CEEJA “MAX DADÁ GALLIZZI”
PRAIA GRANDE - SP
PARABÉNS!!!
VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR!
MATEMÁTICA
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que
conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse
material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas
redescobertas da "arte matemática" que elaboramos o
conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas.
Os tópicos aqui abordados são muito requisitados em
concursos, vestibulares, etc.
Leia com atenção, resolva todos os exercícios no caderno.
Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós
estaremos na orientação sempre para ajudá-lo.
 Grandezas
diretamente
proporcionais
10
 Proporção
 Regra de três simples
- 01-
e
inversamente
Números e Grandezas Proporcionais
* Grandeza
É todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal
forma, quando há a variação de um, como consequência o
outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou
mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade,
tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com
grandezas que estão relacionadas entre si.
A variação de uma grandeza pode variar outra
grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros
percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto
(2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros
percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir
dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir
também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são
grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As
grandezas
proporcionais
podem
ser:
Grandezas
inversamente
proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais.
 Grandeza Diretamente Proporcional
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma
forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e
diminuem juntas. Podemos dizer também que: São grandezas
diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão
da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, dobrando uma delas, a outra também dobra;
triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por
diante.
Exemplo:
Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava
R$ 2,50. Tomando como base esse dado podemos formar a
seguinte tabela.
Quantidade de gasolina Quantidade a pagar
1 Litro
R$ 2,50
2 Litros
R$ 5,00
3 Litros
R$ 7,50
Observe:
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também
dobra.
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também
triplica.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e
quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente
proporcionais.
- 02-
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais
quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando
uma delas a outra também triplica.
- 03-
 Grandeza Inversamente Proporcional
Grandezas inversamente proporcionais, explicando de
maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a
outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas
grandezas são inversamente proporcionais quando, variando
uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas
grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando
uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas,
a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.
Exemplo:
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre
os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada
um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um
deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles
receberá 4 livros.
Exemplos de Grandezas:
1) A tabela relaciona as grandezas ”medida da corda” e o “valor
pago” de uma corda. Essas duas grandezas são direta ou
inversamente proporcionais?
Medida da corda (m)
Valor pago (R$)
5m
R$ 40,00
10m
R$ 80,00
Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida da corda”
aumenta a outra grandeza “valor pago” também aumenta. Logo esta
é uma grandeza diretamente proporcional.
2) A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e
“tempo” para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas
grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
Observe a tabela:
Número de alunos escolhidos
Números de livros para cada aluno
2
12
4
6
6
4
Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela
metade.
Como
estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários”
aumenta, a grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza
inversamente proporcional.
3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro
gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na
tabela a seguir:
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para
a terça parte.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade;
triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e
assim por diante.
- 04-
De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e
“tempo”, são direta ou inversamente proporcionais?
Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza
inversamente proporcional, pois, a medida que uma grandeza
aumenta a outra diminui.
- 05-
PROPORÇÃO
Exercício 01
Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim
trabalhou durante 3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo
rendeu para os dois juntos R$ 500,00.
a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais?
b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um?
c) O tempo trabalhado e o valor recebido por cada um são
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?
A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente
difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução
através da "regra de três"
Denomina-se proporção a uma igualdade entre duas razões.
A proporção
também pode ser escrita na forma “um está
para dois, assim como dois está para quatro”. Essa forma de
escrever deu nomes próprios aos termos:
Exercício 02
Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores
de um bingo. Observe a tabela e responda:
Número de
Prêmio
acertadores
3
R$ 200.000,00
4
R$ 150.000,00
O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais?
Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Exercício 03
Diga se é diretamente ou inversamente proporcional:
a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas)
que cada pessoa poderá consumir.
b) A compra de um determinado produto e o valor a ser pago.
c) Número de erros em uma prova e a nota obtida.
d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem
uma casa.
e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá
sobreviver um náufrago.
- 06-
PROPORÇÃO
1 2

2 4
3 6

4 8
5 20

10 40
PRODUTO
DOS
EXTREMOS
PRODUTO
DOS
MEIOS
1.4=4
2.2=4
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
5 . 40 = 200
10 . 20 = 200
- 07-
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO
Para calcular o valor do termo desconhecido em uma
proporção usamos uma regra prática: a multiplicação em
"cruz".
Exemplos:
1)
3 x

4 8
4 . x  3 .8
4 x  24
24
x
4
x6
Exercício 04
Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido:
a)
1 3

2 x
b)
3 6

4 x
c)
5
x

10 6
d)
4
x

12 15
e)
9 x

2 6
2)
2 6

5 x
2 . x  5 .6
2 x  30
30
x
2
x  15
- 08-
- 09-
f)
15 6

20 x
g)
8 4

x 5
h)
x 9

8 12
i)
x 8

3 2
j)
4
x

5 75
Regra de Três
Consta na história da matemática que os gregos e os romanos
conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las
na resolução de problemas.
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três.
Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os
princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome
de Regra de Três Números Conhecidos.
Exemplo 1:
Comprei 5m de corda por R$ 40,00. Quanto pagarei por 10m?
Solução: montando a tabela:
Medida da corda (m) Valor a ser pago (R$)
5m
R$ 40,00
10m
x
Identificação do tipo de relação:
Regra de três simples
corda (m)
Valor (R$)
5
40
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um
valor a partir dos três já conhecidos.
10
x
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
As flechas nos indicam que as grandezas são diretamente
proporcionais, pois as duas estão na mesma direção.
Após verificarmos que as grandezas são diretamente
proporcionais temos que realizar as operações necessárias para
chegar ao resultado desejado.
5 10

40 x
5.x  40.10
5 x  400
400
x
5
x  80
Resposta: Pagarei R$ 80,00.
- 10-
- 11-
Exemplo 2:
Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto
ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3
R$ 120,00
5
x
Identificação do tipo de relação:
Exemplo 3:
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
100Km/h, faz um determinado percurso em 30 minutos.
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a
velocidade utilizada fosse de 200km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (min)
100km/h
30min
200km/h
x
Identificação do tipo de relação:
Camisetas
Preço (R$)
3
120
Velocidade (km/h)
Tempo (min)
5
x
100
30
200
x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o
preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
3 120

5
x
3.x  5.120
3 x  600
600
x
3
x  200
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
- 12-
Inicialmente colocamos uma seta para baixo (1ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no
sentido contrário (para cima) na 2ª coluna. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 15minutos.
- 13-
Exemplo 4:
Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia,
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de
horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo
essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8h
20dias
5h
x
Identificação do tipo de relação:
Horas por dia
Tempo término (dias)
8
20
5
x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas
por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Exercício 05
Uma roda dá 100 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará
em 40 minutos?
Exercício 06
Com 4 eletricistas podemos fazer a instalação elétrica de uma
casa em 6 dias. Quantos dias levarão 8 eletricistas para fazer o
mesmo trabalho?
Exercício 07
Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 h. Quantas
horas levara para engarrafar 4000 refrigerantes?
Exercício 08
Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos
dias 12 marceneiros fariam o mesmo armário?
Exercício 09
Uma torneira despeja em, um tanque, 50 litros de água em 20
min. Quantas horas levará para despejar 600 litros?
Exercício 10
Máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças
produzirá em 1 hora?
Logo, o prazo para término do trabalho seria de 32 dias.
- 14-
- 15-
Exercício 11
Exercício 16
Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras
fazem um determinado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo
ritmo de trabalho, em quantos dias 15 costureiras farão o
mesmo serviço?
COSTUREIRAS
DIAS
12
5
15
x
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto
tempo levariam 4 pintores, para fazer o mesmo serviço?
Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais:
PINTORES
2
4
TEMPO
18h
x
Exercício 12
Exercício 17
Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se
houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse
livro?
Exercício 13
Oito operários fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias
gastarão 12 operários para fazer a mesma casa?
Cinco operários constróem uma casa em 360 dias. Quantos
dias serão necessários para que 15 operários construam a
mesma casa?
OPERÁRIOS
DIAS
5
360
15
x
Exercício 14
Uma torneira despeja 2700 litros de água em 90 minutos.
Quantos litros despejará em 30 minutos?
Exercício 15
Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de
80 km / h, quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?
TEMPO
1h
2h
ESPAÇO
80 Km
x
- 16-
- 17-
GABARITO
Exercício 01:
a) Joaquim
b) Joaquim: R$ 300,00 e Manuel: R$ 200,00
c) Grandeza diretamente proporcional
Exercício 11: 4 dias
Exercício 12: 360 páginas
Exercício 13: 20 dias
Exercício 14: 900 litros
Exercício 02: Grandeza inversamente proporcional
Exercício 15: 160 km
Exercício 03:
a) Inversamente proporcional
b) Diretamente proporcional
c) Inversamente proporcional
d) Inversamente proporcional
e) Diretamente proporcional
Exercício 16: 9 horas
Exercício 17: 120 dias
Exercício 04:
a) x = 6
b) x = 8
c) x = 3
d) x = 5
e) x = 27
f) x = 8
g) x = 10
h) x = 6
i) x = 12
j) x = 60
Exercício 05: 200 voltas
Exercício 06: 3 dias
Exercício 07: 8 horas
Exercício 08: 6 dias
Exercício 09: 240min = 4 horas
Exercício 10: 240 peças
- 19- 18-
BIBLIOGRAFIA
Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos
seguintes livros:
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática,
2002. (5a a 8a séries)
DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e
Histórias. São Paulo: Scipione, 1998. ( 5a a 8a séries)
GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São
Paulo: FTD, 1998. (5a a 8a séries).
Este conjunto de apostilas (01 a 20) foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do CEEJA, com base nos
livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo
exercícios e teoria, ora criando com base nos conteúdos
observados.
PROFESSORES
EDNILTON FELICIANO
PAULO TELES DE ARAUJO
MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática Idéias e
Desafios. São Paulo: Saraiva, 1996. (5a a 8a séries)
2012
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