Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Ângulo Diedro
Diedro é a figura formada pela união de dois semiplanos com origem numa mesma reta. Esta reta é
chamada de aresta do diedro e os semiplanos são chamados de faces do diedro.
α∩β =r
β
b
r
P∈r
^
Pa ⊂ α
P x
Pb ⊂ β
a
α
^
⇒ med(aPb) = med(α r β) = x
Pa ⊥ r
Pb ⊥ r
Para se obter a medida do ângulo formado por estes planos (o ângulo diedro) pode-se tomar um ponto
P sobre a aresta r do diedro α r β e fazer dele, a origem de duas semirretas perpendiculares à aresta r, tais
que uma esteja contida no plano α e a outra no plano β. Desta forma, tem-se que a medida x do ângulo
geométrico formado pelas semirretas coincide com a medida do ângulo diedro α r β.
Ângulo polar de um diedro
Outra forma de se determinar a medida de um ângulo diedro é tomar um ponto na região convexa do
diedro, e fazer desse ponto a origem de duas semirretas, cada uma perpendicular a uma face do diedro.
Essas duas semirretas determinam um ângulo, denominado ângulo polar do diedro, cuja medida é
suplementar à medida do ângulo diedro.
OA ⊥ α
OB ⊥ β
O
^
⇒ med(AOB) = y
O
y
y
β
β
B
B
x
P
A
r
A
r
α
α
^
med(α r β) = 180º – y
Na figura acima, as duas semirretas de origem O determinam o ângulo polar AÔB do diedro αrβ, pois
são respectivamente perpendiculares às faces α e β do diedro. Além disso, os pontos A e B são os traços
que essas semirretas determinam nos planos α e β.
Traçando-se os segmentos AP e BP perpendiculares à aresta r do diedro, surge o quadrilátero APBO
cujos ângulos A e B são ambos retos. Assim, sendo x a medida do ângulo diedro e y a medida de seu
ângulo polar, temos nesse quadrilátero que: 90º+x +90º+ y = 360º ⇔ x = 180º – y.
Exercícios:
Exercícios:
1 Fuvest. Sejam π’ e π’’ as faces de um ângulo
diedro de 45º e P um ponto interior a esse diedro.
Sejam P’ e P’’ as respectivas projeções ortogonais
de P sobre π’ e π’’. Então a medida, em graus, do
ângulo P’PP’’ é:
A) 30
B) 45
C) 60
D) 90
E) 135
2 Fuvest. O ângulo θ formado por dois planos α
e β é tal que tgθ = 5 /5. O ponto P pertence a α
e a distância de P a β vale 1. Então, a distância de
P à reta intersecção de α e β é igual a:
A)
3
B)
C)
5
6
D)
7
E)
8
1