Exercícios de Mecânica Quântica I
Ano lectivo 2008/2009, semestre ímpar
Docente: Prof. Alfred Stadler
Série de exercícios No. 12, a preparar para 05/01/2009
33. A partir da fórmula de recorrência para os coecientes do polinómio v(ρ), determine
as funções de onda radiais R30 (r), R31 (r) e R32 (r) do átomo de hidrogénio. (Não é
preciso normalizar estas funções.)
34. Considere um electrão no átomo de hidrogénio.
(a) Calcule hri e hr2 i no estado fundamental. Exprima os resultados em termos do
raio de Bohr.
(b) Calcule hxi e hx2 i no estado fundamental. Pista : não é preciso calcular algum novo
integral. Repare que r2 = x2 + y 2 + z 2 e utilize a simetria do estado fundamental.
(c) Calcule hx2 i no estado n = 2, l = 1, m = 1. Nota : Este estado não é simétrico
em x, y e z . Utilize x = r sin θ cos φ.
35. Em Mecânica Clássica, o momento angular é denido como L = r × p, portanto
Lx = ypz − zpy ,
Ly = zpx − xpz ,
Lz = xpy − ypx .
(a) A partir dos comutadores entre posição e momento linear, verique que
[Lz , x] = ih̄y ,
[Lz , y] = −ih̄x ,
[Lz , z] = 0
[Lz , px ] = ih̄py ,
[Lz , py ] = −ih̄px ,
[Lz , pz ] = 0 .
(b) Utilize estes resultados para deduzir que [Lz , Lx ] = ih̄Ly .
(c) Determine os comutadores [Lz , r2 ] e [Lz , p2 ], onde r2 = x2 + y 2 + z 2 e p2 =
p2x + p2y + p2z .
(d) Mostre que o Hamiltoniano H = (p2 /2m) + V comuta com os três componentes
de L quando V é uma função apenas de r. (Isto implica que H , L2 e Lz são
observáveis mutuamente compatíveis.)