Márcio da Silva Passos Telles
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0621206/CB
Measurable Cardinals and Relative Consistency
Proofs in Set Theory
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Dissertation presented to the Postgraduate Program in Mathematics of the Departamento de Matemática, PUC–Rio as partial fulfillment of the requirements for the degree of Mestre em
Matemática
Adviser: Prof. Nicolau Corção Saldanha
Rio de Janeiro
September 2008
Márcio da Silva Passos Telles
Measurable Cardinals and Relative Consistency
Proofs in Set Theory
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0621206/CB
Dissertation presented to the Postgraduate Program in Mathematics of the Departamento de Matemática do Centro Técnico
Cientı́fico da PUC–Rio as partial fulfillment of the requirements
for the degree of Mestre em Matemática. Approved by the
following commission:
Prof. Nicolau Corção Saldanha
Adviser
Departamento de Matemática — PUC–Rio
Prof. George Svetlichny
Departamento de Matemática — PUC–Rio
Prof. Luiz Carlos Pinheiro Dias Pereira
Departamento de Filosofia — PUC–Rio
Prof. Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira
Instituto de Matemática – IMPA
Prof. Edward Hermann Haeusler
Departamento de Informática — PUC–Rio
Prof. José Eugenio Leal
Coordinator of the Centro Técnico Cientı́fico — PUC–Rio
Rio de Janeiro — September 9, 2008
All rights reserved.
Márcio da Silva Passos Telles
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0621206/CB
Graduated from the Pontifı́cia Universidade Católica do Rio
de Janeiro (Brazil) in Pure Mathematics.
Bibliographic data
Telles, Márcio da Silva Passos
Measurable Cardinals and Relative Consistency Proofs in
Set Theory / Márcio da Silva Passos Telles ; adviser: Nicolau
Corção Saldanha . — 2008.
46 f. : il. ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em matemática)-Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Teses. 2. Construtibilidade. 3. Cardinais
mensuráveis. 4. Forcing. 5. Teoria de modelos. 6. Teoria
de conjuntos. 7. Lógica matemática. I. Saldanha, Nicolau
Corção. II. Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Matemática. III. Tı́tulo.
CDD: 510
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Acknowledgments
To my adviser Nicolau Corção Saldanha for the great amount of Mathematics I have learned from him and for his being always present, patient and
available.
To CNPq and PUC–Rio for their financial support without which this
work would not have been realized.
To my mother, father and sisters for their unconditional support.
To my dear colleagues from PUC–Rio, specially Guilherme Frederico
Lima for his priceless help and hints in using LATEX.
To the staff of the Mathematics Department for their efficient help.
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Resumo Expandido
O objetivo do presente trabalho é prover uma introdução ao mesmo
tempo rigorosa e legı́vel de dois já tradicionais métodos para obtenção de resultados de consistência relativa em teoria de conjuntos, a saber: Construtibilidade e Forcing. Considerado primeiramente por Gödel, o Universo Construtı́vel
é um modelo de ZF que apresenta certo caráter minimal: é o menor modelo de
ZF contendo todas as sequências finitas de ordinais. Além de ser um modelo
de ZF, mostraremos que o Universo Construtı́vel satisfaz três outros princpios: o Axioma da Escolha, a Hipótese Generalizada do Contı́nuo e o Axioma
da Construtibilidade. Um raciocı́nio bastante simples mostrará, então, serem
estes princı́pios consistentes relativamente a ZF.
Por razões que se tornarão claras mais tarde, o método de modelos
internos encontra no Universo Construtı́vel uma espécie de beco sem saı́da.
Para estabelecer a consistência das negações dos supra-referidos princı́pios com
a teoria de conjuntos, um novo método, batizado de Forcing, foi inventado por
Cohen e é ainda hoje abundante fonte de provas de consistência relativa.
Como uma variante de Construtibilidade, apresentamos também o Modelo de Chang, o menor modelo de ZF contendo todas as sequências enumeráveis de ordinais. Como exemplo do papel que os axiomas de grandes cardinais desempenham na Teoria de Conjuntos de nosso tempo, mostraremos
que a existência de uma infinidade não-enumerável de cardinais mensuráveis
implica a violação do Axioma da Escolha no Modelo de Chang.
Abstract
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0621206/CB
Telles, Márcio da Silva Passos; Saldanha, Nicolau Corção. Measurable
Cardinals and Relative Consistency Proofs in Set Theory. Rio
de Janeiro, 2008. 46p. MScThesis — Departamento de Matemática,
Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
In the present work we present two methods for obtaining relative
consistency proofs in Set Theory, namely: constructibility and forcing. As
a variant of constructibility we also present the Chang model L(Onω ), the
least inner model of ZF containing all ω–sequences of ordinals. We show that
the existence of uncountably many measurable cardinals implies that L(Onω )
models ZF+¬AC.
Keywords
Constructibility.
Measurable cardinals.
Set theory. Mathematical logic.
Forcing.
Model theory.
Contents
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0621206/CB
1
Introduction
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2 Preliminaires
2.1 Classes and Relations
2.2 Models of Set Theory
2.3 Models and Relative Consistency Proofs
2.4 Transitive Models
2.5 Some Useful Principles
2.6 Absoluteness
2.7 Relativization of Classes and Functions
2.8 Absoluteness for Models of ZF
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3 Constructibility
3.1 Introduction
3.2 Formalization of Definability
3.3 The Constructible Universe
3.4 Consistency of V = L
3.5 Consistency of AC
3.6 Consistency of GCH
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4 Forcing
4.1 Introduction
4.2 First Definitions
4.3 Forcing Extensions
4.4 Consistency of V 6= L
4.5 The Forcing Relation
4.6 Consistency of ¬CH
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5 Measurable Cardinals and Ultrapowers of the Universe
5.1 Introduction
5.2 Measurable Cardinals
5.3 Ultrapowers of the Universe
5.4 Some Technical Lemmas
5.5 The Chang Model
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Bibliography
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