Capítulo 8 Gráficos de controle para variáveis
mensuráveis
8.1 Introdução
8.2 Gráfico de controle para médias
8.3 Gráficos de controle para variabilidade: os gráficos R
eS
8.4 Gráficos de controle Xi individual e a amplitude móvel
(AM)
8.5 Exemplo: Qualidade em ação – gráficos de controle
na administração
8.6 Questões para discussão e exercícios
8.7 Referências
1
8.1 Introdução
O gráfico de controle mais utilizado hoje em dia e por sinal o primeiro gráfico
de controle lançado por Shewhart na década de 1920 é o gráfico para
variáveis mensuráveis.
X
O plano de amostragem, para produzir as mensurações que dão origem aos
cálculos dos limites de controle e o monitoramento do processo, consiste
em subgrupos pequenos (até 9 elementos é tamanho típico) e
regularmente tirados dentro do processo por exemplo hora em hora.
Embora os lotes de centenas ou milhares de itens são muito maiores que os
subgrupos, a utilização do gráfico de controle tem sido mostrado muito
eficiente para monitorar o processo e melhorar o resultado numa
maneira contínua e permanente.
2
8.2 Gráfico de controle X para
médias
• Na linha de produção de ração animal da
Empresa Mi-Au, sempre houve um problema no
momento do enchimento do pacote de um
quilo.
• A clientela reclamava muito sobre os pacotes
com menos ração, e eventualmente a empresa
perdia clientes.
• Em determinado dia, caíram os pacotes de
ração nas garras dos fiscais e encontraram
vários pacotes com muito menos que um quilo
de ração resultando em multas pesadas e
desconfiança sobre a qualidade.
3
Tabela 8.1 –
Mensurações em
gramas de 25
amostras
horárias de
tamanho 5.
ELEMENTOS
DA
AMOSTRA
1
2
3
4
5
ELEMENTOS
DA
AMOSTRA
1
2
3
4
5
ELEMENTOS
DA
AMOSTRA
1
2
3
4
5
ELEMENTOS
DA
AMOSTRA
1
2
3
4
5
ELEMENTOS
DA
AMOSTRA
1
2
3
4
5
1
1006
1005
1006,04
1032,35
1011,35
6
1021
1023,78
1020
1046,87
1009,24
11
1003
1031,54
1017,65
979,96
1013,52
16
1038,32
1013,77
1009,32
998,27
980,34
21
992,37
962,4
1019,46
1059,09
1045,39
AMOSTRA HORA EM HORA
2
3
4
1009,69
1033,68
1051,89
1000
1001
1031
985,31
1000
1027
1001
1016,9
1026,36
987,81
1033,01
1005,77
7
8
9
981,37
987,4
1030,14
1010,28
994,03
1034,07
990,56
990,67
973,01
990,46
1025,03
994,89
954,43
1048,18
973,62
12
13
14
999
1015,25
978,48
1039,08
1020
995,55
1034
1010
989,48
1001
1006,9
1006,95
999,11
1011,67
1002,07
17
18
19
1050
1040,13
1000,13
1001,73
1025,99
1018,76
1045
985,04
996,8
1023,59
1000
1056,75
1036
1011
1024,6
22
23
24
993,8
988,47
1049,23
1003,28
984,03
1035,78
1005,36
982,06
999
1022,28
988,64
1011
971,96
978,32
1008,32
5
963,31
993,69
1022,02
990,05
968,85
10
1024,88
967,38
1018,81
984
1035,11
15
1021,71
1026
1065,55
1050
1041,78
20
975,07
1036,42
1020,49
1012,66
1003,89
25
1028,27
997,39
1038,43
1017,86
987,317
4
Figura 8.1 – Todas as 125 (5*25)
mensurações de pacotes de ração.
1080
1060
1040
1020
gramas
1000
980
960
940
5
Gráfico de controle - cálculos
•
É muito comum na indústria utilizar o desvio padrão calculado
com a média das amplitudes e o coeficiente d2 da primeira
coluna de coeficientes da tabela 2.3.
•
desvio padrão do processo =
•
Como já foi visto no capítulo 2, o desvio padrão para se
converter em erro padrão é dividido pelo √n (raiz quadrado de
n), onde n é o tamanho da amostra. Então
•
erro padrão =
R
d2
R
/√n. Veja tabela 2.3
d2
6
Tabela 2.3 - Coeficientes de Shewhart
para os gráficos de controle
Tamanho da amostra = n
n=
d2
B3
B4
2
1,128
0
3,267
3
1,693
0
2,568
4
2,059
0
2,266
5
2,326
0
2,089
6
2,534
0,03
1,97
7
2,704 0,118
1,882
8
2,847 0,185
1,815
9
2,970 0,239
1,761
10
3,078 0,284
1,716
11
3,173 0,321
1,679
12
3,258 0,354
1,646
13
3,336 0,382
1,618
14
3,407 0,406
1,594
15
3,472 0,428
1,572
20
3,735
0,51
1,49
25
3,931 0,565
1,435
D3 (R)
0
0
0
0
0
0,076
0,136
0,184
0,223
0,256
0,284
0,308
0,329
0,348
0,414
0,459
D4 (R)
3,267
2,575
2,282
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
1,716
1,692
1,671
1,652
1,586
1,541
A2 ( X )
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,285
0,266
0,249
0,235
0,223
0,180
0,153
7
continuação: Gráfico de controle cálculos
•
Os limites de controle então são 3 erros padrão acima e abaixo da média
ou alvo do processo. Na tabela 2.3, a última coluna é A2. Esses
coeficientes, os quais se modificam com o tamanho n dos subgrupos,
transforma média das amplitudes ( ) em três erros padrão:
R
•
R
 d2
 σ 
3
  3
n
 n


•
•
•
•


  A2R


A utilização do coeficiente A2 facilita muito o cálculo dos limites de
controle para o próprio operador no chão da fábrica. Ainda assim com
fábricas totalmente informatizadas, os coeficientes do Shewhart
sobrevivem como a base dos cálculos de variabilidade em software
avançado. Portanto, os limites de controle são:
LCS X  A2 R
E a linha central é
LCI  X  A2 R
X
8
X
Tabela 8.2 – Médias e amplitudes dos
subgrupos
MÉDIA DO SUBGRUPO
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
1
1012,15
27,35
6
1024,18
37,62
11
1009,13
51,58
16
1008
57,98
21
1015,74
96,69
MÉDIA TOTAL
MÉDIA DAS AMPLITUDES
1010,17
47,67
MÉDIA DO SUBGRUPO
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
MÉDIA DO SUBGRUPO
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
MÉDIA DO SUBGRUPO
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
MÉDIA DO SUBGRUPO
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
2
996,76
24,37
7
985,42
55,85
12
1014,43
40,08
17
1031,26
48,26
22
999,34
50,31
3
1016,92
33,68
8
1009,06
60,77
13
1012,76
13,09
18
1012,43
55,09
23
984,3
10,31
4
1028,4
46,11
9
1001,15
61,06
14
994,51
28,47
19
1019,41
59,95
24
1020,66
50,23
5
987,58
58,7
10
1006,04
67,72
15
1041,01
43,83
20
1009,71
61,34
25
1013,85
51,11
9
Figura 8.2 - O gráfico de controle
Veja os dados da Tabela 8.2
10
Tabela 8.3 – Médias e amplitudes dos subgrupos após
eliminação do subgrupo 15
1
MÉDIA DO SUBGRUPO
1012,15
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
27,35
6
MÉDIA DO SUBGRUPO
1024,18
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
37,62
11
2
3
4
996,76 1016,92
1028,4
24,37
33,68
46,11
7
8
9
985,42 1009,06 1001,15
55,85
60,77
61,06
12
13
14
5
987,58
58,7
10
1006,04
67,72
15
MÉDIA DO SUBGRUPO
1009,13 1014,43 1012,76
994,51 eliminado
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
51,58
40,08
13,09
28,47 eliminado
16
17
18
19
20
MÉDIA DO SUBGRUPO
1008 1031,26 1012,43 1019,41 1009,71
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
57,98
48,26
55,09
59,95
61,34
21
22
23
24
25
MÉDIA DO SUBGRUPO
1015,74
999,34
984,3 1020,66 1013,85
AMPLITUDE DO SUBGRUPO
96,69
50,31
10,31
50,23
51,11
MÉDIA TOTAL
X
MÉDIA DAS AMPLITUDES
1008,83
47,24
11
Figura 8.3 – Gráfica de controle das
amplitudes R
120
Amplitudes dosSubgrupos
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
Subgrupo
12
Atualizações
• Gráficos de controle devem ser atualizados
periodicamente, uma vez por mês é muito comum, e
novos limites calculados.
• No entanto, jamais utilizarão nas atualizações os
subgrupos que estavam sob a influência comprovada de
causas especiais.
• Esses dados devem ser arquivados longe dos gráficos
de controle, mas lembrados como parte da história das
melhorias e outras conquistas da empresa.
13
8.3 Gráficos de controle para
variabilidade: os gráficos R e S
O gráfico das amplitudes (R) é o mais comum. (
• LCS = D4* R
A média das amplitudes
Linha no meio = R
R
)
LCI = D3* R
é a linha central do gráfico e os
limites de controle a 3 desvios padrão da média são calculados
usando os coeficientes D4 e D3:
onde D4 e D3 são coeficientes da tabela 2.3 os quais convertem a
média das amplitudes em limites de controle.
Veja figura 8.3.
Nesse caso, o valor de LCS é 100,58 (= 2,115*47,67) e do LCI é 0
(pois D3 é 0). Nenhum ponto está fora dos limites de controle e,
conseqüentemente, o gerente deve sentir tranqüilo que nenhuma
causa especial está influenciando o processo. Claro que tem um
ponto próximo ao limite
14
Figura 8.3 – Gráfica de controle
das amplitudes R
120
Amplitudes dosSubgrupos
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
Subgrupo
15
Gráfico de controle dos desvios padrão S
S
O valor de
S
é a média de
 X
i  X
2
n 1
todos os desvios padrão de todos os subgrupos.
LSC = B4*S
Linha no meio =
S
LIC = B3*
S
16
Tabela 8.4 – Desvios padrão para
cada subgrupo
DESVIO PADRÃO
DESVIO PADRÃO
DESVIO PADRÃO
DESVIO PADRÃO
DESVIO PADRÃO
MÉDIA DOS DESVIOS PADRÃO S
1
11,56
6
13,84
11
19,25
16
21,30
21
39,25
2
10,09
7
20,29
12
20,27
17
19,32
22
18,43
3
16,43
8
26,55
13
5,04
18
21,55
23
4,39
4
16,41
9
29,64
14
11,13
19
24,00
24
20,97
5
23,29
10
28,91
15
17,90
20
22,76
25
21,23
19,35
17
Figura 8.4 – Gráfico de controle
dos desvios padrão S
45,00
40,00
d
e
s
v
i
o
p
a
d
r
ã
o
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
1
5
10
21
25
subgrupo
18
8.4
Gráficos de controle Xi individual e
a amplitude móvel (AM)
• O gráfico individual é utilizado quando os subgrupos têm
apenas um elemento como acontece regularmente na
indústria química e alimentar.
• O problema aqui é como definir a variabilidade e
calcular a amplitude quando o subgrupo tem apenas um
elemento. No final, a variabilidade de um único número é
zero.
• A solução desse problema é de trabalhar com uma
amplitude móvel. Na tabela 8.5, foi colocada uma
seqüência de temperaturas de uma composição
química.
19
Tabela 8.5 –
Temperaturas
em graus
Celsius de
uma
composição
química.
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Média
Dados
95,43
99,85
100,09
101,73
102,18
98,37
101,21
96,26
98,90
96,92
95,70
95,05
97,81
97,84
103,09
95,18
97,61
97,22
101,78
103,32
102,03
104,02
98,68
98,38
99,11
Amplitude Móvel
4,42
0,24
1,65
0,45
3,81
2,84
4,96
2,64
1,98
1,23
0,65
2,76
0,03
5,25
7,91
2,42
0,39
4,56
1,54
1,29
1,98
5,34
0,30
2,55
20
Cálculos para os Gráficos de
controle Xi individual
• O gráfico de controle terá linha central igual a 99,11, a média da
coluna das mensurações, e limites de controle são calculados com o
coeficiente de Shewhart, d2 = 1,128 para n = 2 (Veja tabela 2.3).
• O limite de controle superior LSC é
LSC = 105,89 ( = 99,11 + 3*2,55/1,128),
e o limite de controle inferior LIC é
LIC = 92,328 ( = 99,11 - 3*2,55/1,128).
• Nenhum dado da tabela 8.5 está fora dos limites de controle,
assim o processo está sofrendo apenas causas comuns.
Veja o gráfico de controle na figura 8.5.
21
Figura 8.5 – Gráfico de controle para
valores individuais
22
8.7 Referências
• Monteiro, M. (2006). Coordenação. Gestão da
Qualidade, Teoria e Casos, Editora Elsevier/Campus.
• Samohyl R. W. (2006), Capítulo 9 de “Controle Estatístico
de Processo e Ferramentas da Qualidade”, em Livro texto
da coordenação de Marly Monteiro, Gestão da
Qualidade, Teoria e Casos, Editora Elsevier/Campus.
•
• Shewhart, W. (1931). Economic control of quality of
manufactured product. New York: D. Van Nostrand
Company. pp. 501
23