MAE126 - Noções de Estatı́stica II
Turma Prof. Popov
22 de abril de 2006
Coletânea de exercı́cios para a Prova 1
1. O intervalo [35.21, 35.99] é o intervalo com confiança 95%, construı́do a
partir de uma amostra de tamanho 100, para a média µ de uma população
Normal com desvio padrão igual a 2.
(a) Qual o valor encontrado para a média dessa amostra?
Temos que a amplitude desse intervalo é de 35.99 − 35.21 = 0.78.
Como os intervalos de confiança são construı́dos de forma simétrica,
é razoável supor que esses 0.78 estejam distribuı́dos simétricamente,
portanto = 0.39 para cada lado. Mas temos que o intervalo de
confiança é dado por:
[X − , X + ]
Tomando um desses valores e igualando ao que temos:
X − 0.39 = 35.99 ⇒ X = 35.6
(b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas uma confiança de 90%,
qual seria o novo intervalo de confiança?
IC(µ, 0.90) = [35.6 − z0.45 2/10, 35.6 + z0.45 2/10]
IC(µ, 0.90) = [35.27, 35.93]
2. Uma amostra de trinta dias do número de ocorrências policiais em um
certo bairro de São Paulo, apresentou os seguintes resultados: 7, 11, 8, 9,
10, 14, 6, 8, 8, 7, 8, 10, 10, 14, 12, 14, 12, 9, 11, 13, 13, 8, 6, 8, 13, 10, 14,
5, 14 e 10.
(a) Fazendo as suposições devidas, construa um intervalo de confiança
para a proporção de dias violentos (com pelo menos 12 ocorrências).
Use os dois enfoques e a confiança de 88%.
Temos que p̂ = 1/3. Pelo enfoque otimista, supondo p̂ um bom
estimador de p:
"
#
r
r
1
1/3.2/3 1
1/3.2/3
IC(p, 0.88) =
− z0.44
, + z0.44
3
30
3
30
IC(p, 0.88) = [0.1995, 0.4672]
1
Pelo enfoque conservador, maximizamos a variância:
"
#
r
r
1
1 1
1
IC(p, 0.88) =
− z0.44
, + z0.44
3
120 3
120
IC(p, 0.88) = [0.1914, 0.4753]
(b) Em um ano (360 dias) e com a mesma confiança de 88%, qual seria
a estimativa do número de dias violentos nesse bairro?
Como tivemos dois intervalos de confiança, um para cada enfoque na
abordagem, temos também duas estimativas para 360 dias, fazendo
as contas com os dois:
[360p̂min , 360p̂max]
[71.82, 168.19] (otimista)
[68.90, 171.18] (conservador)
(c) Dê uma interpretação para os intervalos encontrados em (1).
Os intervalos encontrados em (1) refletem os diferentes tipos de abordagem usados: pela abordagem otimista, estamos arriscando que p̂obs
é uma boa estimativa de p e portanto temos um intervalo de confiança com menor amplitude. No segundo caso, estamos supondo a
variância máxima, em contrapartida ficamos com um intervalo de
amplitude maior.
3. Numa pesquisa de mercado desejamos estimar a proporção de pessoas ue
compram o sabonete Bom-cheiro.
(a) Que tamanho de amostra devemos colher para que, com probabilidade 0.9, a estimativa não se desvie do verdadeiro valor por mais de
0.05?
Queremos , num dado intervalo de confiança IC(p, 0.9) de modo que
seja no máximo igual a 0.05. Temos então:
r
r
1
1
= zγ/2
⇒ 0.05 = z0.45
4n
4n
r
1
1
⇒ 0.03052 =
0.05/1.645 =
4n
4n
n = 268.74 ≈ 269
(b) Se tivermos a informação adicional de que a aceitação do sabonete
Bom-cheiro é no mı́nimo 0.8, qual deve ser o tamanho da amostra?
Como temos agora alguma informação sobre o valor de p, podemos usar a abordagem otimista, sem precisar maximizar a variância.
Como sabemos que a função f (p) = p(1 − p) é decrescente no intervalo [0.5, 1] e que p vale no mı́nimo 0.8, não corremos nenhum risco
em usar 0.8 no lugar de p : no máximo estaremos superestimando a
variância.
2
= zγ/2
r
p̂(1 − p̂)
n
r
0.16
0.8.0.2
⇒ 0.03052 =
n
n
n = 173.18 ≈ 173
0.05 = 1.645
(c) Decidimos colher uma amostra de tamanho 81. Qual o erro máximo
que cometemos com probabilidade 0.9?
Tomando a abordagem conservadora, ignorando a informação que
temos que p vale no mı́nimo 0.8, temos:
r
r
1
1
= zγ/2
⇒ = 0.1645
4n
324
= 0.914
(d) Para a amostra de tamanho 81, qual a probabilidade de que o erro
máximo seja 0.08?
Tomando novamente a abordagem conservadora:
r
r
1
1
⇒ 0.08 = zγ/2
= zγ/2
4n
324
zγ/2 = 1.44
Procurando esse valor na tabela, temos:
γ
= 0.4251 ⇒ γ = 0.8502
2
3