caderno do
ensino fundamental
a
6 - SÉRiE
volume 2 – 2009
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 1
matEmática
PROFESSOR
4/8/09 5:08:30 PM
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto,
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha,
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6ª- série, volume 2
/ Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-293-9
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.3:51
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país.
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos.
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem
propostas para cada disciplina.
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho.
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
MAT_CP_8a_vol2_AF.indd 3
4/17/09 10:18:05 AM
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – A geometria dos ângulos
11
Situação de Aprendizagem 2 – Refletindo e girando com simetria
Situação de Aprendizagem 3 – Polígonos e ladrilhamento do plano
23
32
Situação de Aprendizagem 4 – Classificação, montagem e desenho de poliedros
Orientações para Recuperação
40
47
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão
do tema 47
Considerações finais
49
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
56
4
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 4
4/8/09 2:06:22 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
5
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 5
4/8/09 2:06:22 PM
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as dez metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 6
4/8/09 2:06:22 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
FiCHA do CAdErno
Ângulos, polígonos e poliedros
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Fundamental
6ª2º- bimestre de 2009
Definição e medida de ângulos
Simetria axial (reflexão) e rotacional
Translações
Definição de polígonos
Ângulos internos, externos, soma dos ângulos
Definição, desenho, construção e
classificação de poliedros
Relação de Euler
7
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 7
4/8/09 2:06:23 PM
oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos
mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de
cada um dos bimestres. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências
pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos
estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada
assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada
para o tratamento do mesmo. A critério do
professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquanto
o de outra unidade pode ser tratado de modo
mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do
bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar
a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a
forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de
aula. As atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com
mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão
das limitações no espaço dos Cadernos, nem
todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas
seja explicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre.
8
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 8
4/8/09 2:06:23 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
Os conteúdos básicos do 2º- bimestre da
6ª- série são ângulos, polígonos e poliedros.
As Situações de Aprendizagem 1, 2, 3 e 4
apresentadas nesta proposta relacionam os
três conteúdos de forma que se configure um
arranjo único e coerente. Como muitas das
atividades propostas envolvem construções
geométricas, recomenda-se que o professor
oriente seus alunos para que disponibilizem
régua, compasso, esquadros e transferidor.
Na Situação de Aprendizagem 1 – A geometria dos ângulos, será introduzida a ideia da
medida de um ângulo. Ângulos que na 5ª- série
1
1
3
volta,
de volta,
de
são indicados por
2
4
4
volta passam a assumir a medida de um raso,
um reto e três retos, ou ainda 180o, 90o e 270o.
Faz parte do desenvolvimento dessa atividade
criar um ambiente que favoreça a construção
de referenciais para a estimativa visual da medida dos ângulos, bem como a manipulação
do transferidor para medir e construir ângulos.
Outra ideia que também será explorada é a do
uso dos ângulos como referência de localização. Definido um ângulo, o sentido de giro e
a distância a ser percorrida em certa direção,
podemos nos orientar e locomover com precisão, como fazem os aviões e as embarcações.
Em conexão com essa ideia, também será apresentada nesta Situação de Aprendizagem uma
proposta de construção de polígonos por meio
de comandos, como se estivéssemos programando um computador. A lógica utilizada em
tais construções possibilita o desenvolvimento de habilidades diretamente relacionadas à
lógica de programação de computadores.
Tanto na natureza como nos objetos criados
pelo homem, a presença das simetrias se faz de
forma marcante. Na Situação de Aprendizagem
2 – refletindo e girando com simetria, será apresentada uma proposta de trabalho que explora
as ideias de simetria axial (reflexão), rotacional
e as translações. As atividades apresentam possibilidades para o estudo de ângulos e simetrias
explorando objetos do dia-a-dia, malhas quadriculadas e malhas de pontos.
Uma vez estabelecida familiaridade com
as medidas e as construções dos ângulos, na
Situação de Aprendizagem 3 – Polígonos e
ladrilhamento do plano, apresentamos uma atividade para trabalhar relações entre os ângulos de um polígono. Inicialmente discutimos a
fórmula da soma dos ângulos de um polígono
e, na sequência, por meio de construções de
mosaicos com polígonos, exploramos algumas
relações geométricas entre ângulos. Nessa atividade, também será trabalhada a habilidade de
observação e generalização de regularidades e
padrões, bem como expressões numéricas em
caráter contextualizado.
A Situação de Aprendizagem 4 – Classificação, montagem e desenho de poliedros, mantém uma forte relação com as demais porque
a geometria dos poliedros será tratada como
uma ampliação das ideias trabalhadas com
os polígonos para o espaço tridimensional.
A ideia de que o ladrilhamento do plano com
polígonos regulares só é possível se, em torno
de um ponto, conseguirmos agrupar ângulos
que totalizem 360o será agora ampliada para
os ângulos poliédricos. Para formar um ângulo poliédrico, necessitamos de pelo menos três
9
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 9
4/8/09 2:06:23 PM
polígonos agrupados em seu vértice, e a soma
dos ângulos desses polígonos tem de ser menor
que 360o, caso contrário não seria possível formar
a curvatura necessária para um ângulo no espaço.
Além da investigação experimental sobre a montagem de poliedros, a Situação de Aprendizagem
também enfatiza a importância do tema para o
desenvolvimento da habilidade de classificação.
Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 6ª- série do Ensino Fundamental
unidade 1 – Definição da medida de um ângulo, estimativas e uso dos instrumentos geométricos em problemas com ângulos.
unidade 2 – Polígonos: definição e medida dos ângulos com transferidor; uso de ângulos para localização.
unidade 3 – Simetria de reflexão e de rotação.
unidade 4 – Ângulos internos e externos de um polígono; ângulos suplementares e
complementares.
unidade 5 – Somas dos ângulos de um polígono; generalização de regularidades.
unidade 6 – Ladrilhamento/mosaico do plano.
unidade 7 – Formas planas e espaciais; poliedros e não-poliedros.
unidade 8 – Construção e classificação dos poliedros.
10
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 10
4/8/09 2:06:23 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1
A GEOMETRIA DOS ÂNGULOS
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: estimativa, construção e medição de ângulos; desenho geométrico (paralelas, bissetriz, polígonos, ângulos); extensão do vocabulário geométrico.
Competências e habilidades: reconhecer e estimar medidas angulares em contextos e formas
de linguagem diversificadas; estabelecer comparações e classificações como processo para a
aquisição de vocabulário geométrico; utilizar a lógica de pensamento estruturado para resolver problemas de natureza geométrica; desenvolver a motricidade fina por meio de instrumentos geométricos de desenho, bem como o pensamento antecipatório nos processos de
resolução de problemas.
Estratégias: resolução de situações-problema com instrumentos geométricos e com o raciocínio dedutivo; proposição de jogos.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Formalmente chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas com mesma
origem. Existem muitas maneiras distintas
de representar um ângulo, e a introdução ao
seu estudo não deve se preocupar, no primeiro
momento, essencialmente com a formalização
matemática de seu conceito, mas sim com a
construção do seu significado. A ideia de ângulo associada a um giro pode ser o ponto de
partida do trabalho, nesse caso, falaríamos em
1 giro, 1 de giro, 3 de giro, etc.
2
4
4
A apresentação do transferidor como instrumento para medir e construir ângulos deve
ser feita de forma cuidadosa, especialmente
pelo fato de que o aluno costuma encontrar
dificuldades em fazer corretamente as medições nele marcadas. Parte das dificuldades
dos alunos está relacionada ao fato de que a
unidade grau é bem pequena, o que impede de
manipulá-la fisicamente. Uma sugestão para
início de trabalho seria a construção de um
transferidor, o que permitiria uma familiarização
gradativa do aluno com as novas informações.
Apresentamos a seguir os procedimentos para a
construção de um transferidor com unidade de
1
da circunferência.
medida igual a
16
Passo 1
Recorte um quadrado em uma folha de papel vegetal.
11
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 11
4/8/09 2:06:24 PM
Passo 2
Dobre o quadrado ao meio por lados
opostos e pelas diagonais de forma a fazer
vincos visíveis.
Passo 3
Considere os pontos de A até H, conforme
a figura abaixo. A seguir, dobre OA sobre OB,
depois OB sobre OC, depois OC sobre OD, e
assim sucessivamente até OH sobre AO, conforme indicado a seguir.
D
C
B
D
C
B
E
O
A
E
O
A
F
G
H
F
G
H
Passo 4
Marque com caneta ou lápis a linha dos ângulos, inscreva uma circunferência dentro do quadrado e recorte-a. O transferidor com unidade de
1
da circunferência está pronto.
medida igual a
16
A atividade de construção do transferidor
deve ser seguida do uso do instrumento. O aluno pode dar um nome para a unidade de medida do transferidor e escrever suas marcações
numéricas. O professor pode criar situações de
uso do aparelho onde o aluno sinta a necessidade de fazer subdivisões da unidade de medida (por exemplo, situações em que tenha de
1
de circunfemedir um ângulo menor que
16
rência). Conduzindo a atividade dessa maneira,
a apresentação do transferidor de 360º pode ser
1
de uma
feita de maneira natural, já que
360
circunferência é uma unidade de medida pequena o suficiente para a maioria dos nossos
problemas práticos de medição de ângulo.
É provável que o aluno se interesse em saber por que se convencionou como unidade de
1
de uma circunferência,
medida de ângulo
360
1
e não
ou 1 , o que seria mais prático
100
1 000
no nosso sistema de numeração, que é decimal.
A origem da divisão da circunferência em 360
partes iguais remonta aos mesopotâmicos,
que utilizavam um sistema sexagesimal de numeração (base 60), que o aluno já estudou no
Caderno da 6ª- série no 1º- bimestre. O uso da
notação atual para graus/minutos/segundos
com os símbolos º, ’ e ’’, respectivamente, remonta ao período da matemática grega.
O trabalho de medir ângulos em graus com o
auxílio do transferidor de 360º (ou de 180º), que
deve merecer especial atenção, deve ser realizado
após um trabalho que favoreça o desenvolvimento do senso de medida de um ângulo na unidade grau. Uma atividade que pode ser feita nessa
direção é o jogo chamado Anguloteria, que exige
a seguinte preparação do professor:
12
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 12
4/8/09 2:06:24 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
f os alunos devem ter sido apresentados
às medidas dos ângulos em graus e, em
particular, devem saber identificar com facilidade ângulos agudo, reto, obtuso e raso;
em seguida, os grupos trocam as figuras até
que todos tenham feito estimativas de todos
os ângulos disponibilizados pelo professor.
A contagem de pontos do jogo pode ser
feita da seguinte maneira: o professor diz qual
é a medida do ângulo da Figura 1 e ganhará
8 pontos o grupo que mais se aproximar
dela, 7 pontos o segundo colocado, 6 pontos
o terceiro, e assim sucessivamente até 1 ponto para o último colocado. Feita a contagem
para todos os ângulos, somam-se os pontos e
vencerá o grupo com o maior total.
Observe a seguir, os exemplos de ângulos
que podem ser propostos:
f o professor deve dispor de uma série de
figuras numeradas, recortadas em papel,
com ângulos indicados (para uma classe de 40 alunos, dividida em 8 grupos de
5 alunos, 24 figuras são suficientes).
Cada grupo recebe certo número de figuras
e deve estimar visualmente a medida do ângulo. Como as figuras estão numeradas, o grupo
deve anotar em uma tabela sua estimativa e,
1
4
2
5
6
8
3
7
10
9
15
12
14
13
11
16
18
17
20
19
22
21
23
27
24
26
25
13
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 13
4/8/09 2:06:24 PM
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 14
Conexão Editorial
Conexão Editorial
30
33
34
37
38
39
© Fernando Favoretto
Conexão Editorial
© 2009. The M. C. Escher Company-Holland.
Direitos reservados. www.mcescher.com.
29
Conexão Editorial
Conexão Editorial
28
32
31
30
35
40
36
14
4/8/09 2:06:38 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Além do trabalho com estimativas, os ângulos numerados de 1 a 27 permitem que o professor explore situações próprias da geometria,
incluindo o desenvolvimento de vocabulário, e
os ângulos numerados de 28 a 40 contextualizam
o estudo em situações concretas e reais. Alguns
comentários que podem ser feitos ao longo do
jogo realizado com os 40 ângulos listados são:
Ângulo(s)
Comentário(s)
1, 2, 3
Alunos que se iniciam no estudo de ângulos tendem a achar que a medida
de um ângulo está relacionada ao comprimento do arco por ele determinado, o que pode fazer com que se interprete equivocadamente que esses
três ângulos tenham medidas diferentes. Com os ângulos 1, 2 e 3, que são
congruentes, o professor pode reforçar a ideia de que ângulo está associado ao giro e que, portanto, como os três ângulos determinam os mesmos
giros, eles têm mesma medida.
4, 5, 6, 7, 10
Esses ângulos podem ser usados para desenvolver a estimativa por visualização, mas podem também ser usados para que o professor comece a
falar em nomes como ângulos agudo, obtuso, reto.
8, 9, 11, 12
São ângulos que podem ser utilizados também para introduzir termos
como correspondentes (8 e 9), e opostos pelo vértice (11 e 12). Em ambos
os casos, pode-se discutir ainda que são ângulos congruentes.
13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22
Com esses exemplos, o aluno pode ser conduzido a olhar os polígonos
(curvas poligonais) em associação com a ideia de ângulo. Os ângulos
15 e 16 permitem que se nomeiem ângulos suplementares e ângulo raso.
O ângulo 17 permite que se comente sobre ângulos formados pelas diagonais de um polígono. Os ângulos 20, 21 e 22 permitem que se discutam ângulos internos e externos de um triângulo, bem como o fato de que a soma
das medidas dos ângulos 20 e 21 será igual à medida do ângulo 22.
28 até 40
São ângulos que permitem contextualizar o estudo por meio de exemplos
práticos e reais. Com o exemplo 29, o professor pode começar a falar em
simetria rotacional de uma figura; com o 30, pode-se comentar sobre os
estacionamentos a 45°; com os 31, 32 e 33, pode-se discutir a identificação
de ângulos por meio da representação bidimensional de um objeto tridimensional; e com os ângulos de 34 a 40, pode-se discutir situações práticas
em que a medida de um ângulo é decisiva para se resolver um problema
real, seja ele do projeto de um carro, da inclinação de uma rampa ou da
ergonomia correta para se trabalhar no computador.
15
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 15
4/8/09 2:06:38 PM
Um outro desdobramento do jogo Anguloteria pode ser a discussão com os alunos sobre
formas de se fazer a atribuição de pontos às
equipes. A Atividade 1, que será apresentada
a seguir, propõe uma maneira de explorar essa
discussão com os alunos.
Atividade 1
Leia as regras do jogo Anguloteria e
responda:
a) Admita que os grupos 1, 2, 3, ..., 8 estimaram ângulos de medidas 40o, 45o, 48o,
o
o
o
o
o
39 , 60 , 28 , 46 e 51 , respectivamente.
o
Se a medida correta do ângulo é 46 ,
como devem ser distribuídos os pontos
entre os grupos?
Avaliando as diferenças (em valores positivos) entre as estimativas e a medida correta,
a classificação será:
Supondo-se os erros dos grupos iguais a 2o,
4o, 4o, 6o, 8o, 8o, 8o e 10o, os pontos poderiam
ser, respectivamente, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5 e 4, ou
8, 7, 7, 5, 4, 4, 4 e 1, dependendo do critério
convencionado.
A seguir, apresentaremos a Atividade 2,
em que o principal objetivo será favorecer a
aquisição de novo vocabulário geométrico associado à ideia de um ângulo e a atividade 3,
cuja proposta é o aluno levantar hipóteses e
trabalhar com raciocínio dedutivo.
Atividade 2
Desenhe em uma folha sem pauta as
seguintes figuras:
f triângulo com três ângulos agudos;
f quadrilátero com dois ângulos agudos e
dois ângulos obtusos;
f quadrilátero com três ângulos agudos e
um ângulo obtuso;
Grupo 1
Erro = 6o
4 pontos
Grupo 2
Erro = 1o
7 pontos
Grupo 3
Erro = 2o
6 pontos
Grupo 4
Erro = 7o
3 pontos
Atividade 3
Grupo 5
Erro = 14o
2 pontos
Grupo 6
Erro = 18o
1 ponto
Qual é o maior número de ângulos agudos
que um triângulo pode ter? E um quadrilátero?
Grupo 7
Erro = 0o
8 pontos
Grupo 8
Erro = 5o
5 pontos
b) Proponha uma regra de distribuição
dos pontos para o caso de dois ou mais
grupos escolherem a mesma medida de
ângulo e para o caso de empate.
f um polígono de cinco lados (pentágono) com um ângulo reflexo (maior do
que 180o), dois ângulos agudos e dois
ângulos obtusos.
Três ângulos, nos dois casos.
Ao apresentar o transferidor como instrumento de medida de ângulo, é importante
destacar que, assim como no caso da régua
para medir segmentos, o transferidor também
pode ser colocado de várias maneiras diferentes para medir um ângulo sem que sua medida
se altere.
16
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 16
4/8/09 2:06:38 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Q
70
60
120
90
80
100
80
100
S
110
12
70
0
60
13
50
0
13
40
50
110
R
0
14
0
40
0
14
A medida do ângulo BÂC não deixa de
ser 20o apesar das marcas do transferidor indicarem 30o e 50o. No caso indicado, a leitura
deve ser feita de forma indireta, por meio da
conta 50o – 30o = 20o.
0
30
150
15
13
0
50
14
0
40
B
0
40
1
14
30
0
30
150
15
10
170
A
180
0
5
0
180
4
170
3
10
2
160
20
20
160
30
1
Outra alternativa para medir o ângulo
BÂC é ajustar a “perna” do transferidor com
a referência do zero para a semirreta Ab.
A Atividade 4 irá explorar a leitura do
transferidor, e a Atividade 5, seu uso para construção de ângulos. Lembramos mais uma vez
que as propostas apresentadas como atividades
consistem em sugestões, sendo que seu uso
certamente estará vinculado às adaptações
necessárias feitas pelo professor.
Atividade 4
Determine a medida dos ângulos WV̂X,
QP̂R, RP̂S e QP̂S.
70
60
110
120
100
80
100
W
110
13
50
0
14
0
40
30
150
10
170
0
180
0
10
5
170
180
20
4
160
20
160
30
V
o
o
o
10
170
0
180
Com relação ao uso de instrumentos geométricos, o estudo de ângulos oferece, além
do transferidor, uma rica oportunidade para
o trabalho com esquadros e compasso. As
construções dos ângulos de medida 30o, 45o,
60o e 90o podem e devem ser feitas também
com o compasso, a régua e os esquadros. Outras construções, como 15o, 22o, 30o, 75o, 105o,
120o, 135o, etc., podem ser feitas com o uso simultâneo de dois esquadros, e algumas delas
também com o uso de compasso e régua por
meio da construção da bissetriz. Nos casos em
que a construção pode ser feita com diferentes
instrumentos geométricos, é importante que o
aluno perceba que o uso do compasso é preferível ao dos demais instrumentos, pois, na maior
parte dos casos, o compasso, usado corretamente, permite melhor precisão no desenho.
Na Atividade 5, iremos explorar o uso de
diferentes instrumentos para a resolução do
mesmo problema.
Construa os ângulos solicitados com os
instrumentos geométricos indicados:
0
3
P
60 , 25 , 20 e 45 , respectivamente.
o
Atividade 5
15
2
5
0
60
0
13
0
14
1
4
12
70
40
50
90
80
3
0
0
60
2
180
12
70
1
10
80
100
110
170
110
120
C
100
20
60
50
90
80
160
20
160
30
70
X
a) ângulo SÔL medindo 135o (com os
esquadros).
17
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 17
4/8/09 2:06:40 PM
S
O
M
R
Q
P
D
C
L
b) ângulo MÂR medindo 15o (com compasso e régua).
Orientação para construção do ângulo
MÂR:
A
B
c) ângulo LÛA medindo 285o (com o
transferidor).
L
1) Marque os pontos A e B e trace a
reta AB.
2) Com a ponta seca do compasso em A,
faça um arco de raio com medida AB.
3) Com abertura de medida AB no compasso, colocar a ponta seca em B e marcar o
cruzamento com o arco traçado (ponto D).
Com essa construção, fizemos um ângulo
de 60o (∠BÂD) porque o triângulo ABD
é equilátero.
4) Com a ponta seca do compasso em B, e
depois em D, marcamos o cruzamento dos
arcos (ponto P). A semirreta AP é bissetriz
do ângulo BÂD e, portanto, construímos com
ela dois ângulos de 30o (∠CÂD e ∠CÂB).
5) Com a ponta seca do compasso em
C, e depois em D, traçamos o cruzamento dos arcos (ponto Q). A semirreta AQ
é bissetriz do ângulo DÂC e, portanto,
construímos com ela dois ângulos de 15o
(∠QÂC e ∠DÂQ).
U
A
O uso dos instrumentos geométricos no estudo de ângulos, bem como a contextualização do estudo em uma uma situação prática,
podem ser explorados por meio de atividades
com ângulos para a localização de rotas de
navios e aviões. Para esse tipo de atividade, é
importante que o professor apresente com clareza como são definidos os ângulos nessas rotas.
Por exemplo, imaginemos a rota de uma embarcação no mar definida da seguinte forma:
f a rota do barco segue a direção de um
ângulo em sentido horário definido com
base no norte da rosa-dos-ventos.
Nesse caso, se um barco está navegando na
rota 60, significa que ele está seguindo a direção de 60o no sentido horário em relação ao
norte, como se vê na figura a seguir:
18
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 18
4/8/09 2:06:42 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Atividade 6
Usando a escala de 1 cm para 10 km, construa em uma folha de papel sem pauta a seguinte rota de um barco:
Rota 60
f inicia na rota 40 e navega 50 km;
f gira 10o, pegando a rota 50, e navega
40 km;
f pega a rota 130 e navega 30 km.
N
O
L
N
N
50°
S
O
N
L
S
3 cm
S
40°
O
L
O
4 cm
130°
5 cm
L
S
Desenho ilustrativo, fora de escala.
Observação: para maior precisão, o transporte
da rosa-dos-ventos de um ponto para outro
pode ser feito com o auxílio dos esquadros.
página seguinte), estamos interessados na
prática em construir uma paralela à reta NS
passando pelo ponto P, o que pode ser feito
com um esquadro e uma régua, ou com dois
esquadros, conforme descrevemos a seguir:
Por exemplo, se desejamos transportar a
rosa-dos-ventos de Q para P (ver figura da
f apoie um lado do esquadro (ou a régua)
em OL;
Na construção, 50 km será representado por
5 cm, 40 km por 4 cm e 30 km por 3 cm.
19
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 19
4/8/09 2:06:46 PM
f posicione o ângulo reto de um esquadro
em correspondência com o ângulo NQ̂L,
e um dos lados desse esquadro apoiado no
outro esquadro (ou régua);
uma competência muito explorada no estudo
f arraste o esquadro ao longo de OL até o ponto P, e trace em seguida a nova linha NS;
uso de computadores, como veremos a seguir.
f finalize a construção utilizando os esquadros para fazer a perpendicular OL,
passando por P.
um triângulo equilátero de lado 5 cm é:
da programação de computadores.
Situações como essas podem ser apresentadas
de forma muito simples aos alunos, sem exigir o
Uma sequência de comandos que constrói
1. avance 5 cm;
2. gire 120º para a esquerda;
3. avance 5 cm;
N
O
Q
O
4. gire 120º para a esquerda;
N
P
5. avance 5 cm.
L
S
120°
L
S
Alguns programas de computador que
fazem construções geométricas de ângulos
e polígonos exigem dois tipos de comando
do programador:
1. avance “tantos centímetros”;
Ponto de
partida
120°
Note que o ângulo de giro é o suplemento
do ângulo interno do triângulo, e que alguns comandos se repetem no programa. Podemos reduzir o número de instruções fazendo o seguinte
programa, de resultado equivalente ao já feito:
2. gire “tantos graus” para a direita (ou
para a esquerda).
Esses programas permitem também que
uma sequência de comandos se repita um
determinado número de vezes. Para que o
usuário do programa possa construir a figura
desejada, é necessário que saiba planejar uma
sequência correta de instruções, o que é
1. avance 5 cm;
2. gire 120o para a esquerda;
3. repita os comandos 1 e 2 duas vezes.
Como outra alternativa, podemos também
fornecer uma figura e pedir que seja determinado um programa de computador para a sua
construção. Por exemplo:
20
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 20
4/8/09 2:06:49 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
4
1,
cm
1. avance 2 cm;
2. gire 144o para a direita;
45°
3. avance 2 cm;
1 cm
4. gire 72o para a esquerda;
2 cm
5. repita, quatro vezes, os comandos de 1 a 4.
1 cm
2 cm
Uma possível resposta: (outras respostas
possíveis seriam rotações da figura).
Os comandos para sua construção
podem ser:
1. avance 2 cm;
2. gire 90º para a esquerda;
3. avance 2 cm;
4. gire 135º para a esquerda;
5. avance 1,4 cm;
6. gire 45º para a direita;
7. avance 1 cm;
8. gire 90º para a esquerda;
9. avance 1 cm.
Atenção professor, para que os ângulos da
figura estejam definidos conforme indicado,
observe que a medida correta do segmento de
1,4 cm deveria ser 2 . Para a 6ª- série, podemos
usar aproximações em situações como as apresentadas, o que não compromete significativamente a construção da figura no computador.
Atividade 8
Meça com régua e transferidor os lados e
ângulos da figura a seguir e faça um programa
de computador para construí-la.
Veremos a seguir duas atividades (7 e 8)
que exploram a ideia apresentada.
Atividade 7
Construa em uma folha de papel sem pauta
e usando régua e transferidor a figura determinada pelo seguinte programa de computador:
21
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 21
4/8/09 2:06:49 PM
Uma resposta possível:
1. avance 4 cm;
2. gire 120o à esquerda;
3. avance 2 cm;
4. gire 60o à direita;
5. avance 2 cm;
6. gire 120o à esquerda;
7. avance 4 cm;
8. gire 120 à esquerda;
o
9. avance 2 cm;
10. gire 60o à direita;
11. avance 2 cm.
Considerações sobre a avaliação
Ao término da Situação de Aprendizagem 1, espera-se que o aluno consiga estimar
visualmente a medida de um ângulo, utilizar
o transferidor para construir e medir ângulos,
utilizar os demais instrumentos geométricos
em situações-problema relacionadas com
ângulos e, se possível, que tenha ampliado
de forma significativa seu vocabulário geométrico com palavras como ângulo agudo,
obtuso, reto, raso, ângulos complementares,
suplementares, etc.
A proposta do jogo Anguloteria pode ser
avaliada pelo professor por meio de anotações e
registros sobre os resultados encaminhados pelos grupos. Como o aluno estará estimando a
medida de ângulos na unidade grau pela primeira vez, o professor deve focar, em sua avaliação,
mais na evolução da compreensão dos alunos
do que propriamente na precisão dos primeiros
resultados das estimativas dadas por eles.
Quanto ao trabalho com uso de instrumentos geométricos para construir e medir
ângulos, é importante que o professor esteja atento especialmente ao uso correto do
transferidor, já que os alunos costumam
cometer erros no ajuste do centro do transferidor com o vértice do ângulo, e na leitura correta das indicações marcadas nesse
instrumento. Sugerimos como avaliação de
aprendizagem dessa etapa que o professor
proponha atividades de construção e medida de ângulos, e que monitore os alunos
que estejam ainda com dificuldade no uso do
transferidor. Uma ideia para valorizar o trabalho cooperativo é mobilizar os alunos que
já tenham compreendido adequadamente o
funcionamento do transferidor a monitorar
e ajudar os que ainda não atingiram essa etapa de aprendizagem.
Outra atividade que pode servir como
avaliação é o trabalho de construção do
transferidor e seu uso para medir ângulos.
Alunos da 6ª- série ainda necessitam de uma
forte manipulação do concreto como recurso à aprendizagem, e o trabalho prático de
construção do aparelho pode ser significativo
nessa direção.
22
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 22
4/8/09 2:06:49 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2
REFLETINDO E GIRANDO COM SIMETRIA
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: simetria axial; simetria rotacional; transformações no plano (reflexão,
translação, rotação); ângulo central e inscrição de polígonos.
Competências e habilidades: identificar simetrias por meio da leitura, comparar e interpretar
imagens; reconhecer padrões geométricos em diferentes imagens como forma de desenvolver
uma melhor apreciação estética das linguagens do desenho, pintura, arquitetura, etc.
Estratégias: resolução de situações-problema com o uso de imagens que apresentem padrões
de simetrias; uso de malhas quadriculadas e de pontos.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
papel importante porque a ela associamos o
“espelhamento” perfeito e sem distorção.
Seja na natureza ou nos objetos e construções criados pelo homem, nosso mundo é repleto de simetria. A palavra simetria é usada na
linguagem coloquial em dois sentidos. Um deles
indica algo em boas proporções, equilibrado e
harmonioso, muitas vezes associado à ideia de
beleza. O segundo é aquele que aproxima simetria da ideia de balança, ou seja, da ideia de que
devemos ter elementos idênticos dos dois lados
de um referencial como, por exemplo, à esquerda e à direita em relação a uma linha reta.
Nesse sentido, a ideia de reflexão desempenha
A ideia de simetria deve ser explorada na
6ª- série por meio de duas interpretações possíveis: simetria axial (ou simetria bilateral, ou
ainda simetria de reflexão) e simetria de rotação (ou simetria rotacional).
Em termos geométricos, a simetria axial é uma
transformação em que a todo ponto P do plano
se faz corresponder um ponto P’ desse mesmo
plano, tal que a reta que une ambos os pontos
seja perpendicular a uma reta fixa r, e que as distâncias de P a r, e de P’ a r sejam iguais:
reta r (também chamada de
eixo de simetria)
P
P’
23
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 23
4/8/09 2:06:50 PM
© Ablestock
© Martin Harvey / Alamy-Otherimages
As imagens a seguir mostram contextos diversificados em que identificamos simetria axial.
Borboleta
Reflexo de pássaro na água
Uma figura possui simetria de rotação se
para cada ponto P se faz corresponder um outro ponto P’, de modo que as distâncias de cada
um desses pontos a um ponto fixo 0, chamado
de centro de rotação, sejam sempre iguais. Veja
um exemplo de simetria de rotação.
© Sarah and Iain / Wikipédia
P
72°
0
P'
Igreja de São Francisco de Assis,
Ouro Preto, MG.
A estrela indicada na figura possui simetria rotacional de 72º. O ângulo de simetria
rotacional de uma figura é o menor ângulo
que faz com que haja “sobreposição” perfeita da figura com tal giro.
24
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 24
4/8/09 2:06:55 PM
© Arte Kowalsky / Alamy-Otherimages
© Niger Cattlin / Alamy-Otherimages
Matemática - 6a série - Volume 2
Veremos a seguir alguns exemplos de atividades que podem ser usadas para o trabalho
com simetria axial e simetria rotacional.
Atividade 1
A placa indica uma figura com simetria axial,
porém, o carro que ela representa não possui simetria axial. Justifique essa afirmação.
Eixo de simetria
A direção (volante) impede que o carro tenha simetria axial; o limpador de parabrisa
também pode impedir, dependendo da articulação efetuada por suas palhetas.
Atividade 2
a)
© Samuel Silva
© 2009. The M. C. Escher Company-Holland.
Direitos reservados www.mcescher.com.
Qual(is) das figuras a seguir possui(em) simetria axial? Para aquela(s) que possui(em), indique
onde estaria o eixo de simetria; para as demais,
indique porque elas não possuem simetria axial.
M. C. Escher "Simmetwy Drawing E69"
25
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 25
4/8/09 2:07:04 PM
canto inferior direito não é igual ao canto inferior esquerdo; o tênis da figura (d) possui uma
curvatura (referente ao pé direito), o que o impede de ter uma simetria axial perfeita. Nessa
atividade, o professor deve comentar que, dependendo do grau de detalhamento colocado
em nossa observação, muitas vezes uma figura
pode deixar de ter simetria de reflexão.
© Purestock
b)
Atividade 3
c)
© Bobo / Alamy-Otherimages
Desprezando-se os detalhes pequenos, determine o ângulo de simetria rotacional (com
centro marcado em vermelho) de cada figura.
a)
d)
© Vivek Chugh / SXC.hu
b)
c)
Apenas (b) possui simetria axial, com eixo
passando bem na metade do banco. O cesto
da figura (a) não possui porque os entrelaçamentos não são absolutamente regulares; a
televisão da figura (c) não possui porque o
26
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 26
4/8/09 2:07:11 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
d)
completar figuras para que tenham simetria
ou, ainda, exercitar movimentos de reflexão,
translação e rotação de figuras no plano. A seguir, são apresentadas algumas atividades que
cumprem esses objetivos.
Professor, ao final do Caderno são disponibilizadas diferentes malhas para serem utilizadas tanto nas atividades propostas neste
Caderno quanto em outras atividades que
você pode criar a partir das necessidades
que identifique em seu grupo de alunos.
e)
f)
Atividade 4
Copie as figuras abaixo em uma malha
quadriculada e, em seguida, complete o desenho assumindo que a linha azul é a linha de
simetria da figura pintada.
a)
b)
g)
c)
(A) 180o, (B) 90o, (C) 180o, (D) 180o,
(E) 360o, (F) 180o, (G) 90o.
Um recurso útil para o trabalho com simetrias são as malhas quadriculadas ou malhas
de pontos. Com esse material, o professor
pode propor inúmeras atividades em que o
aluno tenha de desenhar figuras com simetria,
d)
27
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 27
4/8/09 2:07:13 PM
Resposta:
a)
a)
b)
c)
d)
b)
Atividade 5
A Figura 1 não possui simetria rotacional
de 180o (com centro no ponto marcado em
azul), mas a Figura 2 possui. Observe-as:
Figura1
Figura2
c)
d)
e)
Copie as figuras a seguir em uma malha de
pontos e, em seguida, complete-as para que
tenham simetria rotacional de 180o (com centro de rotação marcado no ponto azul).
28
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 28
4/8/09 2:07:17 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Respostas:
A
A’
b)
a)
B
B’
c)
d)
C
C’
Apresentamos na sequência, alguns exemplos em que se aplica a definição geométrica
de translação e uma atividade para se praticar
tal definição.
e)
Além da reflexão e da rotação, que caracterizam as duas simetrias apresentadas até o
momento, outra importante transformação
no plano é a translação. Ocorre uma translação se a todo ponto P de uma figura corresponder outro ponto P’ tal que o segmento PP’
tenha o mesmo comprimento, direção e sentido. Nas translações, todos os pontos de uma
figura “movem-se” de uma mesma distância,
direção e sentido.
29
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 29
4/8/09 2:07:19 PM
Conexão Editorial
c)
Resposta:
b)
a)
Equinócio de
Primavera
22/set.
22/dez.
20/jun.
Solstício
de Verão
Trópico de
Câncer
Solstício de
inverno
c)
Trópico de
Capricórnio
20/mar.
Equinócio
de outono
Atividade 6
Translade de 3 unidades as figuras na direção e sentido indicados pela(s) seta(s) na malha de pontos.
a)
b)
Note que, nas translações feitas no item c, a
ordem não importa para a obtenção do resultado final.
O estudo das simetrias pode também ser
utilizado como porta de entrada para uma
apresentação mais detalhada do plano coordenado. Várias atividades podem ser elaboradas para que o aluno comece a se familiarizar
com o sistema de representação de pontos
por meio de coordenadas. Em outro momento da Proposta Curricular de Matemática
do Ensino Fundamental, iremos explorar em
detalhes as transformações no plano coordenado, porém, nada impede que o professor
comece o trabalho com base na investigação
de simetrias.
30
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 30
4/8/09 2:07:23 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Atividade 7
Determine as novas coordenadas dos pontos A, b, C, d e E para que a figura indicada
translade de forma simétrica para os demais
quadrantes do plano.
A(–1,4)
B(–4,3)
E(–2,2)
C(–3,1)
D(–2,1)
Resposta:
A(–1,4)
A(1,4)
B(–4,3)
B(4,3)
E(–2,2)
E(2,2)
C(–3,1)
D(–2,1)
D (2,1)
C(–3,–1)
D(–2,–1)
C(3,1)
D (2,–1) C (3,–1)
E(2,–2)
E(–2,–2)
B(– 4,–3)
B(4,–3)
A(–1,–4)
A(1,–4)
31
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 31
4/8/09 2:07:23 PM
A discussão dessa atividade pode desencadear a observação de regularidades do
plano coordenado, como os sinais das coordenadas em cada um dos quadrantes.
Considerações sobre a avaliação
Com as atividades apresentadas na Situação de Aprendizagem 2, o aluno deverá familiarizar-se com simetria axial e rotacional,
bem como com as principais transformações
do plano (reflexão, rotação e translação).
Vale lembrar que as transformações do plano
serão exploradas em mais detalhes em outro
Caderno e que, portanto, nosso objetivo aqui
é trabalhar apenas o primeiro contato do aluno com a percepção visual de simetrias e movimentos no plano.
Sugerimos ao professor que, sempre que
possível, apresente uma boa diversidade de situações em que o aluno possa identificar simetrias, favorecendo a ampliação de repertório
para a análise, interpretação e apreciação de
figuras e imagens.
Com relação à avaliação, sugerimos que
o professor elabore atividades com o uso de
malhas quadriculadas e de pontos, que podem
ser feitas em grupo ou individualmente.
Outro instrumento de avaliação pode ser
o recorte de figuras em revistas e jornais que
tenham algum tipo de simetria. O professor
pode pedir ao aluno que identifique nessas figuras o eixo de simetria (quando for simetria
de reflexão) ou o centro e ângulo de rotação
(quando for simetria rotacional).
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3
POLíGONOS E LADRILHAMENTO DO PLANO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: classificação de polígonos; soma dos ângulos internos e externos de um
polígono; múltiplos e divisores na investigação de ladrilhamento do plano; expressões com
letras na investigação de ladrilhamento do plano.
Competências e habilidades: estabelecer relações entre ângulos por meio do raciocínio dedutivo; levantar e verificar hipóteses, seja por raciocínio indutivo ou dedutivo; estabelecer
generalizações.
Estratégias: resolução de situações-problema com o uso de tabelas; uso de material concreto
(polígonos recortados em cartolina).
32
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 32
4/8/09 2:07:23 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Informalmente, dizemos que um polígono
é uma figura geométrica plana com vários
ângulos. Uma região poligonal triangular
é a reunião de um triângulo e seu interior.
Em geral, uma região poligonal é uma figura
formada pela justaposição de um número finito de regiões triangulares. É comum o uso
da palavra polígono quando nos referimos à
região poligonal, não representando maior
problema desde que isso seja convencionado.
Na 6ª- série, os alunos são apresentados a essas definições mas, muito além do formalismo
e rigor de linguagem, o que deve interessar
nesse momento é que o aluno saiba distinguir
regiões poligonais de regiões que não sejam
poligonais.
Também faz parte do programa da série o
aluno perceber que a soma das medidas dos
três ângulos internos de qualquer triângulo
dá sempre 180°, ou seja, dois ângulos retos.
Um caminho bastante adequado para tratar
o assunto na 6ª- série é o experimental, como
apresentado na maioria dos livros didáticos.
Partindo da soma dos ângulos internos de
um triângulo igual a dois retos, a verificação da
fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono pode ser feita recorrendo-se à observação de regularidade e padrão. A Atividade
1 propõe a observação de diferentes polígonos
e apresenta um encaminhamento para o problema de forma que o aluno possa deduzir a
fórmula (n – 2) . 180o para a soma dos ângulos
internos de um polígono de n lados.
Atividade 1
Escolha um vértice dos polígonos a seguir
e, ligando-o com outros vértices do polígono,
trace todos os triângulos possíveis. Depois de
traçar os triângulos, marque nas figuras, com
cores diferentes, cada “tripla de ângulos” cuja
soma seja 180º, e preencha a tabela indicada.
Figura A
Figura B
Figura C
Figura D
Figura E
33
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 33
4/8/09 2:07:25 PM
Figura nome do polígono número de lados
número de triângulos a
Soma dos ângulos internos
partir de um vértice
A
Quadrilátero
4
2
2 . 180o = 360o
B
Pentágono
5
3
3 . 180o = 540o
C
Hexágono
6
4
4 . 180o = 720o
D
Heptágono
7
5
5 . 180o = 900o
E
Octógono
8
6
6 . 180o = 1 080o
Após o preenchimento da tabela, pode-se formalizar que a soma dos ângulos internos de um
polígono de n lados será igual a (n – 2) . 180o.
Figura A
Figura B
Figura C
Figura D
Figura E
Um interessante aspecto que pode ser explorado pelo professor, após apresentar o
método citado para demonstrar a fórmula
(n – 2) . 180º, é o fato de os triângulos terem
sempre de partir do mesmo vértice do polígono.
Para que o aluno reflita sobre o assunto, o
professor pode apresentar a seguinte figura:
Note que se trata de um polígono de 7 lados
(heptágono) que foi decomposto em 11 triângulos. Os triângulos não seguiram a regra de
que todos devem ter o mesmo vértice comum,
vértice esse que também é do polígono que
está sendo decomposto. Nesse caso, fica evidente que a conta 11 . 180º não dará a medida
da soma dos ângulos internos do heptágono, e
a figura é bastante sugestiva para que o aluno
possa investigar qual foi o erro.
As cores usadas para colorir os ângulos internos dos triângulos e do heptágono sugerem de
34
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 34
4/8/09 2:07:29 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
forma significativa que não podemos multiplicar
180º por 11 (número de triângulos que compõem
a figura), porque estaríamos somando três ângulos de 360º a mais, que não fazem parte dos
ângulos internos do polígono (ângulos indicados
em rosa). Portanto, o fato de não se ter decomposto o polígono com triângulos gerados a partir
de um único vértice implicou em um aumento de
3 . 360º = 1 080º sobre o cálculo 11 . 180º = 1 980º.
De fato, fazendo a conta 1 980º – 1 080º = 900º,
encontramos o mesmo resultado que seria obtido pela fórmula (n – 2) . 180º com n = 7.
O trabalho com a construção de vocabulário
geométrico assume papel importante neste Caderno, e deve ser conduzido pelo professor de
forma gradual e amparado na necessidade que
temos de nomear certas ocorrências frequentes.
Em alguns momentos, ao longo das atividades propostas a seguir com mosaicos e ladrilhos, será útil o uso de palavras específicas
para denotar um conjunto de ângulos cuja
soma de suas medidas seja 180º, e um conjunto de ângulos cuja soma de suas medidas
seja 360º. No caso dessas duas situações, os
nomes convencionados são suplementares e
replementares. Pode-se também aproveitar a
Polígono regular
oportunidade para definir ângulos complementares como sendo aqueles cuja soma de
suas medidas resulta um ângulo reto.
Evidentemente, a expectativa com a introdução do novo vocabulário não é que o aluno
incorpore todas as palavras de uma única vez,
mas sim que vá tomando contato com elas
para que, a partir do seu uso em situações diversificadas, possa memorizar gradativamente
as novas palavras.
A atividade a seguir tem por objetivo preparar o aluno para o estudo posterior dos mosaicos, bem como para apresentar-lhe novo
vocabulário geométrico.
Atividade 2
Polígonos regulares são aqueles que possuem
lados de mesma medida e ângulos de mesma medida. A medida do ângulo externo de um polígono é o suplemento da medida do ângulo interno
correspondente. Como um pentágono tem 540o de
soma dos ângulos internos, um pentágono regular
terá ângulos internos de medida 540o ÷ 5 = 108o,
e ângulos externos de medida 180o − 108o = 72o.
Usando os dados obtidos na atividade anterior,
complete a tabela a seguir:
Medida de cada ângulo interno
Medida de cada ângulo externo
Triângulo equilátero
180o ÷ 3 = 60o
180o − 60o = 120o
Quadrado
360o ÷ 4 = 90o
180o − 90o = 90o
Pentágono regular
540º ÷ 5 = 108º
180º − 108º = 72º
Hexágono regular
720o ÷ 6 = 120o
180o − 120o = 60o
Heptágono regular
900o ÷ 7 ≈ 128,6o
≈180o − 128,6o ≈ 51,4o
Octógono regular
1 080o ÷ 8 = 135o
180o − 135o = 45o
35
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 35
4/8/09 2:07:29 PM
Outra opção é apresentar primeiro a soma
dos ângulos externos de um polígono medindo
360o e, em seguida, calcular a medida de cada
ângulo interno fazendo 180o menos o externo.
Note que os ângulos externos do polígono
totalizam um “giro” completo, ou seja, 360º.
Depois de apresentada a definição do que
entende-se por “ladrilhar o plano”, o professor pode disponibilizar para os alunos um
conjunto de vários polígonos regulares para
que eles tentem, por conta própria, executar a
tarefa. Para iniciar a atividade, recomenda-se
que os alunos sejam orientados a usar sempre
um único tipo de polígono no ladrilhamento.
O uso de polígonos diferentes também constitui um problema interessante, mas pode ser
reservado para um aprofundamento das discussões.
Com um pouco de tempo para a tarefa, é
provável que os alunos concluam, por experimentação, que o ladrilhamento do plano com
polígonos regulares só é possível com triângulos
equiláteros, com quadrados e com hexágonos
regulares.
O estudo das possibilidades de pavimentação do plano com polígonos pode ser uma
atividade motivadora e desafiadora. Por meio
dele, o aluno poderá investigar relações entre
ângulos, exercitar seu raciocínio dedutivo e
colocar em prática sua criatividade por meio
da construção de mosaicos.
A pergunta motivadora desta atividade é a
seguinte: quais são os polígonos regulares que
recobrem perfeitamente o plano sem lacunas
ou espaços vazios?
Devemos entender por recobrir perfeitamente o plano, a colocação de certo número
de polígonos idênticos ao redor de um vértice de tal forma, que não haja sobreposição
dos polígonos nem espaços em relação a um
giro completo de 360o.
Na sequência de atividades apresentada
a seguir, o aluno poderá investigar as possibilidades de ladrilhamento do plano com
outros polígonos regulares e verificar que,
de fato, triângulos, quadrados e hexágonos
são os únicos polígonos regulares que pavimentam o plano.
36
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 36
4/8/09 2:07:31 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Atividade 3
n
[(n – 2) . 180o] ÷ n
3
60o (ladrilha o plano porque 60o
é um divisor de 360o)
4
90o (ladrilha o plano porque 90o
é um divisor de 360o)
5
108o
6
120o (ladrilha o plano porque
120o é um divisor de 360º)
7
≈128,6o
8
135o
Atividade 4
9
140o
Você deve ter notado que para haver um
encaixe perfeito dos polígonos regulares em
torno de um vértice é necessário que a soma
dos ângulos agrupados nele seja igual a 360o
(ângulos replementares). Dessa forma, só
haverá um encaixe perfeito se o ângulo interno de um polígono regular dividir 360o.
Considerando isso:
10
144o
11
≈147,3o
12
150o
Observe atentamente o padrão nas tabelas
das Atividades 1 e 2 e responda: qual é a fórmula para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados?
[(n – 2) . 180o] ÷ n.
O professor deve aproveitar oportunidades como a apresentada nessa atividade
para introduzir o uso de letras na representação de expressões, que é um tema
da 6ª- série.
a) Liste todos os divisores positivos de 360o.
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30,
36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
b) Os divisores que você listou são os “candidatos” a ângulo interno do polígono regular.
Substitua inteiros maiores que 2 e menores
que 13 na expressão [(n – 2) . 180o] ÷ n
e determine quais são os polígonos regulares
que ladrilham o plano. Liste quais valores
de n representam polígonos que ladrilham o
plano (se necessário, utilize a calculadora).
Note que, dos valores tabelados, apenas n
igual a 3, 4 e 6 indicam divisores de 360o. Como
para n = 12 temos 150o para ângulo interno do
polígono, os últimos divisores de 360o que faltam
ser verificados são 180o e o próprio 360o. Só teremos [(n – 2) . 180o] ÷ n igual a 180o se n – 2 = n,
o que é absurdo. Só teremos [(n – 2) . 180o] ÷ n
igual a 360o se n – 2 = 2n, ou seja, também
não há polígono que atenda a essa condição.
Concluímos, portanto, que os únicos polígonos
regulares que ladrilham o plano são o triângulo
equilátero, o quadrado e o hexágono regular. Com
conhecimentos de álgebra, a discussão desse problema ganharia outros contornos, contudo, a ausência da álgebra no início da 6ª- série permite
que a discussão seja feita dessa maneira.
37
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 37
4/8/09 2:07:31 PM
Esta é uma atividade que, para atingir os
objetivos propostos, exige orientação e acompanhamento constante do professor junto aos
alunos. Vale lembrar que, ao final do Caderno,
há referências que permitem um maior aprofundamento sobre o tema aqui investigado.
Malha de triângulos equiláteros
Após a discussão geométrica sobre as
possibilidades de ladrilhamento do plano, o
professor poderá trabalhar com seus alunos
a construção de mosaicos em malhas constituídas de polígonos regulares. Disponibilizamos ao final do Caderno algumas dessas
malhas, e apresentamos a seguir alguns mosaicos construídos sobre malhas desse tipo.
Malha com hexágonos regulares, quadrados
e triângulos regulares
Malha com hexágonos regulares
38
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 38
4/8/09 2:07:37 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Conexão Editorial
a viabilidade ou não desse deslocamento de
conteúdos entre séries, de acordo com seu
planejamento de curso.
Uma vez que trabalhamos muito com o
raciocínio lógico dedutivo nas atividades propostas na Situação de Aprendizagem 3, recomendamos que o professor procure avaliar a
aprendizagem do aluno com relação à leitura
Considerações sobre a avaliação
Ao término da situação proposta espera-se
que o aluno identifique ângulos internos e
externos de polígonos convexos, saiba que
a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é um ângulo raso, que a soma
dos ângulos internos de um polígono de
e compreensão de texto (muitos enunciados de
atividades fornecem explicações e deduções),
ao uso da linguagem correta da Matemática
nas expressões numéricas e com letras, e à
transposição entre o conhecimento pontual
trabalhado nas atividades e o seu uso para resolver problemas lógicos, como o da determinação dos polígonos que ladrilham o plano.
n lados mede (n – 2) . 180º, e que cada ângu-
Como parte da avaliação, sugerimos que
lo de um polígono regular de n lados mede
o professor proponha listas com situações-
[(n – 2) . 180º] ÷ n.
problema para que os alunos resolvam em
Muitos livros didáticos apresentam a fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono de n lados apenas na 7ª- série, mas
nesta Proposta Curricular optamos por trazê-la para a 6ª- série em virtude da sua pro-
grupos, de preferência com a produção de relatórios em que todos tenham de se expressar
de forma clara e utilizando adequadamente a
linguagem matemática ao justificar procedimentos, resultados e/ou raciocínios.
ximidade com a discussão sobre soma dos
Para o trabalho com mosaicos e ladrilha-
ângulos internos de um triângulo, e como
mento do plano, recomendamos que o pro-
forma de possibilitar um início ao uso de le-
fessor consulte a bibliografia listada, que será
tras na representação de expressões. Deve
útil para a montagem de novas atividades e
ficar claro que caberá ao professor estabelecer
situações-problema desafiadoras.
39
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 39
4/8/09 2:07:38 PM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4
CLASSIFICAçãO, MONTAGEM E DESENHO DE POLIEDROS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: representação de figuras planas e espaciais; vistas de uma figura (lateral,
frontal, superior); poliedros: elementos, classificação, construção, relação de Euler.
Competências e habilidades: representar figuras planas e espaciais em malhas de pontos;
classificar poliedros de acordo com critérios predefinidos; identificar os elementos de um
poliedro e estabelecer a relação entre eles; levantar hipóteses e verificá-las, seja por raciocínio
indutivo ou dedutivo.
Estratégias: manipulação de material concreto (figuras geométricas planas recortadas em
cartolina) na construção de poliedros e na verificação de propriedades; uso de malha de pontos para representar figuras geométricas planas e espaciais.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
O curso de Geometria em três dimensões da
6ª- série caracteriza-se pelo estudo dos poliedros.
Nas séries anteriores, o aluno deverá ter sido
apresentado às formas tridimensionais de maneira geral, sem se preocupar em detalhar classificações, nomes e propriedades. É importante,
porém, que o professor faça uma avaliação sobre os conhecimentos do aluno sobre o assunto.
A proposta desta Situação de Aprendizagem
pressupõe que os alunos já estejam familiarizados com a distinção visual entre prismas,
pirâmides e formas redondas, além de terem um
conhecimento preliminar das vistas de um objeto tridimensional (vistas frontal, lateral e superior). Professor, caso verifique que seus alunos
têm dúvidas em algum desses temas, é importante elaborar uma etapa inicial de trabalho de
modo a garantir tal aprendizado.
No início dos cursos de Geometria tridimensional, uma dificuldade frequente que surge é representar as figuras espaciais no plano.
O uso de malhas pontilhadas para a representação dos sólidos geométricos é um recurso
útil para desenvolver a habilidade de desenho
em perspectiva. A malha adequada a essa atividade tem o seguinte arranjo de pontos:
60º
60º
60º
30º
30º
Cubo e triângulo equilátero na malha de pontos.
40
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 40
4/8/09 2:07:39 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Professor, há uma cópia dessa malha no
final deste Caderno.
mas sim como propostas para uma reflexão sobre
possibilidades de criação de novas atividades.
Atividade 1
Apresentamos a seguir duas atividades que
sinalizam possibilidades de uso da malha de pontos. Lembramos mais uma vez que as atividades
sugeridas não devem ser compreendidas pelo
professor como exercícios prontos e acabados,
A partir das figuras indicadas, desenhe em
uma malha de pontos apenas o que se pede:
a) o sólido representado ao eliminar os
blocos cor de rosa da figura.
b) o sólido que será representado ao acrescentarmos um bloco junto às faces indicadas
em cor de rosa.
41
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 41
4/8/09 2:07:41 PM
Atividade 2
Prisma
Desenhe no plano, as vistas lateral esquerda, lateral direita, frontal e superior do sólido
indicado na malha:
Vistas
lateral
esquerda
frontal
Resposta:
lateral esquerda
frontal
lateral direita
superior
Após o trabalho de vistas por meio de
malhas, o professor pode passar para a representação de vistas de objetos simples com
desenho à "mão livre". Para atividades assim,
recomenda-se que o professor leve para a classe alguns sólidos geométricos, ou objetos com
formas razoavelmente simples, para que os
alunos possam exercitar o esboço das vistas
frontal, superior e lateral.
Um poliedro é uma figura espacial fechada composta por polígonos (faces).
As intersecções das faces são chamadas
arestas do poliedro, e as intersecções das arestas recebem o nome de vértices. Na 5ª- série,
a apresentação dos poliedros é feita por
meio do bloco retangular (paralelepípedo
reto-retângulo), do cubo e das pirâmides,
e a única classificação estabelecida foi a separação entre poliedros e corpos redondos.
Na 6ª- série, a proposta é ampliar a gama de
exemplos, e iniciar o trabalho de classificação: regulares, não regulares, convexos,
poliedros de Platão.
Classificar significa agrupar em uma classe
de equivalência. As classificações são melhor
compreendidas e incorporadas pelos alunos
42
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 42
4/8/09 2:07:43 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
quando eles são os autores principais das
descobertas dos critérios estabelecidos nos
agrupamentos. Para que isso aconteça, recomenda-se que as atividades de aula sejam
montadas de maneira que favoreçam a
descoberta do aluno. Por exemplo, em vez de
explicitar a diferença entre poliedros regulares e
não regulares, é interessante disponibilizar para
os alunos poliedros (ou imagens de poliedros)
dos dois tipos e pedir a eles que estabeleçam um
critério para separá-los em dois grupos. Havendo necessidade, a atividade pode ser antecedida
por outra em que os alunos recebam polígonos
(ou imagens de polígonos) para classificá-los
em regulares ou irregulares.
O aspecto lúdico associado a atividades
que trabalhem com o concreto ainda exerce papel importante na aprendizagem de
alunos da faixa etária da 6ª- série. O estudo proposto dos poliedros oferece uma rica
oportunidade para o trabalho nessa direção. A construção de poliedros motiva a
criatividade, favorece o desenvolvimento da
motricidade e pode ser articulada como um
importante trabalho de desenvolvimento do
raciocínio lógico-dedutivo.
Como vimos na atividade de ladrilhamento
do plano, para se fazer um mosaico perfeito
com polígonos regulares idênticos, é necessário que, agrupados em torno de um vértice,
eles “preencham” perfeitamente um ângulo de
360o. Vimos também que os únicos polígonos
regulares que atendem a essa condição são o
triângulo equilátero (6 . 60o = 360o), o quadrado (4 . 90o = 360o) e o hexágono regular
(3 . 120o = 360o).
O problema do ladrilhamento do plano
nos fornece elementos suficientes para investigar outro problema de natureza semelhante,
porém, no espaço tridimensional. O problema
consiste em determinar quais polígonos regulares podem formar um poliedro. Para formar
o vértice de um poliedro, temos de reunir polígonos que agrupados no plano formem um
ângulo menor que 360o, caso contrário não
conseguiríamos fazer “dobras” para formar
um ângulo poliédrico. Sabemos então que seis
triângulos equiláteros, quatro quadrados ou
três hexágonos regulares não podem formar
um ângulo poliédrico. Na atividade a seguir, o
aluno poderá estender a investigação que acabamos de iniciar.
Atividade 3
Para formar um ângulo poliédrico juntando
polígonos, necessitamos de ao menos três polígonos. Calcule os ângulos internos de um octógono regular e de um eneágono regular e, em
seguida, justifique por que não podemos formar ângulos poliédricos usando 3 octógonos
regulares ou 3 eneágonos regulares.
octógono regular
43
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 43
4/8/09 2:07:44 PM
planificação
eneágono regular
icosaedro regular
Em ambos os casos, teria de haver sobreposição dos polígonos porque 3 . 135o > 360o e
3 . 140o > 360o.
Atividade 4
Construa em uma folha branca e sem pauta alguns triângulos equiláteros de lado 6 cm
(para que a construção seja precisa, use régua
e compasso). Em seguida, tire cópias dessa folha até ter pelo menos 32 triângulos. Agora,
utilize esses triângulos para formar todos os
poliedros que conseguir.
tetraedro regular
planificação
4 faces, 4 vértices, 6 arestas
octaedro regular
planificação
20 faces, 12 vértices, 30 arestas
Utilizando apenas quadrados como faces,
o único poliedro regular que podemos montar
é o hexaedro regular (cubo); e com pentágonos
regulares, só podemos montar o dodecaedro regular (12 faces, 20 vértices, 30 arestas). Professor,
caso você considere pertinente estender o trabalho
de construção de poliedros com seus alunos, é possível propor-lhes atividades parecidas com a Atividade 4, porém, envolvendo a montagem do cubo
e do dodecaedro. Ao final, é importante destacar
que os cinco sólidos construídos são os únicos poliedros regulares que existem: tetraedro regular,
hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro
regular e icosaedro regular. Além disso, embora
todo poliedro regular seja poliedro de Platão, nem
todo poliedro de Platão é um poliedro regular.
Para que tenhamos um poliedro regular,
ele deve ser formado apenas por polígonos
regulares de um mesmo tipo e que exista o
mesmo arranjo de polígonos em cada vértice.
Para que seja um poliedro de Platão, todas as
faces do poliedro têm de ser polígonos com o
mesmo número de lados (regulares ou não),
e todos os ângulos poliédricos devem ser formados pelo mesmo número de arestas.
8 faces, 6 vértices, 12 arestas
44
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 44
4/8/09 2:07:46 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Pode-se verificar que apesar de existirem
mais poliedros de Platão do que poliedros
regulares, também os poliedros de Platão
só podem ser dos cinco tipos dos poliedros
regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro. A imagem a seguir
utiliza a ideia de conjuntos para organizar
a classificação dos sólidos:
Poliedros
de Platão
Poliedros
regulares
Poliedros
convexos
Poliedros
Sólidos
Em 1750, depois de analisar extensa-
validade de sua hipó tese para todos os tipos
mente vários tipos de sólidos, o matemá-
de poliedros. No entanto, vários matemáti-
tico Leonhard Euler conjeturou a validade
cos encontraram exemplos de poliedros em
da fórmula V + F − A = 2 relacionando
que não seria válida a fórmula de Euler.
vértices (V), faces (F) e arestas (A) de
Muito provavelmente Euler não considerava
um poliedro, mas não fez propriamente
como poliedros sólidos como os indicados
uma demonstração. Anos depois, ele aca-
a seguir, para os quais seu teorema não
bou apresentando uma demonstração da
seria válido:
45
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 45
4/8/09 2:07:48 PM
Várias gerações de geômetras tentaram,
depois de Euler, demonstrar o teorema, tarefa
que só foi concluída de forma absolutamente
correta pelo matemático Henri Poincaré, em
1893. Na Matemática escolar, abrimos mão
do caráter mais geral da demonstração de
Poincaré nos restringindo à validade da relação de Euler para os poliedros convexos, que
são aqueles situados do mesmo lado de qualquer plano que contenha uma de suas faces.
1)
4)
Sugere-se a seguir uma atividade em que os
alunos possam identificar a relação de Euler
por meio da observação de regularidades em
uma tabela.
Atividade 5
Determine o número de faces (F), arestas (A)
e vértices (V) dos poliedros a seguir e, em seguida,
encontre uma fórmula que relacione F, A e V.
2)
3)
5)
6)
Pode-se observar na tabela que V + F – A = 2, que é a fórmula de Euler para poliedros convexos.
Poliedro convexo
1
2
3
4
5
6
Faces (F)
5
6
7
8
7
9
Arestas (A)
9
12
12
18
12
16
Vértices (V)
6
8
7
12
7
9
46
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 46
4/8/09 2:07:51 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Considerações sobre a avaliação
Com a Situação de Aprendizagem 4, espera-se
que o aluno aprenda a representar figuras planas e espaciais em malhas de pontos, esteja apto
a fazer esboços das vistas de um objeto, saiba
identificar os elementos de um poliedro, e compreenda a relação entre eles (fórmula de Euler).
pedir que seus alunos construam poliedros com
base em polígonos recortados em cartolina. Em
atividades desse tipo, é importante que o professor procure criar desafios para que o aluno
possa, por meio da manipulação com o material concreto, resolver problemas, estabelecer relações e levantar hipóteses, além de verificá-las
experimentalmente ou de forma dedutiva.
Como o trabalho foi conduzido de forma que
o aluno tenha de utilizar malhas e manipular polígonos para construir poliedros, recomenda-se
que uma das avaliações valorize os esforços feitos nessa direção. Por exemplo, o professor pode
Sendo possível o trabalho com computadores
na escola, recomenda-se que o professor visite os
endereços eletrônicos listados ao final do Caderno, onde poderá encontrar inúmeros recursos para
o trabalho com a Geometria tridimensional.
ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO
Como orientação geral para a recuperação
da aprendizagem dos alunos que não atingiram as expectativas do bimestre, recomendamos que o professor organize trabalhos e
novas listas de atividades para serem realizadas em duplas ou trios de trabalho.
Para a elaboração dessas novas listas de
atividades, recomendamos que o professor
procure diversificar o tipo de enunciado, o
uso de figuras e o grau de dificuldade. Essas fichas podem ser montadas com apoio de livros
didáticos e/ou do material indicado na bibliografia do Caderno.
Na montagem desses grupos, é importante que
haja heterogeneidade considerando-se a destreza
dos alunos na utilização dos instrumentos geométricos de desenho, bem como suas dificuldades na
compreensão dos conceitos abordados durante o
bimestre. A ideia é de os alunos já terem destreza
no uso dos instrumentos e que possam trabalhar
com aqueles que ainda apresentem dúvidas, e cada
grupo formado tenha, no mínimo, um aluno que
ainda esteja com dificuldade no assunto e outro
que já tenha um maior domínio sobre ele. Esse tipo
de trabalho valoriza a aprendizagem dos que estão
mais adiantados, e favorece a prática de atitudes
cooperativas entre todos.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
livros e revistas
ALVES, S.; DALCIN, M. Mosaicos do plano. Revista do Professor de Matemática/SBM,
n. 40, 2º- semestre/1999, São Paulo, SP.
AzAMBUJA FILHO, z. Demonstração
do teorema de Euler para poliedros complexos. Revista do Professor de Matemática/SBM,
n. 3, 2º- semestre/1983, São Paulo, SP.
47
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 47
4/8/09 2:07:51 PM
BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões
em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.
Experiências Matemáticas (séries). São
Paulo: SE/CEMP, 1994. 4v.
CÂNDIDO, S. L. Formas num mundo de
formas. São Paulo: Moderna, 2002.
FARMER, D. W. Grupos e simetria. Lisboa:
Gradiva Publicações, 1999.
DINIz, M. I. de S.; SMOLE, K. C. S.
O conceito de ângulo e o ensino de geometria.
São Paulo: Centro de Aperfeiçoamento do
Ensino de Matemática/IME-USP.
WEYL, H. Simetria. São Paulo: Edusp, 1997.
EVES, H. Tópicos de história da Matemática
para uso em sala de aula: geometria. São Paulo:
Atual, 1992.
Conteúdos
A tabela a seguir mostra onde estão contemplados os conteúdos do 2º- bimestre da
6ª- série nas edições de Experiências Matemáticas:
Atividade de E.M.
Página
Formas geométricas
espaciais
(5ª- série) 6, 11, 12, 25, 32, 34
61, 115, 112, 257, 325, 351
Ângulos
(6ª- série) 2, 6, 10, 11, 12
27, 75, 121, 137, 145
Polígonos
(6ª- série) 19, 20
215, 223
Simetrias
(5ª- série) 21
201
Circunferência
(6ª- série) 1, 2, 24, 31
17, 27, 255, 351
Sites
Mosaicos no plano
<http://www.rpm.org.br/novo/conheca/40/1/
mosaico.htm>;
<http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_
ex_re/dg_ex_re12.php>;
<http://matemateca.incubadora.fapesp.br/
portal/matemateca/construcao/ladrilhos>.
Simetrias
<http://www.ese.ips.pt/nonio/maleta/a_
simetria_na_natureza1.htm>;
<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/
icm15/frame.htm>.
Poliedros
<http://www.apm.pt/apm/AeR/unipoli/
poliedro.html>;
<http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/
mathsolid/mathsolid_br.html>.
Ângulos
<http://web.educom.pt/escolovar/mat_
geometri_angulos.htm>;
<http://www.apm.pt/nucleos/porto/paginas/
UGSPCMD/htm/mario_e_joaquim/04.htm>.
48
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 48
4/8/09 2:07:51 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
ConSidErAçõES FinAiS
O conteúdo do 2º- bimestre da 6ª- série está
todo relacionado ao eixo Geometria, incluindo a aprendizagem de ângulos, polígonos e
uma introdução ao estudo dos poliedros.
Em relação ao estudo dos ângulos, espera-se
que ao final do período o aluno saiba medir
e construir ângulos com o transferidor, identificar e medir ângulos internos e externos
de polígonos, calcular a medida de ângulos
a partir de informações geométricas simples.
Além do trabalho com o transferidor, também
é desejável que o professor proponha investigações sobre ângulos e polígonos com o uso
dos esquadros e do compasso. Por exemplo, o
aluno deve estar apto a construir com régua e
compasso os ângulos de 15o (com a bissetriz
do de 30o), 30o (com a bissetriz do de 60o),
45o (com a bissetriz do de 90o), 60o (por meio
do triângulo equilátero), 90o (com a mediatriz
de um segmento). Os esquadros, normalmente
usados para traçar paralelas e perpendiculares,
devem ser compreendidos como um par de
triângulos que também permitem a construção
de alguns ângulos. Paralelamente à discussão
sobre a diversidade de instrumentos que podem
ser usados para a construção de alguns ângulos,
aos poucos o aluno deve perceber que, sempre
que possível, compasso e régua são instrumentos preferíveis aos demais por garantir maior
limpeza e precisão ao desenho, desde que usados adequadamente.
Em relação ao estudo dos polígonos, antecipamos nessa proposta a fórmula da soma
dos ângulos internos para a 6ª- série por compreender que sua aprendizagem contribui no
desenvolvimento da habilidade de identificação e representação de padrões e regularidades. Além disso, quando se trabalha essa
fórmula, abrem-se inúmeras possibilidades de
contextualização dos temas geométricos relacionados aos ângulos em situações práticas e
aplicadas, como o “ladrilhamento do plano”
ou a investigação da quantidade de poliedros
regulares existentes.
Problemas como a determinação da medida de cada ângulo interno de um polígono
regular e da construção com régua e compasso
de alguns polígonos regulares e não regulares
fazem parte das expectativas de aprendizagem
do bimestre.
O estudo dos poliedros deve aprimorar basicamente três habilidades: o raciocínio dedutivo, o trabalho com classificação e a leitura e
representação de imagens em três dimensões.
A proposta de construção dos poliedros a partir de polígonos deve desenvolver o raciocínio
dedutivo e o trabalho com a habilidade de
classificar. O trabalho com malhas quadriculadas e de pontos deve servir como ferramenta
didática para consolidar a leitura e representação de imagens bi e tridimensionais.
Por fim, as atividades voltadas para a investigação das simetrias axial, rotacional e do
movimento de translação têm como principal objetivo o refinamento do olhar do aluno sobre objetos, obras de arte, construções
49
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 49
4/8/09 2:07:51 PM
arquitetônicas, mosaicos, etc. Além desse aspecto relacionado à estética, o conhecimento
de simetria também constitui uma valiosa ferramenta para a investigação de algumas propriedades geométricas.
Diversificar os instrumentos avaliativos
contribuirá não só para possibilitar ao aluno
diferentes meios de expressar sua compreensão dos conceitos, como também para que o
professor avalie adequadamente a distância
entre a aprendizagem realizada e a aprendizagem que se espera acerca dos temas tratados.
Nesse sentido, é sugerido, além das provas,
que se avaliem listas de exercício, registros
feitos pelos alunos (caderno, tarefas de casa,
anotações pessoais) e produção dos grupos de
trabalho. No que diz respeito à produção feita em pequenos grupos, é importante que, a
partir de objetivos bem definidos, o professor
faça observações sobre a participação solidária dos integrantes, a organização dos grupos,
a prontidão às instruções dadas, etc. O tema
“poliedros” nos parece bastante apropriado
para um trabalho em equipe.
A seguir, relacionamos os conteúdos específicos do bimestre e as expectativas que o
professor deve ter em relação à aprendizagem
desses conteúdos.
Ângulos: usar o transferidor para medir e
construir ângulos, usar a régua e o compasso
para construir alguns ângulos, estimar a medida de um ângulo visualmente, classificar ângulos (reto, raso, agudo, obtuso).
Polígonos: reconhecer polígonos, construir
alguns polígonos com régua, transferidor e
compasso, calcular o valor da soma dos ângulos internos e dos ângulos externos de um
polígono, calcular a medida do ângulo interno e do externo de polígonos regulares.
Poliedros: identificar, planificar e classificar
poliedros (convexo, regular, poliedros de Platão).
Por fim, é importante destacar que, na medida do possível, os conteúdos devem ser trabalhados de maneira aplicada e desafiadora. Uma
boa metodologia para isso é explorar situaçõesproblema contextualizadas com significado, e
que exijam reflexão crítica por parte do aluno.
50
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 50
4/8/09 2:07:51 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Malha de pontos
51
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 51
4/8/09 2:07:55 PM
Malha quadriculada
52
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 52
4/8/09 2:07:55 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Malha com hexágonos regulares
53
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 53
4/8/09 2:07:56 PM
Malha de triângulos equiláteros
54
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 54
4/8/09 2:07:56 PM
Matemática - 6a série - Volume 2
Malha com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares
55
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 55
4/8/09 2:07:59 PM
CONTEúDOS DE MATEMáTICA POR SÉRIE/BIMESTRE
DO ENSINO FUNDAMENTAL
4o- bimestre
3o- bimestre
2o- bimestre
1o- bimestre
5a- série
nÚMEroS nAturAiS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações básicas.
- Introdução às potências.
FrAçõES
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
nÚMEroS dECiMAiS
- Representação.
- Transformação em fração
decimal.
- Operações.
6a- série
nÚMEroS nAturAiS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional decimal.
nÚMEroS intEiroS
- Representação.
- Operações.
nÚMEroS rACionAiS
- Representação fracionária
e decimal.
- Operações com decimais
e frações.
7a- série
nÚMEroS rACionAiS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
PotEnCiAção
- Propriedades para
expoentes inteiros.
8a- série
nÚMEroS rEAiS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- A linguagem das potências.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
álGEbrA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
álGEbrA
- Equações de 2º- grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1º- e 2º- graus.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
nÚMEroS/
ProPorCionAlidAdE
- Proporcionalidade direta e
inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: .
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Gráficos de setores.
- Noções de probabilidade.
álGEbrA/EQuAçõES
- Equações de 1º- grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações de 1º- grau.
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEoMEtriA/MEdidAS
- Proporcionalidade, noção
de semelhança.
- Relações métrica entre
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
álGEbrA
- Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- área de polígonos.
- Volume do prisma.
GEoMEtriA/MEdidAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
SiStEMAS dE MEdidA
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Contagem indireta e
probabilidade.
56
MAT_CP_6a_vol2_AF.indd 56
4/8/09 2:07:59 PM