IX OLIMPÍADA REGIONAL DE
MATEMÁTICA DA UNOCHAPECÓ
NÍVEL III – Segunda fase – 10/11/2012, Ensino Médio
Nome completo do aluno
Endereço do aluno
Cidade
Estado
Nome da Escola
__________________________________________________________________________________
Assinatura
INSTRUÇÕES PARA A PROVA
1. Preencha cuidadosamente todos os seus dados;
2. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito
em cada quadradinho e deixando um espaço em
branco entre cada palavra;
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de
presença;
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta;
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá
deixar a sala de prova 45 minutos após o início da
prova;
7. A solução de cada questão deve ser escrita na
página reservada para ela, de maneira organizada e
legível. Caso falte espaço para a resolução, poderá
continuar no verso da folha;
8. Na correção serão considerados todos os
raciocínios que você pode apresentar. Tente resolver o
maior número possível de questões;
9. Respostas sem justificativas não serão consideradas
na correção.
10. Não é permitido comunicar-se com outras
pessoas, além do aplicador, nem o uso da calculadora
ou qualquer fonte de consulta;
6. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador;
11. Cada questão vale 10 pontos.
BOA PROVA...
ORM – Nível III
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
Problema 1 – Dois homens H1 e H2, com 1,8m e 1,6m de
altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados
opostos de um poste de 4,8m, iluminados por uma lâmpada
deste poste, conforme a figura. Considerando
3 = 1,7,
determine a distância entre os homens.
Problema 2 – Um avião com 110 lugares é fretado para uma excursão. Se todos os
lugares estiverem ocupados a companhia cobra R$ 800,00 por pessoa. Se existirem
lugares não ocupados, será cobrado de cada passageiro o adicional de R$ 10,00 por
cada lugar vago. Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia
obtenha o faturamento máximo?
ORM – Nível III
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
Problema 3 – A matemática faz parte do nosso cotidiano. Observando ao nosso redor,
encontramos objetos cujas formas se associam a um sólido geométrico chamado de
paralelepípedo retângulo. Objetos como um dado, uma caixa de sapato, uma caixa de
fósforos e um tijolo, são exemplos de paralelepípedos retângulos. Sabendo que as
dimensões de um paralelepípedo retângulo são a, b e c (em centímetros) e que as mesmas são as raízes do
polinômio 𝑝 𝑥 = 2𝑥 3 − 13𝑥 2 + 27𝑥 − 18, determine a medida da diagonal deste paralelepípedo.
Problema 4 – O gráfico mostra o número de alunos
(meninos e meninas) inscritos em cada modalidade
considerando que cada aluno pratica apenas uma das
modalidades, qual a porcentagem de alunos que não
pratica vôlei?
Alunos
esportiva praticada em uma escola. Analisando o gráfico e
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Meninas
Meninos
Vôlei Natação Futebol Basquete
Esportes
ORM – Nível III
Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
Problema 5 – Considere a matriz 𝐴 =
𝑥−5
1
𝑥
tal que os números 𝑥 − 5, 𝑥 e 𝑥 + 10 são nessa
𝑥 + 10
ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Se 𝐴𝑡 é a matriz transposta de 𝐴, então o
determinante de 2𝐴𝑡 − 𝐴 é:
Problema 6 – A figura a seguir representa um quadrado mágico. Ou seja, a soma dos elementos nas diagonais,
nas linhas e nas colunas é sempre a mesma.
Para descobrir os números do quadrado mágico é preciso resolver equações, cuja solução é o elemento
do quadrado mágico. Com base nessas informações, determine 𝒂 e 𝒃.
3𝑥 = 2 + 2𝑥
3𝑥−9 =
𝒂
1
9
𝒃
𝑥−5
log 2 16 = 𝑥
2
1
=0
23 𝑥−1 = 1
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
log2 𝑥 = 3