UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E
AUTOMAÇÃO
Revisão de Controle e Servomecanismos
Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Programação
13:00 hs - Avaliação Inicial (Nivelamento)
13:20 hs – Revisão
17:00 hs – Avaliação Final (Comparação)
17:20 hs – Comentários Finais
17:30 hs – Encerramento
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Tópicos da Revisão
Transformadas de Laplace e Função de Transferência
Equações Diferenciais e Diagrama de Blocos
Resposta Temporal de um Sistema de Controle
Controladores PID
Erro no Regime Estacionário (Erro de off-set)
Sistemas de Controle de Segunda Ordem e Análise de Pólos
Estabilidade de Routh
Lugar das Raízes
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Transformada de Laplace e Função de Transferência
Transformadas de Laplace – Facilita a resolução de Equações Diferenciais
Lineares.
Função de Transferência – Razão entre a transformada de Laplace da Saída
de um processo pela transformada de Laplace da Entrada de um processo.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Equações Diferenciais e Diagrama de Blocos
Todo sistema físico quando modelado matematicamente acaba
expresso por uma equação diferencial.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Equações Diferenciais e Diagrama de Blocos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Equações Diferenciais e Diagrama de Blocos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Equações Diferenciais e Diagrama de Blocos
Aplica Laplace, e acha a função de Transferência de cada Bloco
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Concurso SANEPAR-2006
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Concurso SANEPAR-2006
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Solução da Equação Diferencial Usando Laplace
Uma estação espacial, mostrada na figura abaixo mantém seus painéis solares
apontados na direção do sol. Ao admitir que a equação diferencial abaixo representa
a modelagem matemática do sistema de rastreamento solar que será utilizado para
girar o painel por intermédio de juntas rotativas chamadas juntas rotativas solares alfa
e sendo y(t) a posição angular real da junta, ou seja, a saída do sistema, determine
y(t) usando transformada de laplace.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Resposta Temporal de um Sistema de Controle
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Ação de Controle Proporcional
A Relação entre a saída e o sinal de erro e(t) é dada pelo ganho Kp
Onde Kp é denominado Sensibilidade proporcional ou ganho.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Ação de Controle Integral
Neste caso, o valor da saída é proporcional a integral do sinal de erro
atuante.
Onde Ki é constante ajustável
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Ação de Controle Proporcional-mais-Integral
Nota-se na Figura 5-8 (c), que para um tempo Ti
dobramos o valor de Kp
Onde:
Kp é o ganho Proporcional
Ti é o Tempo Integral.
Revisão de Controle e
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Ação de Controle Proporcional-mais-Derivativa
Onde:
Kp é o ganho Proporcional
Td é o Tempo Derivativo.
Revisão de Controle e
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Ação de Controle Proporcional-mais-Integral-mais-Derivativa
Esta ação de controle é uma ação combinada que reúne as vantagens de cada uma
das ações Proporcional, Integral e Derivativa.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Controladores PID
O controle proporcional tem como principal finalidade colaborar na estabilização do
sistema de controle
 O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode
piorar a resposta transitória do sistema, inclusive levando a instabilidade.
 A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o
sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória.
Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de controle,
pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser
empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do
projetista.
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Erro no Regime Estacionário (Erro de off-set)
O Erro no Regime estacionário é dado por:
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Sistemas de Controle de Segunda Ordem e Análise de Pólos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Sistemas de Controle de Segunda Ordem e Análise de Pólos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Sistemas de Controle de Segunda Ordem e Análise de Pólos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Sistemas de Controle de Segunda Ordem e Análise de Pólos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Revisão de Controle e
Servomecanismos
Análise do Lugar das Raízes
Estabilidade de Routh
Técnica que permite determinar se um sistema de controle é estável ou não, por meio
da análise de sua Função de Transferência de Malha Fechada.
1
1 s 4  4 s 3 1s 2  2 s  2
s4
0
s3
s2
a
s1
c
s0
d b
b
4 x1  2 x1
a
 0,5
4
4 x 2  1x0
b
2
4
0,5 x 2  2 x 4
c
 14
0,5
Análise do Lugar das Raízes
Estabilidade de Routh
Técnica que permite determinar se um sistema de controle é estável ou não, por meio
da análise de sua Função de Transferência de Malha Fechada.
+
-
1
1 s 4  4 s 3 1s 2  2 s  2
s4
1
s3
4
O Número de mudanças de Sinal na primeira coluna da
s2
0,5
Matriz da Routh, representa o número de pólos no semi-
s1
 14
plano direito no plano complexo.
s0
2
Sistema Instável
Análise do Lugar das Raízes
Estabilidade de Routh
Pode-se calcular o valor de ganho apropriado para se estabilizar o sistema.
+
K
G s  
1
s 3  60 s 2  1125 s
-
s 3  60s 2  1125s  K  0
s3
s2
s1
s0
1
60
67500 K
60
K
1125
K
0  K  67500
67500  K
 0  K  67500
60
K 0
Análise do Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
Os 7 passos para desenharmos perfeitamente o gráfico do lugar das raízes
são:
1o Passo: Determinar o número de ramos
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
3o Passo: Determinar os pontos de partida e de término
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
jω
j1
x
σ
-3
-2
-1
1
- j1
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
z1  2
z 2  3
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
m
n
1
1

1   z 1   p
i
i
Quem são os pólos e os zeros?
p1  1  j1
p2  1  j1
jω
j1
x
σ
-3
-2
-1
1
- j1
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
1
1
1
1



  2   3  1 j  1 j
Usando esses valores, temos:
  3    2  1 j   1 j

  2  3
 2  2  2
2  5
2  2

 2  5  6  2  2  2
 3  5 2  10  2  0
Donde se tira que:

z1  2
z 2  3
p1  1  j1
p2  1  j1
0
 2,4
 2,3
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no
infinito
o
5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real
jω
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
x

180
 90o
n
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos
1  2  90   x  18,43o  14,03o  90   x
1
 18,43o
3
1
2  arctag  14,03o
4
1  arctag
 x  122,46o
jω
j1
ϕ2
- 3 -2,3 - 2
x
1
ϕ1
4- 1
θx
σ
3
- j1
1
x
≈90o
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Com
 x  122,46o
jω
122,46o
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
x
Por Simetria
122,46o
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários
z1  2 p1  1  j1
Com os pólos e os zeros
pode-se terminar a FT.
z2  3 p2  1  j1
s  2s  3
G s   2
adicionando o ganho K e resolvendo a FT de Malha
s  2s  2
fechada, encontramos a seguinte equação característica:
1  K s 2  5K  2s  6K  2  0
Aplicando Routh, temos:
s2
1
s
s0
1  K 
5K  2
6K  2
6K  2
0
5K  2  0
K  2 / 5  0,2
1  K s 2  6 K  2  0
1  0,2s 2  6  0,2  2  0
s 2  4,4 / 1,2  3,66
s   j1,91
Análise do Lugar das Raízes
Voltando ao gráfico...
Com
s   j1,91
jω
j1,91
122,46o
j1
x
σ
- 3 -2,3 - 2
-1
1
- j1
-j1,91
x
Análise do Lugar das Raízes
Exercício de Fixação
Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo e
determine os pontos de entrada e saída.
z1  1
z 2  2
p1  5
p2  6
jω
j1
x
x
-6
-5
σ
-4
-3
-2
-1
- j1
Análise do Lugar das Raízes
1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.
2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real
z1  1
3o Passo: Determinar os pontos de chegada.
m
n
1
1

Quem são os pólos e os zeros?
1   z 1   p
i
i
1
1
1
1



Usando esses valores, temos:
 1   2   5   6
jω
  2   1   6    5

  1  2   5  6
2  3
2  11

x
x
 -2 6 3-5,4
 -25  2 -11
4  30 - 3
8  56  68  0
2
z 2  2
p1  5
p2  6
j1
σ
-2 -1,56 - 1
Donde se tira que:
- j1

 1,56
 5,43
Análise do Lugar das Raízes
4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no
infinito
o
5o
Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real 
6o e 7o Passos: Não se aplicam
jω
j1
x
x
- 6 -5,4 - 5
σ
-4
-3
-2 -1,56 - 1
- j1
180
 90o
n
Análise do Lugar das Raízes