GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sombras – Poliedros
© antónio de campos, 2010
LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA
No caso de figuras planas, apenas uma das faces pode ter sombra própria. No caso
dos poliedros, pode haver mais do que uma face com sombra própria.
A divisão entre as faces com sombra prórpia e sem sombra própria é designada por
linha separatriz luz/sombra.
A linha separatriz luz/sombra limita tanto a sombra própria como a sombra
projectada.
Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer ao plano
tangente luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção
dos planos tangentes luz/sombra e o plano da base.
Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer a planos tangentes
luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos dois planos
tangentes luz/sombra e o plano da base.
xz
xz
fλ2
fλ2
fλ1
λ2
fλ1
l≡i
I
Vs
L
V
A’s
λ1
x
B’s
xy
C’
B’
D
A
x
t’ ≡ hλ2
i
λ1
D’s
D’v
A’v
D’
A’
λ2
t’ ≡ hλ2
B
C
t ≡ hλ1
I
xy
t ≡ hλ1
Para os casos de pirâmides ou cones, os planos
tangentes luz/sombra contêm o vértice do sólido.
Para os casos de foco luminoso para prismas
ou cilindros, a recta de intersecção será
paralela às arestas laterais do sólido, e
passa pelo foco luminoso.
Para os casos de direcção luminosa em prismas ou cilindros, a recta de intersecção
será entre o plano luz/sombra e o plano da base.
xz
fλ2
λ2
fλ1
fλ
D’
A’
A’s
D’s
C’
B’
A’v
x
λ
B’s
I
B
l
t’ ≡ hλ2
D
A
λ1
C
t ≡ hλ1
hλ ≡ i
xy
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA
PROJECTADA DE
POLIEDROS COM
BASES
HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria
e sombra projectada da
pirâmide quadrada nos planos
de projecção, considerando um
foco luminoso.
Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da
pirâmide.
l2
L2
V2
I1 ≡ Vv1
Vs2
A2
x
C2
Ds1 ≡ D1
C1
hλ2
V1
Determinar o ponto de intersecção do raio
luminoso l com o plano de base.
A1
Conduzir pelo ponto de intersecção I, as
rectas tangentes à base da pirâmide.
As arestas laterais [BV] e [DV] são duas
arestas da linha separatriz luz/sombra.
B2
D2
B1 ≡ Bs1
hλ1
L1
l1
I2
É dada uma
pirâmide triangular
oblíqua, situada no
1.º diedro,
com a base contida
num plano frontal
φ.
A (3; 2; 1) e B (0;
2; 4) são dois
vértices do
triângulo
equilátero [ABC],
que é a base da
pirâmide. V (-1; 8;
7,5) é o vértice da
pirâmide.
Determina as
sombras própria e
projectada da
pirâmide nos
planos de
projecção,
considerando uma
foco luminoso L (3; 10; 9).
y≡ z
l2
V2
t’2
t2
C2
Cs2
L2
B2
I2
Bs2
Vs2
A2
x
Av1
(hφ) ≡ t1 ≡ t’1
I1 C1
As1
A1
B1
l1
V1
L1
Pretende-se a sombra
própria e sombra
projectada do prisma
quadrangular oblíquo nos
planos de projecção,
considerando a direcção
luminosa convencional. O
prisma está situado no 1.º
diedro e tem as bases
contidas em planos
horizontais.
(fν1)
A’2 D’2
C’2
D’s2
C’s2
r2
l2
P2
Conduzir uma recta (recta r)
(fν) ≡ i2 ≡ t2 ≡ t’2 R2
paralela às arestas laterais e um
raio luminoso (raio l), por um
ponto qualquer exterior (ponto
P).
x
Determinar a recta de
intersecção (recta i), entre o
R1
plano (plano λ) definido pelas
r1
P1
rectas r e l, e o plano da base de
referência do prisma.
Conduzir, as rectas tangentes
(rectas t e t’) à base de
referência do prisma.
B’2
B’s2
S2
B2 C2
Ds2
D1
D’1
S1
t’1
i1
A2 D2
As1
A1
Os pontos de quebra podem ser obtidos através das sombras
reais, ou com linhas paralelas às arestas laterais [BB’] e [AD],
que são respectivamente arestas frontal e horizontal.
Bs1
A’1
l1
As arestas laterais [BB’] e
[DD’] são duas arestas da
linha separatriz luz/sombra.
C’1
C1
B1
t1
B’1
É dado um prisma
triangular oblíquo,
situada no 1.º diedro,
com a base contida
num plano frontal φ.
O prisma tem 5 cm
de altura e as suas
arestas laterais são
horizontais e fazem
ângulos de 70º (a.d.)
com o Plano Frontal
de Projecção.
Os pontos A (4; 2; 3)
e B (0; 2; 2) são dois
vértices do triângulo
equilátero [ABC], que
é a base do prisma
que está contida no
plano φ.
Determina as
sombras própria e
projectada do
prisma nos planos de
projecção,
considerando a
direcção
convencional da luz.
Determinar a recta de
intersecção (recta i), entre
o plano (plano λ) definido
pelas rectas h e l, e o plano
da base de referência do
prisma.
Conduzir uma recta (recta
h) paralela às arestas
laterais e um raio
luminoso (raio l), por um
ponto qualquer exterior
(ponto P).
Conduzir, as rectas
tangentes (rectas t e
t’) à base de
referência do prisma.
As arestas laterais [AA’] e
[CC’] são duas arestas da
linha separatriz
luz/sombra.
y≡ z
t’2
C2
C’2
t2
l2
i2
A2
B’2
B2
As2
M2
x
Cs2
A’2
P2
h2
Os pontos de quebra
podem ser obtidos
através das sombras
reais, ou com linhas
paralelas às arestas
laterais [AA’] e [CC’],
que são arestas
horizontais.
N2
(hφ) ≡ i1 ≡ t1 ≡ t’1
N1
M1
C’s1
A1
C1
B1
P1
A’s1
l1
(hφ1)
h1
A’1
C’1
B’1
B’s1
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA
PROJECTADA DE
POLIEDROS COM
BASES DE PERFIL
Pretende-se a sombra própria
e sombra projectada da
pirâmide quadrangular regular
nos planos de projecção,
considerando a direcção
convencional da luz.
Conduzir um raio luminoso (raio l)
pelo vértice da pirâmide.
fπ ≡ hπ≡ e1 ≡ hπr ≡ t1 ≡ t2 ≡ t’1 ≡ t’2
D2
C2
l2
A2
tr
Ir
x ≡ fπr
Vs1
As arestas laterais [AV] e [CV] são
duas arestas da linha separatriz
luz/sombra.
Cs2
B2
t’r
Determinar o ponto de
intersecção do raio luminoso l
com o plano de base.
Conduzir pelo ponto de intersecção
I, as rectas tangentes à base da
pirâmide.
O2
V2
Ds2
I1
Vv2
(e2)
I2
Cr
C1
B1
V1
Dv1
Br
As1
Or
O1
l1
Dr
D1
A1
Ar
É dado um prisma
quadrangular regular,
com bases de perfil.
A base mais à esquerda
é o quadrado [ABCD],
sendo A (0; 2) e B (5;
0) dois vértices
consecutivos do
quadrado.
tr
Ir
l2
P2
g2
ir
Cr
Dr
I2
fα ≡ hα
D2
D’2
I’2
I’r
C2
t’r
O prisma tem 6 cm de
altura.
Determina as sombras
própria e projectada
do prisma nos planos de
x ≡ hπr
projecção,
considerando a
direcção convencional
da luz.
Br
Conduzir uma recta (recta g) paralela
às arestas laterais e um raio luminoso
(raio l), por um ponto qualquer
exterior (ponto P).
Determinar a recta de intersecção
(recta i), entre o plano (plano λ)
definido pelas rectas g e l, e o plano
da base de referência do prisma, via a
determinação dos pontos de
g1
intersecção (pontos I e I’).
Conduzir, as rectas tangentes
(rectas t e t’) à base de referência
do prisma.
As arestas
laterais [BB’] e
[DD’] são duas
arestas da linha
separatriz
luz/sombra.
fπ ≡ hπ≡ e2 ≡ fπr ≡ i1 ≡ i2
P1
l1
Ds2
C’2
D’s2
A2 ≡ Ar ≡ As2
Av1
A’2
A1 ≡ B2 ≡ (e1)
A’1≡ B’2
D1
D’1
I’1
B1 ≡ Bs1
B’1 ≡ B’s1
C1
C’1
I1
C’s1
C’v2