Estatística
8 - Distribuições Amostrais
9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
1
x
Distribuição da Média Amostral
Exemplo: População = {2,3,6,8,11}
Amostra de 2 (dois) elementos com reposição.
N=5 n=2
Amostras possíveis:
52 = 25 amostras
(2,2)
(3,2)
(6,2)
(8,2)
(11,2)
2,0
2,5
4,0
5,0
6,5
População:
(2,3)
(3,3)
(6,3)
(8,3)
(11,3)

2,5
3,0
4,5
5,5
7,0
(2,6)
(3,6)
(6,6)
(8,6)
(11,6)
4,0
4,5
6,0
7,0
8,5
(2,8)
(3,8)
(6,8)
(8,8)
(11,8)
5,0
5,5
7,0
8,0
9,5
(2,11)
(3,11)
(6,11)
(8,11)
(11,11)
6,5
7,0
8,5
9,5
11,0
 x i 2  3  6  8  11

 6,0
N
5
( x i   )2
 
N
2
2 

1
 ( 2  6)2  (3  6)2  (6  6)2  (8  6)2  (11  6)2
5

 2  10,8
Amostra:
 x  E( x ) 
 
2
x
 x i 2,0  2,5  ...  11,0 150


 6,0  
n
2
N
5
25
( x i   x )2
Nn
( x i  6,0)2

25
10,8  2
  5,40

2
n
2
x
2
x
Distribuição da Média Amostral
Exemplo: População = {2,3,6,8,11}
Amostra de 2 (dois) elementos sem reposição.
N=5 n=2
Amostras
x
Amostras possíveis:
2,5
(2,3)
4,0
(2,6)
5
5,0
(2,8)
   5!  5  4  10
 2  3!2!
2
6,5
(2,11)
 
4,5
(3,6)
5,5
(3,8)
7,0
(3,11)
7,0
(6,8)
1
P( xi ) 
para todo xi
8,5
(6,11)
10
9,5
(8,11)
2,5  4,0      9,5
 x   x i  P( x i ) 
 6,0
10
2 (x)  (xi  x )2  P(xi )
2 ( x) 


1
( 2,5  6)2  ( 4,0  6)2  ...  (9,5  6)2  4,05
10
2

N  n 10,8 5  2
2 ( x) 



 4,05
n N 1
2 5 1
3
Distribuição da Média Amostral
x
• Amostragem com reposição
• População infinita
• Xi: V.A. Independentes
( x )  
Então
2

2 (x) 
n
• Amostragem sem reposição
• População finita
• Xi: V.A. não Independentes
( x )  
Então
 Nn
 (x) 

n N 1
2
2
Onde: N  tamanho da população
n  tamanho da amostra
4
Distribuição da Média Amostral
x
Resultados importantes:
• Se a população for Normal então a Distribuição Amostral de x
é Normal para qualquer tamanho da amostra, devido ao
Teorema das Combinações Lineares de Variáveis Normais
Independentes.
Distribuição Amostral de x
Distr. Probab. da População

x, x
• Se a população não for Normal, mas a amostra for
suficientemente grande então a Distribuição Amostral de x
pode ser aproximada pela Normal, devido ao Teorema do
Limite Central (no caso de população infinita) ou devido à
consideração de amostragem com reposição.
Distribuição Amostral de x
Distr. Probab. da População

x, x
5
Intervalo de Confiança para a média 
x  e0    x  e0
e0: Erro ou Precisão do Intervalo
Nível ou Grau de Confiança
/2
1-
/2
 - e0   + e0
6
Intervalo de Confiança para a média  de
uma População infinita, com  desconhecido
s
s 

P x  t n1, / 2 
   x  t n1, / 2 
  1 
n
n

Nível ou Grau de Confiança
Neste caso:
e0  t n1, 2 
sx
n
7
Intervalo de Confiança para a média  de
uma População infinita, com  desconhecido
Uma amostra de 4 elementos extraídas de
uma população com Distribuição Normal forneceu
média x = 8,20 e desvio-padrão s = 0,40.
Construir um intervalo com nível de confiança de
99 % para a média dessa população.
Exemplo:
Intervalo de Confiança:
sx
Onde: e 0  t n1, 2 
n
Solução:
Da tabela t de Student:
Logo:
x  e0
tn1, 2  t3, 0,5%  5,841
sx
0,40
e0  t n1, 2 
 5,841
 1,168
n
4
Intervalo de Confiança: x  e  8,20  1,168
0
Então:
s
s 

P x  t n1, / 2  x    x  t n1, / 2  x   1  
n
n

P7,032    9,368  0,99
8
Distribuições t de Student - valores de t v ,α , onde P = P( t v t v,α /2 )
/2
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
50
80
120
0,10
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,299
1,292
1,289
0,05
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,676
1,664
1,658
0,025
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,009
1,990
1,980
0,01
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,403
2,374
2,358
0,005
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,678
2,6399
2,617
Intervalo de Confiança para a média  de
uma População infinita, com  conhecido
Exemplo: Considerando-se que uma amostra de 100
elementos extraída de uma população Normal, cujo
desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média amostral x
= 35,6, construir um intervalo com nível de confiança de
95 % para a média 

Portanto: e0  z
z/2 = z2,5
%
2

n
= 1,96, logo:

2,0
e0  z  
 1,96 
 0,392
2
n
100
Intervalo de Confiança:
x  e0  35,6  0,392
Então:
P35,208    35,992  0,95
2,5%
95%
35,208 35,6 35,992
2,5%
10
Distribuição normal – valores de P(0  Z  z0)
Z~N(0,1)
z0
z0
0,0
0,1
0,2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4772
0,4821
3,8
3,9
0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4778
0,4826
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4783
0,4830
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4788
0,4834
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4793
0,4838
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4798
0,4842
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4803
0,4846
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,4808
0,4850
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4812
0,4854
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
0,4817
0,4857
11
Tamanho da Amostra
Exemplo 1: Qual o tamanho de amostra necessária para se
estimar a média de uma população infinita cujo desviopadrão é igual a 4, com 98 % de confiança e precisão de
0,5?
z0
0
1
2
3
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,7
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
2
2
0,8
0,2881
0,2939
 z1%  0,2910
  2,33
 4  0,2967
0,9 n 0,3159
0,3186
   0,3212
 
346 ,3
 0,3238
1,0
0,3413
e0 0,3438
,5  0,3485
 00,3461


1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
Distribuição
normal
– valores
de P(0
Z z0)0,4370
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
Z~N(0,1)
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
z
0
1
2
3
0
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
2,3
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
2,4
0,4918
0,4920
0,4922
0,4925
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
2,5
0,4938
0,4940
0,4941
0,4943
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
2,6
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,7
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
2,7
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
2,8
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977

e0  z 
 0,5
2
n
4
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
z
0,4591
0,4671
4
0,4738
0,0160
0,4793
0,0557
0,4838
0,0948
0,4875
0,1331
0,4904
0,1700
0,4927
0,2054
0,4945
0,2389
12
0,4959
0,2704
0,4969
0,2995
0,4977
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Distribuição da Variância Amostral s2


n
s
2
X
(
x

x
)
i
i1
2
n 1
2
n  x 
n 2
2
i
n   
   zi
i 1  
i 1

2
s 
  n1
n 1
2
2
(n  1)  s
  
2
n1
2
2
13
2

Distribuição



  
2
14
p

2
n1, p

2
n1
v/ p
15
(n  1)  s
 
2
n1
2
2



2
2
n1,1 / 2
P(
2
n1,1 / 2

2

2
n1, / 2

2
n1

2
n1, / 2
2
n1,
)  1
16
(n  1)  s
 
2
n1
2
2
P(n21,1 / 2  n21  n21, / 2 )  1  
2
 2

(n  1) s
2
P   n 1,1 / 2 
  n 1, / 2   1  
2



2
  n21,1 / 2
 n 1, / 2 
1
P
 2 
 1
2
2

(n  1) s 
 (n  1) s
(n  1)  s
(n  1)  s
2
P( 2
  2
)  1 
 n1, / 2
 n1,1 / 2
2
2
17
(n  1)  s
 
2
n1
2
2



2
2
n1,1 / 2

2
2
n1, / 2

2
n1,
2
(n  1)  s 2
(
n

1
)

s
2
P( 2
  2
)  1 
 n1, / 2
 n1,1 / 2
VARA(...)
INV.QUI(ALFA/2;n-1)
18
Intervalo de Confiança para a Variância da
População - Exemplo
Uma amostra de 11 elementos, extraída de uma
população com Distribuição Normal, forneceu
variância s2 = 7,08.
Construir um intervalo de 90 % de confiança para a
variância dessa população
2 
 (n  1)  s2
(
n

1
)

s
  1 
P 2
 2  2
 


n

1
,

/
2
n

1
,
1


/
2


Solução:
Da tabela Qui-Quadrado:
2
n21,  / 2  10
 18,307
, 5%
Logo:
2
n21, 1 / 2  10
 3,940
, 95%
(n  1)  s2 (11 1)  7,08
LI  2

 3,86
n1,  / 2
18,307
(n  1)  s2 (11 1)  7,08
LS  2

 17,96
n1,1 / 2
3,940
Portanto:
P(3,86    17,96)  0,90
2
19
20
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
da População
Como:
2 
 (n  1)  s2
(
n

1
)

s
  1 
P 2
 2  2
 


n1, 1 / 2 
 n1,  / 2
Então:

(n  1)
(n  1)

P s 2
   s 2

n1,  / 2
n1, 1 / 2


  1 


Caso de amostras grandes (n>30),
pode-se, alternativamente, usar:
z
z


2
2
P s  (1 
)    s  (1 
)  1

2  (n  1)
2  (n  1) 


21