Estimação pontual
Estimação por intervalos
Métodos Numéricos e Estatı́sticos
Parte II-Métodos Estatı́sticos
Estimação pontual e intervalar
Luı́sa Morgado
Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
A Teoria das Probabilidades consiste no estudo dos modelos
matemáticos capazes de descrever o comportamento de fenómenos
aleatórios, modelos esses que se dizem probabilı́sticos.
Foi sobre o estudo de tais modelos que nos debruçamos nos
capı́tulos anteriores.
Daqui em diante falaremos sobre Estatı́stica, que consiste num
conjunto de técnicas quantitativas para recolher, apresentar e
interpretar dados relativos a fenómenos aleatórios.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Amostra e dado estatı́stico
Dada a impossibilidade de observar toda uma população, é
necessário recolher um subconjunto que se pretende representativo
da população. A esse subconjunto dá-se o nome de amostra.
A cada resultado observado, relativo à v.a. (ou caracterı́stica) de
interesse (i.e., uma caracterı́stica crucial para o conhecimento do
fenómeno aleatório em estudo) dá-se o nome de dado estatı́stico.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Amostragem
Trata-se de uma vasto conjunto de procedimentos estatı́sticos que
encontra motivação na necessidade de obtenção de amostras
representativas de uma população.
Na população as medidas de localização e de dispersão são
fixas e invariantes; são caracterı́sticas da população e
designam-se por parâmetros.
Na amostra, estas medidas são estimativas dos parâmetros
da população e designam-se por estatı́sticas.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplos de alguns tipos de amostragem
Aleatória sistemática: Uma amostra aleatória sistemática é
constituı́da pelos elementos da população seleccionados de k
em k elementos.
Aleatória simples: Significa que todos os elementos da
população têm a mesma probabilidade de serem escolhidos e
de virem a fazer parte da amostra de dimensão previamente
fixada.
Estratificada: Inicialmente a população é dividida em
estratos e depois selecciona-se uma amostra em cada estrato.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Com a recolha da amostra obtém-se um conjunto de dados cuja
leitura nada parece contribuir para a compreensão do fenómeno
aleatório em estudo.
A estatı́stica Descritiva resolve parcialmente este problema,
resumindo e/ou organizando a informação contida nos dados .
A inferência estatı́stica compreende um vasto conjunto de métodos
que usando a informação contida na amostra, responde a questões
especı́ficas da população, tais como
Indicar valores ou intervalos de valores razoáveis para
parâmetros desconhecidos da população;
Averiguar a razoabilidade de conjecturas sobre parâmetros
desconhecidos ou famı́lias de distribuições (testes de
hipóteses) e/ou a razoabilidade de modelos de regressão que
expliquem a relação entre duas variáveis (regressão simples).
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Amostra
Sejam
X uma v.a. de interesse;
X1 , X2 , . . . , Xn v.a independentes e identicamente
distribuı́das (i.i.d.) a X , i.e., Xi ∼i.i.d X ,
i = 1, 2, . . . , n.
Então o vector aleatório X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) diz-se uma
amostra aleatória (a.a.) de dimensão n proveniente da
população X .
À observação particular da a.a. X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) dá-se
o nome de amostra e representa-se por x = (x1 , x2 , . . . , xn ).
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Porque a a.a. é constituı́da por n v.a. i.i.d. a X , a caracterização
probabilı́stica da a.a. é dada por
1
Caso discreto
P(X = x) = P(X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn )
= P(X1 = x1 ) × . . . × P(Xn = xn )
n
n
Y
Y
=
P(Xi = xi ) =
P(X = xi )
i=1
2
i=1
Caso contı́nuo
fX (x) = fX1 ,X2 ,...,Xn (x1 , x2 , . . . , xn )
= fX1 (x1 ) × . . . × fXn (xn )
n
n
Y
Y
=
fXi (xi ) =
fX (xi )
i=1
Luı́sa Morgado
i=1
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Estatı́stica
Seja X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) a.a.de dimensão n proveniente da
população X .
T diz-se uma estatı́stica se se tratar de uma função exclusiva
da a.a. i.e., T = T (X ).
Note que T não depende de nenhum parâmetro desconhecido.
Exemplo
Estatı́stica
Mı́nimo da a.a.
Máximo da a.a.
Amplitude da a.a.
Média da a.a.
Var. corrigida da a.a.
Var. não corrigida da a.a.
X(1) = mini=1,...,n Xi
X(n) = maxi=1,...,n Xi
R = X(n) − X(1)
Pn
X = n1
i=1 Xi
2
1 Pn (X − X )2
S = n−1
i=1 i
2
2
1 Pn
1
= n−1
i=1 Xi − n−1 X
P
n
2
S 02 = n1
(X
−
X
)
i
Pn i=1
2
1 2
= n1
i=1 Xi − n X
Luı́sa Morgado
Valor observado da estatı́stica
x(1) = mini=1,...,n xi
x(n) = mini=1,...,n xi
r = x(n) − x(1)
Pn
x = n1
xi
i=1 P
2
n
2
1
s = n−1
i=1 (xi − x)
2
2
1 Pn
1
= n−1
i=1 xi − n−1 x
Pn
2
s 02 = n1
(x
−
x)
i
Pn i=1
2
1 2
= n1
i=1 xi − n x
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
O objectivo principal da Estatı́stica é inferir sobre caracterı́sticas da
v.a. de interesse com base na amostra recolhida. Considera-se,
geralmente, que a distribuição de X é parcial ou totalmente
desconhecida
Parcialmente desconhecida, se conhecermos o tipo
distribucional de X (p.e., Poisson) a menos de um ou mais
parâmetros
Totalmente desconhecida, se o tipo distribucional de X for
especificado de modo muito vago (p.e., distribuição discreta).
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Parâmetro desconhecido e espaço paramétrico
Um parâmetro desconhecido será daqui em diante representado por
θ.
O espaço paramétrico corresponde ao conjunto de todos os valores
possı́veis para o parâmetro θ e representa-se por Θ.
Tendo como objectivo adiantar valores razoáveis para os
parâmetros desconhecidos na distribuição da variável de interesse,
iremos recorrer a estatı́sticas com caracterı́sticas especiais, a que
chamaremos estimadores.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Estimador
A estatı́stica T = T (X ) diz-se um estimador do parâmetro
desconhecido θ se T = T (X ) apenas toma valores no espaço
paramétrico Θ.
Estimativa
Ao valor observado do estimador de θ, t = T (x) dá-se o
nome de estimativa de θ.
Note que o estimador é uma v.a. e como tal tem uma distribuição
de probabilidade.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Um estimador conduzirá a estimativas mais rigorosas se usufruir de
algumas propriedades. Vejamos quais.
Estimador centrado
O estimador do parâmetro desconhecido θ diz-se centrado se
E [T (X )] = θ.
Estimador enviesado
O estimador do parâmetro desconhecido θ diz-se enviesado se
∃θ ∈ Θ : E [T (X )] 6= θ.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Enviesamento de um estimador
O estimador do parâmetro desconhecido θ possui enviesamento dado
por
biasθ [T (X )] 6= E [T (X )] − θ.
Notas:
Um estimador centrado possui enviesamento nulo;
Regra geral há mais do que um estimador para um mesmo
parâmetro desconhecido. Quanto menor for o enviesamento
de um estimador mais rigorosas serão as estimativas por ele
fornecidas.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Suponhamos que X é uma v.a. de interesse com distribuição arbitrária, valor esperado
µ e variância σ 2 .
P
A média da a.a. X = n1 ni=1 Xi é um estimador centrado de µ pois
!
n
n
1X
1X
Xi =
E (Xi )
E (X ) = E
n i=1
n i=1
=
n
n
1X
1X
1
E (X ) =
µ = nµ = µ
n i=1
n i=1
n
A variância corrigida é um estimador centrado de σ 2 uma vez que
"
#
" n
!
#
n
X
1 X
1
E (S 2 ) = E
(Xi − X )2 =
E
Xi2 − n(aX )2
n − 1 i=1
n−1
i=1
" n
#
X
1
=
E (Xi2 ) − nE [(X )2 ]
n − 1 i=1
( n
)
X
1
2
2
=
[V (Xi ) + E (Xi )] − n[V (X ) + E (X )]
n − 1 i=1
" n
2
#
X
1
σ
1
(σ 2 + µ2 ) − n
=
+ µ2
=
(nσ 2 + nµ2 − σ 2 − nµ2 )
n − 1 i=1
n
n−1
=
1
(n − 1)σ 2 = σ 2 .
n−1
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Não basta que um estimador seja centrado para garantir
estimativas mais rigorosas. Estas serão tanto mais rigorosas
quanto menos o estimador se dispersar em torno do verdadeiro
valor do parâmetro desconhecido.
Erro quadrático médio
O erro quadrático médio do estimador T = T (X ), do parâmetro
desconhecido θ é dado por
EQMθ [T (X )] = E [T (X ) − θ]2 = V [T (X )] + {E [T (X )] − θ}2
= V [T (X )] + {biasθ [T (X )]}2
O EQM quantifica a dispersão esperada do estimador em torno do parâmetro
desconhecido;
Um estimador será tanto melhor quanto menor for o seu EQM.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Eficiência relativa de estimadores
Sendo T1 (X ) e T2 (X ) dois estimadores de um mesmo parâmetro
desconhecido θ, define-se eficiência de T1 em relação a T2 por
eθ [T1 (X ), T2 (X )] =
EQMθ [T2 (X )]
.
EQMθ [T1 (X )]
Assim, se
eθ [T1 (X ), T2 (X )] > 1 ⇔ EQMθ [T2 (X )] > EQMθ [T1 (X )],
e portanto o estimador T1 (X ) é mais eficiente que o estimador
T2 (X ).
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Método da máxima verosimilhança
Este método permite obter o valor mais razoável de um parâmetro desconhecido, de
entre todos os valores possı́veis para esse mesmo parâmetro, tendo em conta a
amostra recolhida.
Função de verosimilhança
A função de verosimilhança L(θ|x) : Θ → R define-se do seguinte modo:
Caso discreto
L(θ|x) = P(X = x|θ) =
n
Y
P(X = xi |θ),
θ∈Θ
i=1
Caso contı́nuo
L(θ|x) = fX (x|θ) =
n
Y
fX (xi |θ),
θ∈Θ
i=1
onde P(·|θ) e fX (·|θ) são a f.p e a f.d.p (resp.) da v.a. de interesse X , tendo em
conta que θ é o verdadeiro valor do parâmetro.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Estimativa de máxima verosimilhança
Obtida a a amostra x = (x1 , . . . , xn ), a estimativa de máxima
verosimilhança (EMV) do parâmetro desconhecido corresponde ao
ponto de máximo da função de verosimilhança ou, equivalentemente,
ao ponto de máximo do logaritmo da função de verosimilhança. Esta
estimativa representa-se por θ̂ e é então dada por
L(θ̂|x) = max L(θ|x)
θ∈Θ
ou equivalentemente
ln L(θ̂|x) = max ln L(θ|x)
θ∈Θ
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo
Um inquérito realizado a um grupo de 1000 indivı́duos com queixas de insónia revelou
que 448 respondem ter dormido bem após a toma de um certo soporı́fero.
Deduza a EMV da probabilidade (p) de uma pessoa escolhida ao acaso ter dormido
bem tendo tomado o soporı́fero.
V.a. de interesse:
X =resposta ao inquérito
Distribuição:
X ∼Bernoulli(p)
Parâmetro desconhecido:
p = P(X = 1), 0 ≤ p ≤ 1
F.p.:
P(X = x) = p x (1 − p)1−x ,
x = 0, 1
Amostra:
x = (x1 , . . . , xn ) amostra de dimensão n = 1000, proveniente da população onde
xi = resposta de i-ésima pessoa.
448
x̄ = 1000
= 0.448 = 44.8% de respostas afirmativas.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
Função de
Qnverosimilhança: Qn
L(p|x)
= i=1 P(X
= xi ) = i=1 p xi (1 − p)1−xi =
Pn
Pn
p i=1 xi (1 − p)n− i=1 xi
Função de log-verosimilhança:
Pn
Pn
ln L(p|x) = ln p i=1 xi (1 − p)n− i=1 xi =
P
P
ln(p) ni=1 xi + ln(1 − p) (n − ni=1 xi )
Maximização: A EMV de p, p̂, obtém-se resolvendo
( d ln L(p|x)
|p=p̂ = 0 (ponto de estacionaridade)
dp
p̂ :
d 2 ln L(p|x)
|p=p̂ < 0 (ponto de máximo)
dp 2
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
p̂ :



 Pn
P
P
n− ni=1 xi
(n− ni=1 xi )]
i=1 xi

−
|p=p̂ = 0
|p=p̂ = 0
p
1−p
dp
P
Pn
P
P
⇔
n− ni=1 xi
d 2 [ln(p) ni=1 xi +ln(1−p)(n− ni=1 xi )]
i=1 xi

|p=p̂ <
− p 2 − (1−p)2
|p=p̂ < 0
dp 2
 Pn
Pn
(
P
P
x
x
n−
i=1 i
i=1 i

(1 P
− p̂) ni=1 xiP− p̂ n − ni=1 xi =
−
=0
1−p̂
n
n
Pnp̂
Pn
⇔
⇔
x
x
n−
i
i=1 i
− i=1
− (1−p̂)
<0
 − i=1 xi − n− i=1 xi < 0
2
p̂ 2
p̂ 2
(1−p̂)2
d [ln(p)
Pn
i=1 xi +ln(1−p)
⇔
Luı́sa Morgado
Estimação
0
0
P
p̂ = n1 ni=1 xi
proposição verdadeira
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
Estimador de P
MV de p:
EMV (p) = n1 ni=1 Xi = X (média da amostra).
Concretização:
p̂
=
=
=
n
1X
xi
n i=1
no de respostas afirmativas
no de pessoas inquiridas
0.448
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo
Os tempos observado (em anos) até à 1a colisão de detritos espaciais com diâmetro
inferior a 1mm em 4 satélites em MEO foram de 1.2, 1.5, 1.8 e 1.4.
Admitindo que tal tempo tem distribuição pertencente ao modelo exponencial de
parâmetro λ, vamos determinar o estimador e a estimativa de MV de λ.
V.a. de interesse:
X =tempo (em anos) até à 1a colisão de detritos espaciais
Distribuição:
X ∼exponencial(λ)
Parâmetro desconhecido:
λ, λ > 0
F.d.p.: λe −λx , x ≥ 0
fX (x) =
0, c.c.
Amostra:
x = (x1 , . . . , xn ) amostra de dimensão n = 4, proveniente da população onde
xi = resposta de i-ésima pessoa.
x̄ = 1.2+1.5+1.8+1.4
= 1.475
4
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
Função de
Pn
Q
Qnverosimilhança:
L(λ|x) = i=1 fX (xi ) = ni=1 λe −λxi = λn e −λ i=1 xi
Função de log-verosimilhança:
Pn
P
ln L(λ|x) = ln λn e −λ i=1 xi = n ln(λ) − λ ni=1 xi
Maximização: A EMV de λ, λ̂, obtém-se resolvendo
(
d ln L(λ|x)
|λ=λ̂ = 0 (ponto de estacionaridade)
dλ
λ̂ :
d 2 ln L(λ|x)
|λ=λ̂ < 0 (ponto de máximo)
dλ2
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
P
− ni=1 xi |λ=λ̂ = 0
λ̂ :
− n2 |λ=λ̂ < 0
( λ P
n
− ni=1 xi = 0
λ̂
⇔
− λ̂n2 < 0
(
λ̂ = Pnn xi
i=1
⇔
proposição verdadeira
n
λ
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo (cont.)
Estimador de MV de p:
EMV (λ) = Pn n X = (X )−1 (média da amostra).
i=1
i
Concretização:
λ̂
=
n
Pn
=
(x̄)−1
=
1.475−1 = 0.678
i=1 xi
inverso da média da amostra
Nota: Repare que não se trata de um estimador centrado de λ.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Distribuições amostrais
A caracterização probabilı́stica de estatı́sticas, de estimadores ou de suas funções é
crucial não só para avaliar as propriedades dos estimadores (como p.e., enviesamento,
EQM, eficiência), mas também como veremos a seguir, para obter estimativas
intervalares dos parâmetros desconhecidos (aos quais chamaremos intervalos de
confiança).
É então fundamental conhecer a distribuição de uma estatı́stica, de um estimador ou
de sua função, à qual chamamos distribuição amostral (ou distribuição por
amostragem).
Exemplo
Sendo X = (X1 , . . . , Xn ) uma a.a. de dimensão n proveniente da população X com
f.d. FX (x), então facilmente se mostra que
Estatı́stica
X(1) = mini=1,...,n Xi
X(n) = maxi=1,...,n Xi
Distribuição amostral
FX(1) (x) = 1 − [1 − FX (x)]n
FX(n) (x) = [FX (x)]n
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
A média é, em geral, o estimador de MV (ou de alguma forma está com ele
relacionada) do valor esperado de uma v.a. de interesse, pelo que é fundamental
conhecer a sua distribuição.
Seja X = (X1 , . . . , Xn ) uma a.a. de dimensão n proveniente da população X . Então
População
Distribuição amostral da média
X ∼normal(µ, σ 2 )
X com distribuição arbitrária (não normal)
E (X ) = µ, V (X ) = σ 2 , n grande
X ∼normal(µ,
X −µ
σ
√
n
σ2
)
n
∼normal(0, 1)
O 1o dos dois resultados é exacto e deve-se ao facto de a combinação linear de
normais ainda possuir distribuição normal.
O 2o resultado é aproximado e é conhecido como o Teorema do Limite Central e só
deve ser aplicado quando a v.a. não tem distribuição normal e a dimensão da amostra
é suficientemente grande.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo
Assuma que a pressão sistólica de uma população saudável segue uma distribuição
normal de média 120mmHg e desvio padrão 10mmHg . Num grupo de 25 pessoas, a
média da pressão sistólica foi de 124mmHg .
Qual a probabilidade de se encontrar uma média superior a esta numa amostra de 25
indivı́duos? Ou, dito de outro modo, qual a proporção de amostras de 25 indivı́duos
escolhidas ao acaso nessa população que têm uma média superior a 124mmHg ?
De acordo com o 1o dos resultados anteriores, a distribuição amostral da média segue
= 4, i.e.,
uma distribuição normal de parâmetros µ = 120 e σ 2 = 100
25
X ∼normal(120, 4).
A probabilidade pedida é então dada por
P(X > 124) = 1 − P(X ≤ 124) = 1 − FX (124) = 0.023
no scilab:
cdfnor(”PQ”, 124, 120, 2) = 0.977
com consulta das tabelas
−120
∼normal(0, 1)
Sendo Z = X √
10
25
−120
P(X ≤ 124) = P( X √
≤
10
25
124−120
10
√
25
Luı́sa Morgado
) = P(Z ≤ 2) = Φ(2).
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Intervalos de confiança
Para além de uma estimativa pontual para um parâmetro
desconhecido é importante obter um intervalo que nos dê uma
ideia da confiança que se pode depositar na estimativa pontual.
Essa estimativa intervalar é designada por intervalo de confiança
(IC).
A um intervalo de confiança está associado um grau de confiança,
usualmente representado por (1 − α) × 100%, cujos valores mais
usuais são 90%, 95% e 99% (ou, α = 0.1, 0.05, 0.01,
respectivamente).
Antes de mais é necessário descever a situação com que lidamos,
em particular
a v.a. X de interesse e a respectiva distribuição
o parâmetro desconhecido para o qual se pretende obter um IC
outro eventual parâmetro (conhecido ou não) da distribuição
de X .
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a média, variância conhecida
IC para o valor esperado de uma população normal com variância conhecida
Sendo Z =
X −µ
σ
√
n
, pretendemos determinar aα e bα tal que
P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α
ou ainda, recorrendo às tabelas ou ao scilab, determinar aα e bα tal que
P(Z < aα ) = α
aα = Φ−1 α
= −Φ−1 1 − α
2
2
2
⇔
α
α
−1
P(Z > bα ) = 2
bα = Φ
1− 2
Assim
P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α ⇔ P(aα ≤
X −µ
σ
√
n
σ
X − b α × √ ≤ µ ≤ X − aα ×
n
α
σ
α
⇔ P X − Φ−1 1 −
× √ ≤ µ ≤ X + Φ−1 1 −
×
2
n
2
⇔P
≤ bα ) = 1 − α
σ
=1−α
√
n
σ
=1−α
√
n
σ
σ
α
α
IC(1−α)×100% (µ) = x − Φ−1 1 −
× √ , x + Φ−1 1 −
×√
2
n
2
n
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a média, variância conhecida
IC para o valor esperado de uma população arbitrária com variância conhecida
Sendo Z =
X −µ
σ
√
n
∼normal(0, 1) (Teorema do limite central), pretendemos determinar
aα e bα tal que
P(aα ≤ Z ≤ bα ) ' 1 − α
ou ainda, recorrendo às tabelas ou ao scilab, determinar aα e bα tal que
P(Z < aα ) = α
= −Φ−1 1 − α
aα = Φ−1 α
2
2
2
⇐
P(Z > bα ) = α
bα = Φ−1 1 − α
2
2
Assim
P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α ⇔ P(aα ≤
X −µ
σ
√
n
σ
X − b α × √ ≤ µ ≤ X − aα ×
n
α
σ
α
−1
⇔P X −Φ
1−
× √ ≤ µ ≤ X + Φ−1 1 −
×
2
n
2
⇔P
≤ bα ) ' 1 − α
σ
'1−α
√
n
σ
'1−α
√
n
α
σ
α
σ
IC(1−α)×100% (µ) = x − Φ−1 1 −
× √ , x + Φ−1 1 −
×√
2
n
2
n
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo
O QI numa população segue uma distribuição normal de variância
152 . Com base numa amostra de dimensão 25, com média
amostral de 100, vejamos como contruir o IC a 95% para a média
na população.
Ora
α
σ
α
σ
−1
−1
IC(1−α)×100% (µ) = x − Φ
1−
× √ ,x + Φ
1−
×√
2
2
n
n
onde, neste caso α = 0.05.
0.05
No scilab, o comando cdfnor(”X
”, 0, 1, 1 − 0.05
2 , 2 ) devolve-nos o
0.05
−1
valor de Φ
1 − 2 = 1.96, logo
15
15
IC95% (µ) = 100 − 1.96 × √ , 100 + 1.96 × √
= [94.1, 105.6]
25
25
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Quando não conhecemos o valor de σ 2 na população, então a v.a.
deixa de ser útil. Neste caso,
σ2
será estimado por
Z =
X −µ
S
√
n
S2
X −µ
σ
√
n
∼normal(0, 1)
e usa-se a v.a.
∼ tn−1
e lê-se Z possui distribuição de t-student com (n − 1) graus de liberdade.
A distribuição de t-student é semelhante à distribuição normal reduzida. É
simétrica em relação à média, (0), mas com um desvio padrão dependente de
um parâmetro denominado graus de liberdade;
Existe uma distribuição de t-student diferente para cada no de graus de
liberdade;
Geralmente, os graus de liberdade correspondem à diferenç a entre a dimensão
amostral e o no de parâmetros a estimar.
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a média, variância desconhecida
IC para o valor esperado de uma população normal com variância desconhecida
Sendo Z =
X −µ
S
√
∼ t(n−1) , pretendemos determinar aα e bα tal que
n
P(aα ≤ Z ≤ bα ) ' 1 − α
ou ainda, recorrendo às tabelas ou ao scilab, determinar aα e bα tal que
(
α
aα = Ft−1
= −Ft−1
1− α
P(Z < aα ) = α
2
2
(n−1)
(n−1)
2
⇐
P(Z > bα ) = α
bα = Ft−1
1− α
2
(n−1)
2
P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α ⇔ P(aα ≤
X − Ft−1
(n−1)
S
√
n
S
X − bα × √ ≤ µ ≤ X − aα ×
n
α
S
α
1−
1−
× √ ≤ µ ≤ X + Ft−1
×
(n−1)
2
n
2
⇔P
⇔P
X −µ
≤ bα ) ' 1 − α
S
'1−α
√
n
S
'1−α
√
n
α
s
α
s
IC(1−α)×100% (µ) = x − Ft−1
1−
× √ , x + Ft−1
1−
×√
(n−1)
(n−1)
2
n
2
n
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
Exemplo
A duração em horas de uma pilha de certa máquina possui distribuição que se admite
normal com valor esperado e variância desconhecidas. Recolheu-se uma amostra de
10, tendo-se obtido o seguinte conjunto de dados:
x = (251, 238, 236, 229, 252, 253, 245, 242, 235, 230).
Determinemos um intervalo de confiança a 99% para µ.
∼ t(n−1) , o IC pedido é dado por
Considerando a v.a. Z = X√−µ
S
n
α
s
α
s
−1
IC(1−α)×100% (µ) = x − Ft−1
1
−
×
,
x
+
F
1
−
×
√
√
t
(n−1)
(n−1)
2
n
2
n
onde α = 0.01, n = 10, x = 241.1, s 2 = 79.66 e Ft−1
1−
(n−1)
No scilab, o comando cdft(”T ”, 9, 1 −
= Ft−1
1 − 0.01
= 3.2498, logo
2
(9)
0.01 0.01
, 2 )
2
"
IC99% (µ)
r
=
241.1 − 3.2498 ×
=
[231.927, 250.273]
Luı́sa Morgado
α
2
= Ft−1
1−
(9
0.01
2
devolve-nos o valor de
79.66
, 241.1 + 3.2498 ×
10
Estimação
r
79.66
10
#
.
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a média, variância desconhecida
IC para o valor esperado de uma população arbitrária com variância
desconhecida
Usa-se a v.a. Z = X√−µ
∼normal(0, 1) (Teorema do limite central). Pretendemos
S
n
determinar aα e bα tal que
P(aα ≤ Z ≤ bα ) ' 1 − α
Recorrendo às tabelas ou ao scilab, determinar aα e bα tal que
= −Φ−1 1 −
P(Z < aα ) = α
aα = Φ−1 α
2
2
⇐
α
P(Z > bα ) = 2
bα = Φ−1 1 − α
2
P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α ⇔ P(aα ≤
X −µ
S
√
n
S
X − b α × √ ≤ µ ≤ X − aα ×
n
α
S
α
−1
⇔P X −Φ
1−
× √ ≤ µ ≤ X + Φ−1 1 −
×
2
n
2
⇔P
α
2
≤ bα ) ' 1 − α
S
'1−α
√
n
S
'1−α
√
n
α
s
α
s
IC(1−α)×100% (µ) = x − Φ−1 1 −
× √ , x + Φ−1 1 −
×√
2
n
2
n
Luı́sa Morgado
Estimação
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a variância de uma população normal
IC para a variância de uma população normal com valor esperado desconhecido
Usa-se a v.a. Z =
(n−1)S 2
σ2
√
n
∼ χ2(n−1) e lê-se Z possui distribuição do qui-quadrado com
(n − 1) graus de liberdade. Como esta distribuição não é simétrica em relação à
origem e tem com suporte R+ temos que determinar aα e bα tal que
P(aα ≤ Z ≤ bα ) ' 1 − α

−1
α


2
 a α = Fχ 2
(n−1) ⇐
−1

b
=
F
1
− α

α

2
χ2
P(Z < aα ) = α
2
P(Z > bα ) = α
2
(n−1)


(n − 1)S 2


P(aα ≤ Z ≤ bα ) = 1 − α ⇔ P aα ≤
≤
b
'1−α
α
σ2
√
n



(n − 1)S 2 
(n − 1)S 2


≤ σ2 ≤
 ' 1 − α
⇔P
−1
α
α 
 F −1
1− 2
F 2
2
χ2
χ
(n−1)
(n−1)



(n − 1)S 2
(n − 1)S 2 


2
,

IC(1−α)×100% (σ ) = 
−1
α
α 
 F −1
1
−
F
2
2
χ2
χ2
(n−1)
Luı́sa Morgado
Estimação
(n−1)
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para a variância de uma população normal
IC para a variância de uma população normal com valor esperado conhecido
Procede-se como no caso anterior mas a distribuição de Z passa a ter (n) graus
de liberdade.
Nota: No scilab, o comando cdfchi(”X ”, n,
Luı́sa Morgado
α
,1
2
−
α
)
2
Estimação
devolve o valor de F −1
2
χ(n)
α
2
Estimação pontual
Estimação por intervalos
IC para uma proporção
Consideremos a população X ∼Bernoulli(p), onde a probabilidade de sucesso, p, é
desconhecida. Consideramos que a dimensão da amostra, n, é suficientemente grande
(n > 30).
Considera-se a v.a., com distribuição aproximada: Z =
r X −p
∼normal(0, 1).
X (1−X )
n
Determinamos aα e bα por
aα = −Φ−1 1 − α
2
bα = Φ−1 1 − α
2


X −p

P(aα ≤ Z ≤ bα ) ' 1 − α ⇔ P aα ≤ q
X (1−X )
n

α
⇔ P X − Φ−1 1 −
×
2
s
X (1 − X )
α
≤ p ≤ X + Φ−1 1 −
×
n
2
s

≤ bα  ' 1 − α

X (1 − X ) 
'1−α
n
O seguinte
aproximadamente igual a (1 −α) × 100%:
IC possui grau de confiança
q x(1−x)
q x(1−x)
α
−1
IC (p) = x − Φ
1− 2 ×
, x + Φ−1 1 − α
×
n
2
n
Luı́sa Morgado
Estimação