Simetrias Discretas da Teoria de Dirac
Já foram vistas as transformações de Lorentz contínuas. Agora discutiremos três
operadores que implementam algumas simetrias discretas no campo de Dirac. Duas
delas, paridade e reversão temporal, dizem respeito a operações espaço-temporais,
que não podem ser obtidas através de transformações de Lorentz contínuas
(próprias) partindo da identidade mas preservam xµxµ =t2−x2.
São elas:
•
•
•
Paridade (P): (t, x )
→
(t, −x ) , revertendo a quiralidade do espaço.
Reversão temporal (T): (t, x )
→
Conjugação de Carga (C): partícula
(−t, x ) , trocando futuro pelo passado.
anti-partícula.
– Qual o status experimental dessas operações de simetria?
Apesar de qualquer teoria ter que ser invariante sobre transformações de Lorentz
próprias (ortocrono), elas não precisam necessariamente ser invariante por P, C e T.
•
•
•
•
P, C e T : forças gravitacional, eletromagnética e forte.
C e P : violadas (separadamente) pela interação fraca mas T é preservada.
CP e T : violada apenas em certos processos (K0, B).
CPT : todas as observações indicam ser uma simetria perfeita da natureza.
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1
‰
Paridade
O operador paridade (P) deve reverter a direção do momento de uma partícula, mas
sem inverter seu spin (p e x mudam mas momento angular não muda):
Matematicamente deve ser implementada por operação unitária U(P) ou, por
simplicidade, P: transforma o estado as†p|0> Æ as†-p|0>, i.e., quer-se uma
operação tal que
• ηa e ηb são possíveis fases fixadas pela condição de que duas aplicações
sucessivas de P deve fazer as observáveis retornarem ao valor original.
•
Como observáveis são construídas com número par de operadores
fermiônicos, isto requer que η2a, η2b =±1 (fase complexa).
•
A transformação de paridade deve ser representada por matriz constante
4×4, da mesma forma que a transformação contínua de Lorentz era dada
por S.
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Para encontrar P , e determinar ηa e ηb , aplica-se P a ψ(x):
P ψ (x ) P = P ∫
d 3p
(2π )3
1
2Ep
∑ ( asp
∫
d 3p
(2π )3
1
2Ep
∑ ( ηa a−s p us (p)e−ip.x + ηb* b−s †p vs (p)eip.x )
=
s
)
u s (p) e−ip .x + bps † vs (p) e ip .x P =
s
0
Faz-se uma mudança de variável p → p = (p , −p ) (lembrando de mudar o sinal
de d3p e dos limites de integração).
Note que:
p.x = (p 0x 0 − p.x ) = [ p 0t − (−p ).(−x )] = p.(t, −x )
•
Produto escalar:
•
Produtos com σ : p.σ = (p 0, p ).(σ 0, σ ) = (p 0 , −p ).(σ 0, −σ ) = p.σ
p.σ = (p 0, p ).(σ 0, −σ ) = (p 0, −p ).(σ 0, σ ) = p.σ
•
Espinores:
γ0
⎛ 0 1 ⎞ ⎛⎜ p.σ ξ ⎞⎟
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ = γ 0u(p )
= ⎜⎜⎜
⎜
⎟
⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ p.σ ξ ⎟⎟⎠
⎛ 0 −1 ⎞ ⎜⎛ p.σ η ⎟⎞
⎟⎟ ⎜
⎟⎟ = −γ 0v ( p )
= ⎜⎜⎜
⎜
⎟
⎜⎝ −1 0 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ − p.σ η ⎟⎟⎠
− γ0
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Dessa forma, a ação de P em ψ(x) torna-se:
Isto deveria ser igual a uma matriz constante multiplicando ψ(t,–x).
Vê-se que esta condição é verificada se η*b= – ηa ou seja
.
ηaηb = −ηaηa* = −1
X Forma final da transformação de paridade (P) sobre
X Transformação de paridade (P) sobre
ψ(x):
ψ (x ) :
= [ηaγ 0ψ (t, −x )]† γ 0 = ηa*ψ (t, −x )γ 0
Pψ (t, x )P = ηa∗ψ (t, −x )γ 0
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– Transformação dos bilineares de Dirac sob paridade P:
•
Escalar:
•
Vetorial (mesmo sinal negativo que xµ nas componentes espaciais)
•
Pseudo-escalar (sinal extra sob paridade)
•
Pseudo-vetorial (sinal extra sob paridade)
As propriedades de transformação de bilineares fermiônicos são independentes de
ηa : poder-se-ia impor ηa=− ηb =1 sem perda de generalidade, desde o início.
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5
‰
Reversão Temporal (T)
Se impusermos que operador de reversão temporal seja uma simetria de Dirac
Temos
[T , H ] = 0
ψ (t , x ) = e iH t ψ (x )e − iH t ⇒ T ψ (t , x )T = e iH t [T ψ (x )T ]e − iH t
T ψ (t , x )T 0 = e iH t [T ψ (x )T ]e − iH t 0 = e iH t [T ψ (x )T ] 0
o lado direito é uma soma apenas de termos com freqüência negativa mas do
esquerdo, seT reverte t em ψ(t,x), é uma soma apenas de termos com freqüência
positiva :
ψ (−t , x ) 0 = e −iH t ψ (x ) 0
Portanto T não pode ser implementado como um operador linear unitário. Para
resolver isto, supomos que T seja unitário (T † = T -1) mas que atue tanto sobre
= ∗T
os números complexos, quanto nos operadores como: T
Assim, mesmo tendo-se [T,H]=0, a dependência temporal de todos os fatores
exponenciais é revertida, i.e.,
Como toda a evolução temporal é feita com tais fatores, isso muda efetivamente o
sinal de t.
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Portanto, sob reversão temporal:
• x não deve mudar mas p ∝ dx/dt deve mudar
•
Momento angular ( x×p ) também tem que mudar de sinal:
X Devemos encontrar uma quantidade que flip o spin
Spin (antes, s=1,2), agora s é componente física do spin ao longo de um eixo
específico (com coordenadas polares θ e φ). A forma do espinor us(p):
Escrevendo p em coordenadas esféricas e tomando a forma explícita de ξ temos os
espinores de duas componentes (up e down) ao longo desse eixo:
Então, agora
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, para s=1, 2.
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Podemos definir a operação de “spin flip” (reversão de spin) como:
a quantidade resultante é o espinor revertido. No exemplo acima:
A relação de reversão de spin segue, de maneira mais geral, da identidade:
o implica que, se ξ satisfaz,
para algum eixo n , então:
Com a convenção acima para a reversão de spin, então, duas aplicações sucessivas
faz com que retorne ao spin a: (–1) X estado original:
(ξ −s )−s = −iσ 2 (−iσ 2ξ s * )* = (−i )(+i )σ 2 (σ 2 )* ξ s = −ξ s
⎛ 0 −i ⎞⎛ 0 i ⎞ ⎛ −1 0 ⎞
⎟⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎜
σ (σ ) = ⎜⎜⎜
⎟⎟⎟ = −I
⎟⎜
⎟
⎜
⎜⎝ i 0 ⎟⎜
⎠⎝ −i 0 ⎟⎠ ⎝⎜ 0 −1 ⎟⎠
2
2 *
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Podemos associar vários estados fermiônicos de spin aos espinores assim definidos:
X
X
asp : destrói um elétron cujo espinor us(p) contém ξs
bsp : destrói um pósitron cujo espinor vs(p) contém ξ−s
Analogamente a (
), define-se:
– Relação dos espinores u e
Define-se novamente o vetor
p.σ =
p.σ
v e a reversão temporal
p = (p 0, −p )
e usando
p.σ =
e
p.σ
pode-se mostrar que:
e
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•
Relação entre
u s (p) ↔ u −s (p) :
⎛σ 2
⎜
= −i ⎜⎜
⎜⎜ 0
⎝
•
Relação entre
0 ⎞⎟ ⎛ p .σ ξ s ⎞∗
⎟⎟
⎟⎟ ⎜⎜
=
⎜
s
σ 2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ p .σ ξ ⎟⎟⎠
vs (p) ↔ v−s (p)
Usando a notação adotada em (
), define-se a reversão temporal dos operadores
de criação e destruição de férmions como:
Como uma fase global não teria efeito sobre o restante da discussão, como
aconteceu no caso da paridade, ela será omitida
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– Ação da reversão temporal) sobre o campo ψ(x):
sendo que, para escrever a 3ª igualdade, usou-se:
p.(t, −x ) = (p 0, −p ).(t, −x ) = (p 0, −p ).(−1)(−t, x ) = −p.(−t, x ).
O sinal (−) relativo nas leis de transformação de partícula-antipartícula ainda estão
implicitamente presentes na relação acima, através da convenção de espinor
revertido usada em v-s.
– Ação da reversão temporal) sobre o campo ψ :
TψT = (Tψ †T )(γ 0 )∗ = [(−γ 1γ 3 )ψ (−t, x )]† γ 0 =
= ψ (−t, x )† (−γ 1γ 3 )† γ 0 = −ψ (−t, x )(γ 3γ 1 ) = ψ (−t, x )(γ 1γ 3 )
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– Ação da reversão temporal sobre os bilineares de Dirac
•
Escalar:
•
Pseudo-escalar:
•
Vetorial:
•
Pseudo-vetorial:
T ψγ µγ 5ψ T = ψ (−t, x )γ 1γ 3 (γ µγ 5 )* (−γ 1γ 3 )ψ (−t, x )
µ 5
⎪⎪⎧ ψ (−t, x )γ γ ψ (−t, x ) (µ = 0)
=⎨
⎪⎪ − ψ (−t, x )γ µγ 5ψ (−t, x ) (µ = 1, 2, 3)
⎪⎩
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‰
Conjugação de Carga (C)
Operador conjugação de carga (C ) é unitário e linear. Definição convencional:
X Leva um férmion com uma dada orientação de spin a um
antiférmion com a mesma orientação de spin
•
Escolha conveniente:
– Ação de C em
•
ψ(x)
Relação entre vs(p) e us(p) :
ou seja:
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=ξ−s
=−iγ2
= us(p)
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Substituindo as expressões para vs(p) e us(p) na expressão para o operador de
campo fermiônico e então transformando-o com C, temos:
∫
d 3p
(2π )3
1
C
2E p
∑ ( a sp
s
)
u s (p ) e−ip .x + bps † v s (p ) e ip .x C
(ψ †
= (ψ ∗ )T → (ψ † )T = [(ψ ∗ )T ]T = ψ ∗ )
– Ação de C sobre ψ :
– Ação de C sobre ψ :
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– Ação da Conjugação de Carga sobre os bilineares de Dirac
•
Escalar:
(o sinal (−) na 3ª. igualdade vem da anticomutação de fermions)
•
Pseudo-escalar:
•
Vetorial:
•
Pseudo-vetorial:
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‰
Resumindo
Notação:
Æ
e
Æ
).
Assim, a lagrangiana livre de Dirac
é invariante separadamente, por C, P e T.
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Lista 5
Exercício 14:
A expressão do momento angular total é dada por:
J =
∫ d 3x ψ † ⎡⎢⎣ x ×(−i∇) + 12 Σ ⎤⎥⎦ ψ
⇔
Ji =
para fermions não relativísticos:
∫ d 3x ψ † ⎡⎢⎣ ε ijkx j
(−i )∂k
mom. angular orb.
+
1 Σi
2
⎤ψ
⎥⎦
mom. ang. spin
Considerando partículas relativísticas em repouso (momento angular orbital não
contribui) mostre que o momento angular de fermions e antifermions é dado por:
1
1
J za 0s † 0 = ± a 0s † 0 ; J zb0s † 0 = ∓ b0s † 0 ,
2
2
discutindo derivação dos resultados em cada caso.
Exercício 15:
• Obtenha as relações abaixo para os campos quantizados de Dirac:
d 3 p 1 −ip .(x −y )
e
〈0 | ψa (x )ψb (y ) | 0〉 = (i ∂ x + m )ab ∫
(2π )3 2Ep
d 3 p 1 −ip .(y −x )
e
〈0 | ψb (y )ψa (x ) | 0〉 = −(i ∂ x + m )ab ∫
(2π )3 2Ep
• Mostre a relação da combinação dos resultados acima, na forma de
anticomutador , com o comutador dos campos de Klein-Gordon, i.e.:
〈0 |
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{ ψa (x )ψb (y ) } | 0〉 = (i ∂x + m )ab 〈0 | [ φ(x ), φ(y ) ] | 0〉
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Exercício 16:
Sendo
a função
Green
retardada
para
a equação
Dirac
dada
por:
Sendo
a função
dede
Green
retardada
para
a equação
dede
Dirac
dada
por:
DR (x − y ) ≡ θ (x 0 − y 0 ) 0 [φ (x ), φ (y ) 0 , mostre que:
Mostre
que: se relaciona com a função de Green retardada de Klein-Gordon por:
• SR(x-y)
• SR(x-y) seS relaciona
de Green
de Klein-Gordon por:
(x − y ) com
≡ (i a∂ função
+ m )D
(x − yretardada
)
R
x
R
• Demonstre
que, de fato, SR(x-y) é a função de Green do operador de Dirac,
• Demonstre
que, de fato, S (x-y) é a função de Green do operador de Dirac,
R
ou seja:
ou seja: (i ∂ x − m )SR (x − y ) = iδ (4)(x − y ).14×4
•Expandindo
SR(x-y)
(e a(efunção
delta
acima)
como
integral
de Fourier:
• Expandindo
SR(x-y)
a função
delta
acima)
como
integral
de Fourier:
mostre
que:
mostre
que:
d 4 p −ip .(x −y )
SR (x − y ) = ∫
e
S R (p )
(2π )4
i( p + m )
S R (p ) = 2
p −m
Exercício 17:
Demonstre que, ao integrar em p0 a0 função de Green na forma de integral de Fourier,
Demonstre que, ao integrar em p a função de Green na forma de integral de
com Fourier,
as condições
decondições
contorno de
pág.
31longo
do livro)
obtém-se:
com as
deFeynman
contorno (contorno
de Feynman
(ao
do contorno
da
4
p +livro),
m ) obtém-se:
d p 31i(do
SF (x − y ) ≡ ∫página
e−ip.(x −y )
4 2
2
NOTA:
(2π ) p − m + iε
=
0 ψ (x )ψ (y ) 0
- 0 ψ (y )ψ (x ) 0
≡ 0 Tψ (y )ψ (x ) 0
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1
1
=
2
0 2
2
[(p ) − (p + m 2 − iε )]
p − m + iε
(y 0 > x 0 ) (contorno por cima)
1
≈ 0
[ p − (Ep − iε )][ p 0 + (Ep − iε )]
(x 0 > y 0 ) (contorno por baixo)
2
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