vertical
(linear vertical polarized – LVP), linear com ângulo de 45 graus (linear +45 degrees – L+45)
e circular direita (right hand circular – RHC).
Os quatro estados de polarização são sintetizados através do controlador de
polarização, o qual consiste de um polarizador e duas lâminas retardadoras (1/4 de onda e 1/2
de onda).
46
Todos os elementos são rotativos com eixo de rotação paralelo à direção de
propagação da luz. O polarizador gera luz com polarização linear e, em seguida, através de
ajustes angulares dos pratos retardadores, os estados de polarização desejados são obtidos.
O processo de medidas de potência é realizado em duas fases, como pode ser
observado na Figura 9a e 9b.
Inicialmente, realizam-se medidas de potência óptica, para calibração, nos quatro
estados de polarização e determina-se um sistema de equações lineares, ou vetor de Stokes de
entrada (Sin). Em seguida, estes mesmos estados são aplicados ao DUT e a potência
transmitida é medida, e caracterizada pelo o vetor de Stokes de saída (Sout).
Fonte
óptica
Controlador de
polarização
Sin
Medidor de
potência
(Pa,b,c,d)
(a)
Fonte
óptica
Controlador de
polarização
Sin
Sout
DUT
Medidor de
potência
(P1,2,3,4)
(b)
Figura 9 –
(a) medidas de potência óptica dos quatro estados de polarização;
(b) medidas de potência transmitida através do DUT
Como foi visto no Capítulo 3, apenas os elementos da primeira linha da matriz de
Mueller, m11, m12, m13 e m14, descrevem a potência total transmitida através do DUT, e através
deles pode-se determinar as potências máximas e mínimas, suficientes para a obtenção da
PDL. Portanto, a potência total transmitida pode ser escrita como:
Sout0 = m11 Sin0 + m12 Sin1 + m13 Sin2 + m14 Sin3
(70)
47
Os quatro SOPs transmitidos pelo DUT, são caracterizados pelos vetores de Stokes e
substituindo na Equação (70), pode-se obter as respectivas potências de saída, ou seja, o Vetor
de Stokes na saída, como pode ser analisado na Tabela 2 (AGILENT, 2002):
SOP na entrada
Vetor de Stokes na
entrada
Potência de Saída
Linear Horizontal (0º)
Sin1 = (Pa, Pa, 0, 0)
P1 = m11Pa + m12Pa
Linear Vertical (90º)
Sin2 = (Pb, -Pb, 0, 0)
P2 = m11Pb – m12Pb
Linear Diagonal (+45º)
Sin3 = (Pc, 0, Pc, 0)
P3 = m11Pc + m13Pc
Circular Direita
Sin4 = (Pd, 0, 0, Pd)
P4 = m11Pd + m14Pd
Tabela 2 – SOPs aplicados ao DUT e suas respectivas potências de saída
onde, Pa,b,c,d refere-se às potências ópticas de entrada no DUT e P1,2,3,4 são as correspondentes
potências de saída.
Solucionando o sistema de equações que relaciona a potência de entrada e saída,
obtêm-se os elementos da primeira linha da matriz de Mueller:
 1  P1 P2
+
 
 2  Pa Pb
 m11   1  P P
m    1 − 2
 12  =  2  Pa Pb
m13   P3
− m1

 
m14   Pc
 P4
 P − m1
d













(71)
Através dos elementos da primeira linha da matriz de Mueller é possível calcular a
PDL do DUT. Inicialmente, calcula-se a transmissão de potência (T) a partir da Equação (70)
(HENTSCHEL, 2002):
48
T=
S out 0 m11 S in0 + m12 S in1 + m13 S in 2 + m14 S in 3
=
S in0
S in0
T = m11 + m12
S
S
S in1
+ m13 in 2 + m14 in 3
S in0
S in0
S in0
(72)
(73)
Para o cálculo da PDL é necessário obter-se a transmissão máxima e mínima.
Reescrevendo a Equação (73), tem-se:
T = m11 + m12 x1 + m13 x 2 + m14 x3
(74)
Para luz totalmente polarizada, os componentes do Vetor de Stokes estão relacionados
da seguinte forma:
S in0 2 = S in1 2 + S in 2 2 + S in 3 2
 S in1

 S in0
2
S

 +  in 2
 S in0

2
S

 +  in 3
 S in0

(75)
2

 = 1

(76)
Reescrevendo a Equação (76) em função de x1, x2 e x3, tem-se:
ϕ = x1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 1 = 0
(77)
Através do método dos multiplicadores de Lagrange encontram-se os extremos de uma
função. Aplicando nas Equações (74) e (77), obtêm-se três Equações, conforme abaixo:
49
L x1
=
dT
dϕ
+β
dx1
dx1
Lx2
=
dT
dϕ
+β
dx 2
dx 2
= m13 + 2 β x 2
= 0
(79)
Lx3
=
dT
dϕ
+β
dx3
dx3
= m14 + 2 β x3
= 0
(80)
= m12 + 2 β x1
= 0
(78)
onde, β representa o multiplicador de Lagrange.
Das Equações (78), (79) e (80) obtêm-se os valores de x1, x2 e x3 em função de β .
Substituindo na Equação (77), resulta em:
2β
= ± m122 + m132 + m142
(81)
Substituindo o multiplicador de Lagrange nas Equações (78), (79) e (80), obtêm-se os
valores máximos e mínimos de x1, x2 e x3. Substituindo na Equação (74), tem-se os extremos
da função de transmissão de potência.
T
= m11
T
1
±
= m11
2
m12
±
+
2
m13
+
2
m14
(m
2
12
2
2
+ m13
+ m14
)
2
2
2
m12
+ m13
+ m14
(82)
(83)
Portanto, a Equação (83) mostra que a transmissão de potência máxima e mínima pode
ser calculada através dos elementos da primeira coluna da Matriz de Mueller.
50
Calculados os extremos de transmissão de potência, ou seja, mínimo e máximo, a PDL
pode ser facilmente determinada, conforme Equação (84).
PDLdB
T
= 10 ⋅ log  max
 Tmin



(84)
51
5
ANÁLISE EXPERIMENTAL E TEÓRICA
Como mencionado anteriormente, para o estudo das propriedades de um enlace óptico
muito longo, utiliza-se o RCL, pois permite fácil controle de cada parâmetro dos componentes
presentes e economia do número de elementos usados. Porém, devido à periodicidade do
sistema em anel, os fenômenos relacionados com a polarização da luz possuem
comportamento diferente quando comparados com sistemas em linha reta (YHU, 2003).
Em particular, a PDL média acumulada no RCL, apresenta crescimento linear em
relação ao número de voltas no anel, e no caso de enlaces reais de comunicação, o acúmulo da
PDL cresce com a raiz quadrada da distância percorrida pelo sinal.
O Gráfico 1, mostra a comparação entre os 2 casos, sendo que a linha cheia representa o
acúmulo da PDL no sistema em linha reta e “traço-ponto”, o crescimento da PDL no RCL.
Outro fenômeno importante em relação à PDL refere-se ao fato de que a PDL total de
uma série de elementos concatenados é diferente da soma das PDLs de cada componente,
devido aos eixos de polarização não estarem necessariamente alinhados entre si. Além disto,
dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura, o alinhamento entre os
elementos com PDL muda com o tempo, o que sugere a importância do estudo estatístico em
enlaces ópticos, sendo necessário, portanto, um embaralhamento dos SOPs no RCL a cada
volta. A variação induzida dos SOPs da luz no anel implica na obtenção de resultados
similares aos encontrados num sistema em linha reta.
52
Gráfico 1 - Acúmulo da PDL no sistema em linha reta (linha cheia)
e o crescimento da PDL no RCL (traço-ponto).
5.1
DESCRIÇÃO DA MONTAGEM EXPERIMENTAL
A montagem experimental utilizada para a medição de PDL no RCL está ilustrada na
Figura 10, onde, PQH é o controlador de polarização utilizado para gerar as polarizações de
interesse. O PQH é constituído por um elemento polarizador (P), uma lâmina retardadora de
¼ de onda (Quarter Wave Plate) e uma lâmina de ½ de onda (Half Wave Plate).
O controlador de polarização do anel, indicado por PC, “embaralha” as polarizações
aleatoriamente a cada volta, varrendo a esfera de Poincarè, e assim obtêm-se as variações
estatísticas de potência na saída. Os filtros são inseridos no anel para remover o ruído ASE
(Amplified Spontaneous Emission – ASE) introduzido pelo EDFA e ao mesmo tempo inserir
PDL no sistema.
53
O atenuador (ATT) é usado para a equalização da potência de saída nas voltas do anel.
O sistema de detecção consiste em um fotodetector acoplado a um osciloscópio, que mede a
potência óptica na porta 4 do acoplador ACC para cada volta.
Figura 10 - Montagem experimental utilizada para a medição da PDL no RCL.
O anel é controlado por duas chaves acusto-ópticas, chave de transmissão (TS) e a chave
do anel (LS) e possui um rolo de 25 km de fibra com dispersão deslocada (Dispersion Shifted
- DS).
O carregamento do RCL com uma seqüência de bits ocorre quando a primeira chave
(TS) está fechada e a segunda (LS) aberta. Quando a primeira chave (TS) está aberta e a
segunda (LS) fechada limita-se o tempo durante o qual esta seqüência de bits circula no RCL
(BARROS, 2002). O sinal óptico gerado pelo laser CW é centrado em 1545 nm.
A Figura 11 mostra uma foto do laboratório experimental, localizado na Fundação
CPqD, onde pode ser observado o experimento sobre a bancada.
O método de medição utilizado foi o método de Mueller. As potências de entrada e saída
são obtidas considerando o anel de recirculação como o DUT e transmitindo os quatro SOPs,
54
definidos anteriormente. A potência para cada volta é obtida e assim, pode ser calculada a
PDL do DUT. Para obter-se uma boa estatística foram realizadas 5000 medidas para cada
volta.
Figura 11 – Montagem experimental na Fundação CPqD.
55
5.2
ANÁLISE TEÓRICA
A simulação de elementos em cascata pode ser reduzida para apenas dois elementos
presentes: o primeiro é o elemento controlador de polarização, dado pela matriz MPC, que
representa o controlador de polarização (PC) que gera todos os SOPs de interesse, e o
segundo corresponde ao gerador de PDL para apenas uma volta no anel dado pela matriz
MPDL. No formalismo de Jones estas matrizes são dadas pelas Equações (85) e (86)
(VINEGONI, 2004):
 cos θ e iφ
M PC = 
− iφ
 sin θ e
1
M PDL = 
0
− sin θ e iφ 

cos θ e −iφ 
(85)
0 

s 
(86)
onde, s corresponde à PDL presente em uma volta do anel, tal que:
1
PDL1 (dB ) = 10 log 
s
(87)
Para a obtenção de uma boa estatística foram gerados 5000 SOPs, assim como no
experimento, e para garantir que os SOPs gerados estão uniformemente distribuídos sobre a
esfera de Poincaré, os ângulos θ e φ devem seguir as seguintes funções distribuições de
probabilidade (FDP):
p(θ ) = sen(2θ ),
 π
θ ∈ 0, 
 2
(88)
56
p(φ ) =
1
,
2π
φ ∈ [0,2π ]
(89)
Utilizando as FDPs acima, pode-se avaliar, através do software MatLab, os pontos
resultantes, na esfera de Poincaré, e como observa-se na Figura 12, os SOPs estão
uniformemente distribuídos.
A transmissão no anel, TLOOP, é dada por:
TLOOP = (M PDL . M PC )
N
(90)
onde, N é o número de voltas no anel, ou pode ser considerado o número de elementos em
cascada.
Figura 12 – Varredura da Esfera de Poicarè
Para cada SOP, gerado pela MPC, tem-se a PDL para N voltas. A PDL para N voltas
pode ser obtida através da seguinte equação (HENTSCHEL,1998):
57
ξ 
PDLN (dB) = 10 log 2 
 ξ1 
*
onde, ξi são os autovalores da matriz TLOOP
.TLOOP
5.3
(91)
.
RESULTADOS
Inicialmente foi realizada a análise teórica utilizando o software MatLab e obteve-se as
PDFs da PDL normalizada para N = 2, 3, 4, 5, 6 e 10 voltas, conforme pode ser observado no
Gráfico 2.
Os valores de PDL obtidos para cada volta são normalizados pelo valor médio da PDL
resultante da primeira volta (<PDL1>), representado pelo eixo x e analisados num histograma,
o qual possui o mesmo comportamento dos resultados da literatura (VINEGONI, 2004). O
eixo y representa o número de ocorrências da PDL normalizada e o maior valor da PDL
normalizada coincide com o número de voltas no anel.
.
58
Gráfico 2 – Histograma teórico de valores de PDL normalizada para
N = 2, 3, 4, 5, 6, e 10 voltas.
Posteriormente foi realizado o experimento, obtendo-se os histogramas apresentados no
Gráfico 3.
59
Gráfico 3 - Histograma experimental de valores de PDL normalizada para
N = 2, 3, 4, 5, 6, e 10 voltas.
Nota-se que os resultados experimentais estão próximos do reportado na literatura
apenas até a quinta volta (N=5), pois provavelmente, está ocorrendo a despolarização da luz
introduzida no sistema pela ASE do EDFA dentro do anel. De fato, observa-se que a ASE, por
sua natureza de emissão espontânea, é despolarizada, correspondendo à um valor nulo de
PDL. Portanto, o DOP da luz por volta deve ser analisado.
Para incluir uma possível despolarização do sinal por volta, deve-se realizar o estudo
teórico utilizando apenas o formalismo de Mueller, pois o formalismo de Jones não considera
a luz não polarizada (HECHT, 1998). Desta forma, as novas matrizes MPC e MPDL de um
sistema de transmissão são dadas por (FUKADA, 2002):
60
M PC
0
1

cos 2θ
0
=
0 cos θ . sen2φ

 0 − senθ . sen2φ

M PDL
1+ s

 2
1− s
=
2
 0

 0
0
− sen2θ
cos θ . cos 2φ
− senθ . cos 2φ
1− s
2
1+ s
2
0
0
0
0
s
0
0 

0 
senφ 

cos φ 

0 

0 

0 

s 
(92)
( 93)
onde, os ângulos θ e φ obedecem às mesmas distribuições de probabilidade das Equações
(88) e (89), e s corresponde à PDL do dispositivo.
Foi proposta a inserção de uma matriz de despolarização da luz MDEP na matriz de
transmissão do sistema, dada por (FLORIDIA, 2005):
M DEP
0
0
0 
1


0
0 
 0 DOP
=
DOP
0
0
0 



0
DOP
0
0


(94)
Portanto, a matriz de transmissão para N voltas no anel é dada pela Equação (95) e a
PDL pode ser obtida substituindo a matriz de transmissão na Equação (91).
TLOOP = (M PDL .M DEP .M PC )
N
(95)
61
O DOP foi obtido por tentativas, com melhor valor estimado em 7% (DOP=0,93). O
efeito da inserção da matriz de despolarização da luz no sistema teórico pode ser observado
no Gráfico 4.
Gráfico 4 – PDL normalizada para o caso de 7% de despolarização por volta no anel
(DOP = 0,93)
Considerando DOP = 0,96, ou seja, uma despolarização da luz de 4% por volta no
anel, obteve-se os resultados apresentados no Gráfico 5.
62
Gráfico 5 – PDL normalizada para o caso de 4% de despolarização por volta no anel.
(DOP = 0,96)
Como pode ser observado nos Gráficos 4 e 5, houve uma diminuição da PDL
normalizada ao longo das voltas, em ambos os casos, não coincidindo com o número de voltas
no anel. No caso específico, em que não há despolarização da luz, isto é DOP = 1, a matriz
MDEP corresponde à matriz identidade, reproduzindo o histograma do Gráfico 2.
Para a análise comparativa entre valores teóricos e experimentais é necessário simular
os erros experimentais. Notou-se que, no experimento, a PDL normalizada, para a primeira
volta, possui um comportamento correspondente à uma função distribuição de probabilidade
gaussiana, com média zero e desvio padrão 0,3, conforme pode ser observado no Gráfico 6.
63
Gráfico 6 - PDL normalizada experimental para a primeira volta.
Foi realizada, portanto, a convolução dos valores teóricos obtidos para a primeira volta
com a função Gaussiana teórica, com o objetivo de simular os erros experimentais. A
comparação dos dois resultados pode ser observada no Gráfico 7.
Gráfico 7 - Comparação da PDL normalizada experimental para 1 volta e os valores teóricos
obtidos através da convolução com a função Gaussiana.
64
Os resultados teóricos para as demais voltas devem também ser convoluídos com a
distribuição Gaussiana, apresentada no Gráfico 6, com o objetivo de serem comparados com
resultados experimentais. No Gráfico 8, pode ser observado o resultado numérico (barras
verticais) comparados com sua convolução (linha sólida) (FLORIDIA, 2005).
No Gráfico 9, comparam-se os resultados experimentais com as simulações numéricas,
devidamente convoluídas com a distribuição gaussiana, e observa-se que, para o caso de 2
elementos concatenados ou 2 voltas no anel (N=2), a distribuição de probabilidade da PDL
obedece a uma função linear e para N>2, a distribuição tende a ser uniformemente distribuída.
Gráfico 8: Resultados numéricos (linha sólida) comparados com sua convolução
com a função Gaussiana (barras verticais).
65
Gráfico 9 - Comparação dos dados experimentais (barras) e de simulação com convolução (linhas
sólidas). As simulações foram realizadas assumindo uma despolarização de 7% por volta.
Foi analisada também a PDL média acumulada para os dois casos e constatou-se
novamente que o modelo é uma boa aproximação dos resultados experimentais, como pode
ser observado no Gráfico 10.
66
A curva superior é o resultado teórico esperado para o sistema correspondente ao
RCL, ou seja, a PDL média acumulada cresce linearmente com o número de voltas (N)
enquanto a curva inferior apresenta o resultado esperado para um sistema em linha reta, ou
seja, o crescimento da PDL acumulada ocorre com
N . Entre estas curvas temos o resultado
experimental obtido e a comparação com o modelo que inclui despolarização parcial da luz
por volta.
Gráfico 10 - Comportamento do valor médio de PDL acumulada por volta
67
6
CONCLUSÃO
Foi realizado o estudo e a montagem experimental, na Fundação CPqD, de um anel de
recirculação (Recirculating loop - RCL), que permite simular a transmissão por vários enlaces
de fibra com apenas um amplificador de linha, alguns filtros e dispositivos para testes e um
rolo de fibra, sendo assim, com um custo muito menor.
O desempenho de sistemas é influenciado diretamente pela polarização da luz, e com
o aumento da taxa de transmissão e do comprimento dos enlaces de fibra surgiram novos
parâmetros à serem testados. No caso deste trabalho, a PDL presente nos dispositivos foi
caracterizada no RCL, com o objetivo de prever o impacto no desempenho das novas
gerações de sistemas DWDM de alta velocidade.
Inicialmente, foram analisados os diferentes tipos de polarização da luz e suas
representações matemáticas na forma cartesiana, os formalismos matemáticos, tais como
Vetor de Jones e Stokes, entre outros, utilizados para representar os diversos SOPs e
conseqüentemente a PDL e posteriormente, foi realizado o estudo das técnicas de medida da
PDL.
Foram utilizados os métodos de Mueller e Jones para análise da PDL, tanto
experimental quanto teórica.
Notou-se que a PDL média acumulada no RCL apresenta crescimento linear em
relação ao número de voltas no anel, e no caso de enlaces reais de comunicação, o acúmulo da
PDL cresce com a raiz quadrada da distância percorrida pelo sinal.
Outro fenômeno importante em relação à PDL refere-se ao fato de que a PDL total de
uma série de elementos concatenados é diferente da soma das PDLs de cada componente,
devido aos eixos de polarização não estarem necessariamente alinhados entre si.
68
Além disto, dependendo das condições ambientais como tensões e temperatura, o
alinhamento entre os elementos com PDL muda com o tempo, o que sugere a importância do
estudo estatístico em enlaces ópticos, sendo necessário, portanto, um embaralhamento dos
SOPs no RCL a cada volta. A variação induzida dos SOPs da luz no anel implica na obtenção
de resultados similares aos encontrados num sistema em linha reta.
Os resultados experimentais iniciais obtidos estavam próximos do reportado na
literatura apenas até a quinta volta (N=5), pois provavelmente, estava ocorrendo a
despolarização da luz introduzida no sistema pela ASE do EDFA dentro do anel. De fato,
observa-se que a ASE, por sua natureza de emissão espontânea, é despolarizada,
correspondendo à um valor nulo de PDL.
Para incluir uma possível despolarização do sinal por volta, realizou-se o estudo
teórico utilizando apenas o formalismo de Mueller, pois o formalismo de Jones não considera
a luz não polarizada. O DOP foi obtido por tentativas, com melhor valor estimado em 7%
(DOP=0,93).
Para a análise comparativa entre valores teóricos e experimentais foi necessário
simular os erros experimentais. Foi realizada, portanto, a convolução dos valores teóricos
obtidos para a primeira volta com a função Gaussiana teórica, com o objetivo de simular os
erros experimentais. O modelo apresentou uma boa aproximação dos resultados
experimentais.
As análises apresentadas até aqui correspondem ao caso em que a despolarização por
volta é pequena. Constatou-se que em alguns casos, a PDL acumulada é muito menor que o
esperado não superando o valor de PDL / <PDL1> = 4, mesmo para o caso de 10 voltas.
Acredita-se que ocorra uma maior despolarização por volta, pois nos experimentos utiliza-se
apenas um filtro para a eliminação da ASE no anel.
69
REFERÊNCIAS
AGILENT Technologies – Polarization Dependent Loss Measurement of Passive Optical
Components – Application Note – 2002 – 12p.
BARROS, Miriam Regina X.; ROCHA, Mônica de L.; HORIUCHI, Mariza R. Anel de
Recirculação para testes de Cascatas de Amplificadores e Nós Ópticos em Sistemas
Modulados em 10 Gb/s. Funttel – PA ASDAC OS 40126 – Parte 1. 15 p. Outubro 2002
BARUH, S.; BARROS, M. R. X.; ROCHA, M. de L.; HORIUCHI, M. R.; ROSOLEM, J. B.;
ARRADI, R.; ROSSI, S. M.; PARADISI, A.; GIRALDI, M. T. M. R.; MARTINEZ, M. A. G.
Experimental Demonstration and Numerical Simulation of an Optical Recirculating Loop
Operating at 10 Gb/s. International Microwave and Optoelectronics Conference - IMOC 2003
– Iguazu Falls, Parana, Brazil – 20/23 September 2003.
CANTRELL, C.D. – Polarization – The University of Texas at Dallas (UTD) – Erik Jonsson
School PhoTEC – 09/2004
COHEN-TANNOUDJI, Claude; DIU, Bernard; LALOË, Frank – Quantum Mechanics –
Willey-Interscience Publication – vol 1 – 1977 – p. 417
ESPINOZA, Walter Américo Arellano, Ganho Dependente da Polarização e Buracos
Espectrais em Amplificadores Ópticos a Fibra Dopada com Érbio - - Tese de Doutorado
apresentada ao Instituto de Física “Gleb Wataghin” da Universidade Estadual de Campinas
FLORIDIA, Cláudio; ROCHA, Mônica L.; BARUH, Suzanne; OLIVEIRA, Júlio C. R. F.;
SIMÕES, Fábio D.; Martinez, Maria A. G. – Degree of Polarization (DOP) Loss in the
Statistics os Polarization Dependent Loss (PDL) in Recirculating Loop – XXII Simpósio
Brasileiro de Telecomunicações (SBrT’05) – Campinas SP - Set 2005
FLORIDIA, Cláudio; BARUH, Suzanne; ROCHA, Mônica L.; OLIVEIRA, Júlio C. R. F.;
SIMÕES, Fábio D.; Martinez, Maria A. G. - Inclusion of Depolarization Effects in
Polarization-Dependent Loss Statistics of a Recirculating Loop - SPIE Europe Regional
Meeting – The International Society for Optical Engineering – SPIE 2005 – Dublin, Ireland
– 4/6 April 2005
FOWLES, Grant R. - Introduction to Modern Optics –– 2ª Edition – 1975
70
FUKADA, Y., “Probability density function of polarization dependent loss (PDL) in optical
transmission system composed of passive devices and connecting fibers”, Journal of
Lightwave Technology, v. 20, n. 6, pp. 953 – 964, 2002.
GORDON, J.P.; KOLGELNIK, H. - PMD fundamentals: Polarization mode dispersion in
optical fibers – Crawford Hill Laboratories, Lucent Technologies – 25 Abr. 2000 – pp. 45414550 – vol. 97 – n. 9
HECHT, Eugene. Optics – Addison Wesley Longman, Inc – 3ª Edition - 1998
HENTSCHEL, C.; Derickson D. - Fiber Optic Test and Measurement, Prentice Hall, 1998.
HENTSCHEL, Christian; SCHMIDT, Siegmar – PDL Measurement using the Agilent 8169A
Polarization Controller Polarization Dependent Loss Measurement of Passive Optical
Components – Application Note – 2002 – 13p.
MONTEIRO, Hoan C..; BARUH, Suzanne; MARTINEZ, Maria A.; ROCHA, Mônica L.;
BARROS, Miriam R. – Avaliação do Desempenho de Sistemas Utilizando um Anel de
Recirculação Óptico - XXI Simpósio Brasileiro de Telecomunicações – SBrT 2004 –
Universidade da Amazônia – UNAMA – BR – Belém – Pará – 06/09 de Setembro de 2004
NEWPORT – Projects in Fibers Optics – Applications Handbook –1999
ROCHFORD, Kent – Polarization and Polarimetry – National Institute of Standards and
Technology – Encyclopedia of Physical Science and Technology, 3ª ed. Vol. 12
SHTAIF, Mark – Three Lectures on Polarization Light – School of Electrical Engineering,
Dept. of Physical Eletron. Tel Aviv University
VINEGONI, Claudio; Karlsson, Magnus; Petersson, Mats; Sunnerud, Henrik. The Statistics
of Polarization-Dependent Loss in a Recirculating Loop - Journal of Lightwave Technology –
vol 22 - nº 4 - p. 968-975 - April 2004.
YARIV, Amnon; YEH and Pochi - Optical Waves in Crystal. Propagation and Control of
Laser Radiotion – 1984