Estruturas cristalinas - aplicações [6] ¾ Questão 1: Calcule o número de átomos existentes em um grama de chumbo (Pb), sabendo-se que a sua massa atômica corresponde a 207,2. Resolução: como a massa atômica corresponde a um mol de átomos, de uma regra de três simples tem-se 6,02 . 1023 átomos Pb ⎯→ 207,2 g X átomos Pb ⎯→ 1 g 6,02 ⋅10 átomos ⋅1g X= 207,2 g 23 X = 2,90 . 1021 átomos Pb / g Pb 1> Estruturas cristalinas - aplicações ¾ Questão 2: O óxido de alumínio (Al2O3) tem densidade de 3,8 g/cm3. Quantos átomos existem por cm3 ? E por grama? Massas atômicas: Al = 27; O = 16. Resolução: A molécula contém 2 átomos de Al e 3 átomos de oxigênio. A massa molecular será: 1 mol Al2O3 = 2 mols Al + 3 mols O massa molecular Al2O3 = 2 . 27 + 3 . 16 = 102 g/mol A massa de 1 cm3 corresponde a 3,8 g, logo: (2 + 3) . 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 102 g X átomos ⎯→ 3,8 g 3,8 ⋅ (2 + 3) ⋅ 6,02 ⋅10 X= 102 23 X = 1,12 . 1023 átomos.cm-3 continua 2> Estruturas cristalinas - aplicações ¾ Questão 2: O óxido de alumínio (Al2O3) tem densidade de 3,8 g/cm3. Quantos átomos existem por cm3 ? E por grama? Massas atômicas: Al = 27; O = 16. Resolução: Para determinarmos a quantidade de átomos existentes em um grama de alumina, calcula-se a seguinte proporção (2 + 3) . 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 102 g X átomos ⎯→ 1 g 1 ⋅ (2 + 3) ⋅ 6,02 ⋅10 X= 102 23 X = 2,95 . 1022 átomos.g-1 3> Estruturas cristalinas - aplicações ¾ Questão 3: Sabe-se que o ouro (Au) tem um estrutura cristalina CFC, massa e raio atômico correspondentes a 197,0 e 1,44 Å, respectivamente. Calcule: (a) o parâmetro de rede da célula unitária (ao); (b) a densidade teórica do ouro; (c) o fator de empacotamento da estrutura cristalina; (d) a densidade atômica linear na direção [110]; (e) a densidade atômica planar no plano (100); (f) o espaçamento entre os planos cristalinos (200); c c b b a a 4> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (a) parâmetro de rede da célula unitária (ao); Aplicando Pitágoras: (4 R) = a + a 2 4R ao ao 2 o 2 o 4⋅ R ao = 2 substituindo-se o raio atômico do ouro obtém-se plano (100) ao = 4,07 Å 5> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (b) a densidade teórica do ouro; massa / célula ⋅ unitária densidade = volume / célula ⋅ unitária número de átomos em CFC: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 197 g de ouro 4 átomos ⎯→ M M = 1,30 . 10-21 g de ouro O volume da célula unitária será V = ao3 = (4,07 . 10-8)3 = 6,74 . 10-23 cm3 logo a densidade do ouro é dada por 1,30 ⋅10 −21 -3 d= d = 19,28 g.cm 6,74 ⋅10 − 23 6> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (c) fator de empacotamento do ouro; volume(átomos ) FE = volume(célula ⋅ unitária ) número de átomos em CFC: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos ⎡4 ⎡4 3⎤ 3⎤ Vat = 4 ⎢ π ⋅ R ⎥ = 4 ⎢ π ⋅ (1,44) ⎥ = 50,03 ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ O volume da célula unitária será V = ao3 = (4,07)3 = 67,42 logo 50,03 FE = 67,42 FE = 0,74 7> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (d) a densidade atômica linear na direção [101]; A densidade linear é definida em átomos / unidade de comprimento c na direção [101] existem 2 átomos módulo de [101]: b a L = ao2 + ao2 → L = 2 ⋅ ao logo a densidade linear em [101] será: 2 DL = 2 ⋅ (4,07.10 −7 ) DL = 3,47 . 106 átomos.mm-1 8> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (e) a densidade atômica planar no plano (100); A densidade planar é definida em átomos / unidade de área no plano (100) existem 2 átomos ao A = ao2 = (4,07 ⋅10 −7 ) 2 plano (100) logo a densidade planar em (100) será: 2 DP = −7 2 (4,07.10 ) DP = 1,20 . 1013 átomos.mm-2 9> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: (f) espaçamento entre planos (200); O espaçamento entre planos (hkl) em estruturas cúbicas pode ser calculado por d hkl = ao h +k +l 2 2 2 aplicando os índices de Miller na fórmula, obtém-se d hkl = 4,07 22 + 02 + 02 dhkl = 2,03 Å 10> Estruturas cristalinas - aplicações ¾ Questão 4: O titânio apresenta uma transformação alotrópica a 880°C. Durante o resfriamento o metal muda de uma estrutura CCC (ao = 3,32Å) para uma outra HC (ao = 3,32Å; c = 4,683Å). Calcule a variação de volume durante esta transformação, em cm3 por grama de titânio. Massa atômica: 47,9 c c resfriamento b b a a 11> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: torna-se necessário conhecer o número de átomos ocupados em cada célula unitária CCC: 1/8 . 8 + 1 = 2 átomos /célula unitária c o volume do cubo unitário será b a volume C.U. = (3,32)3 = 36,59 Å3 Vccc = 36,59 Å3 12> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: fazendo um procedimento semelhante para a HC: {1/6 . 6 + 1/2} + 3 = 6 átomos por célula unitária VHC c VHC b ⎡ 1 a 3⎤ = ⎢6 ⋅ ⋅ a ⋅ ⎥ ⋅c 2 ⎦ ⎣ 2 ⎡ 1 (2,956) 3 ⎤ = ⎢6 ⋅ ⋅ (2,956) ⋅ ⎥ ⋅ (4,683) 2 ⎣ 2 ⎦ a VHC = 106,31 Å3 13> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: para um grama de titânio tem-se 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 47,9 g de titânio X átomos ⎯→ 1 g de titânio CCC: X = 1,25 . 1022 átomos / g de titânio 1,25 . 1022 átomos ⎯→ VC 2 átomos ⎯→ 36,59 Å3 VC = 2,28 . 1023 Å3 1,25 . 1022 átomos ⎯→ VH 6 átomos ⎯→ 106,31 Å3 VH = 2,21 . 1023 Å3 convertendo-se em cm3 verifica-se uma contração no volume: ΔV = 0,228 – 0,221 = 0,007 cm3 / grama de titânio 14> HC: Estruturas cristalinas - aplicações ¾ Questão 5: As massas atômicas do cloro e do sódio são 35,45 e 22,99 respectivamente. Sendo a densidade do NaCl 2,16 g.cm-3, calcule o parâmetro de rede da estrutura tipo CFC. Resolução: parâmetro de rede: ao = (2R + 2r) densidade = (massa)/(volume) 15> Estruturas cristalinas - aplicações Resolução: massa Cl: 8.1/8 + 6.1/2 = 4 átomos 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 35,45 g Cl 4 átomos ⎯→ X X = 2,35 . 10-22 g de cloro massa Na: ¼[4 + 4 + 4] + 1 = 4 átomos 6,02 . 1023 átomos ⎯→ 22,99 g Na 4 átomos ⎯→ Y Y = 1,52 . 10-22 g de sódio massa NaCl: (1,52 + 2,35).10-22 = 3,87 . 10-22 g de sal d = m/V → V = m/d → V = (3,87 . 10-22) / 2,16 V = 1,79 . 10-22 cm3 = 179Å3 logo o parâmetro de rede será ao = 3 179 → ao = 5,63Å 16