PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
É o prisma cujas faces são todas retangulares.
RELAÇÕES PARA UM
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
As três arestas que concorrem em um mesmo vértice
são as dimensões (a, b, c) do sólido.
As quatro diagonais do sólido são congruentes e sua
medida (d) pode ser expressa facilmente em função das
dimensões do paralelepípedo, mediante aplicação do Teorema de Pitágoras nos seguintes triângulos da figura
abaixo:
CUBO (HEXAEDRO REGULAR)
Como o cubo é um poliedro regular todas as suas arestas terão comprimento a, chamando a medida da diagonal
de uma face de d e a medida de uma diagonal do cubo de
d, assim temos:
Das expressões (1) e (2), vem:
Denotando-se por St a área total (ou simplesmente área)
do ortoedro, e levando em conta que as faces opostas são
retângulos congruentes, tem-se:
Considerando o produto notável:
1º) O Teorema de Pitágoras, aplicado para o triângulo
ABC, retângulo B, a seguinte relação:
2º) O Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo ACD,
retângulo em A, resulta:
Área do cubo é a soma das áreas dos seis quadrados
congruentes, cada um de lado a.
O volume é dado por:
E tendo em vista as relações anteriores, pode-se ainda
escrever:
Observação:
VOLUME DO PARALELEPÍPEDO
O volume do paralelepípedo é dado por:
As fórmulas do cubo podem ser obtidas de outra forma,
substituindo nas fórmulas do paralelepípedo “b” e “c” por
“a”.
Assim temos:
1
z
d=
a2 + b 2 + c 2
d) 8,4 l
e) nda.
z
d=
a2 + a2 + a2
04. (CEFET-PR) A soma das três dimensões de uma paralele-
z
d=
3a 2
→
d=a 3
z
St = 2. (ab + ac + bc)
z
St = 2. (a.a + a.a + a.a)
z
St = 2. (3a2) →
z
V=a.b.c
z
V=a.a.a
→
St = 6a2
V = a3
TESTES DE BASE
01. Considere as figuras seguintes, que representam três
seções (cortes) planas distintas do cubo, e julgue as afirmativas abaixo, determinando a soma dos números associados
às corretas.
pípedo retângulo é 7 cm e a sua diagonal, 4 3 cm. Sua área
total, em cm2, é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
05. (ACAFE-SC) Num paralelepípedo reto as arestas da base
medem 8 dm e 6 dm e a altura mede 4 cm. Calcule a área da
figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a
diagonal da base e a aresta lateral.
a)
b)
c)
d)
e)
20
24
32
40
48
dm2
dm2
dm2
dm2
dm2
TESTES DE APERFEIÇOAMENTO
06. (UEM-PR) A área total do cubo, cujas faces podem ser
inscritas em círculos de 4π cm2 de área, é:
01) A seção assinalada na figura (I) é um quadrado de 2 cm
de lado.
02) A seção assinalada na figura (I) tem 4 4 cm2 de área.
04) A seção assinalada na figura (II) é um triângulo isósceles.
08) A seção assinalada na figura (II) tem 2 3 cm2 de área.
16) Na figura (III), se A, B, C, D, E e F são pontos médios das
arestas do cubo, então a seção assinalada é um hexágono regular de
2 cm de lado.
02. (FUVEST-SP) Um paralelepípedo reto-retângulo de arestas 5, 1 e 3 como mostra a figura. Um plano passando por
uma aresta forma com a base um ângulo de 60º e divide o
paralelepípedo em dois sólidos. O volume do sólido que contém PQ é:
07. (CEFET-PR) Num ensaio com ultra-som para determinar
um parâmetro da peça representada, transdutores foram colocados em A e B. A distância entre os pontos citados, fundamental para o ensaio, em dm:
a)
d)
40
e)
49 + 12 13
08. (UFU-MG) Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a
área total da cruz é de 416 cm2, pode-se afirmar que o volume
de cada cubo é igual a:
a)
b)
c)
d)
03. (UEPG-PR) As medidas internas de uma caixa d’água em
forma de paralelepípedo retângulo são 1,2 m, 1 m, e 0,7 m.
Sua capacidade é de:
a) 8.400 l
b) 84 l
c) 840 l
2
121+ 36 10
b) 11
c) 7
16
64
69
26
cm3
cm3
cm2
cm3