```Universidade da
Beira Interior
AULA 11
MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA
PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM
FRENTE ABRUPTA
João Leal (UBI)
IST, Lisboa
2006
Beira Interior
Observações experimentais
clear water
o modelo conceptual tem que
incluir o transporte de
sedimentos
sheet-flow
Vista lateral
Planta
o escoamento pode ser conceptualizado como
2 camadas de transporte (clear water + sheet-flow)
Beira Interior
MODELO CONCEPTUAL
(morfodinâmico)
h
hw
hc
uw
clear water
uc
sheet-flow
zb
immobile bed
Depth average
theory

C  Cc hc uc ( x )  uc ( y )
2
  w 1   s  1 C 
2

w h w
Cc
ub = 0
u  uc hc  uwhw  h
C w= 0
C b= 1 - p
h u( x )  u ( y )
2
2

w h w + c h c
NOTA:
 u x  

u
u y  
Beira Interior
EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
U F  U  G  U 
MORFODINÂMICO
t
Variáveis dependentes
 zs 
 u h 
( x) 
U
u( y ) h 


 ze 

x

S
y
Vectores de fluxo
hu( y )
hu( x )








wuw( x ) uw( y ) hw  c uc ( x ) uc ( y ) hc 
 wuw( x ) 2 hw  c uc ( x ) 2 hc   
F U  

 G U  
2
2

u
u
h


u
u
h
c c( x) c( y ) c 
 wuw( y ) hw  c uc ( y ) hc   
 w w( x ) w ( y ) w




Chu( y )
Chu( x )





  g w hw2  2w hw hc  c hc 2
Termos de fonte
0




  g   w hw  c hc  zb  bc ( x ) 


x
S

z
  g   w hw  c hc  b  bc ( y ) 
y




0



2
Variáveis dependentes
cota da sup. livre
caudal mássico por
zs  h  zb
uh
ze  1  p  zb  Cc hc
cota do fundo equivalente aos
sedimentos acumulados na coluna de água
Beira Interior
EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
HIDRODINÂMICO
U F  U  G  U  U
U
U



 A  U
 B  U
S
t
x
y
t
x
y
Termos de fonte
Variáveis dependentes
Vectores de fluxo
 h 


U   u( x ) h 


u( y ) h 


hu( x )


hu( y )




2
2

F  U   u( x ) h  gh 2  G  U  
u( x ) u( y ) h 




u( y ) 2 h  gh 2 2 
 u( x ) u( y ) h 



0

A  U    gh  u x  2

 u x  u y 

1
2u x 
u y 
0 

0 

u x  

A
u  gh 
  x




u x 


u  gh 
  x 


0

B  U    u x  u y 


2
 gh  u y 




0


zb


S    gh
bc ( x )  
x


  gh zb  

bc ( y )  

y

0
u y 
0

1 
u x  


2u y  

B 
u
 gh 
y






u y 


u

  y   gh 
Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK
 O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no
âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação
aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos
esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia.
 Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os
esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que
 O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante
de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à
classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante
uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.
Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
x  x
Diferenças Finitas
U F

0
t x
t  t
Uin1 

1 p
Ui  Uic
2
Previsão
 n t n
n
U

F

F
i
i

1
i

x
p
Ui  
U n  t F n  F n
i 1
 i x i

Correcção




 n t p
p
U

F

F
i 1
se n  2, 4,...
 i x i
c
Ui  
U n  t F p  F p
se n  3,5,...
 i x i 1 i


se n  2, 4,...


se n  3,5,...
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas,
respectivamente, nos passos de previsão e de correcção
Beira Interior
tempo
(t )
n+ 1
correcção
(progressivas)
n
previsão
(regressivas)
n 1
n
i 1
i
i +1
FRONT. DE JUSANTE
n+ 1
FRONT. DE MONTANTE
x
barragem
ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
1
0
1
2
CONDIÇÕES INICIAIS
3
m c 1 m c m c +1
m x 1 m x
espaço
(x )
Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
x  x
Diferenças Finitas
t  t
y  y
U F G


0
t x y
Uin,j1 

1 p
Ui , j  Uic, j
2
Previsão
Uip, j
t
 n
U

i
,
j

x

 U n  t
 i , j x

 U n  t
 i , j x

t
 Uin, j 
x

F
n
i 1, j
F
n
i, j

 Fin1, j

F
 Fin, j

F
 Fin1, j

n
i 1, j
n
i, j
t
x
t

x
t

x
t

x
 Fin, j 

Correcção
G
n
i , j 1
 G in, j

se n  2, 6,...
G
n
i , j 1
 G in, j

se n  3, 7,...
G
n
i, j
 G in, j 1

se n  4,8,...
G
n
i, j
 G in, j 1

se n  5,9,...
Uic, j
t
 n
 Ui , j  x

 U n  t
 i , j x

 U n  t
 i , j x

t
Uin, j 
x

F
p
i, j

F
 Fi ,pj

F
 Fi p1, j

F
 Fi ,pj

p
i 1, j
p
i, j
t
x
t

x
t

x
t

x
 Fi p1, j 
p
i 1, j
G
p
i, j
 G ip, j 1

se n  2, 6,...
G
p
i, j
 G ip, j 1

se n  3, 7,...
G
p
i , j 1
 G ip, j

se n  4,8,...
G
p
i , j 1
 G ip, j

se n  5,9,...
Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas,
respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos
fluxos segundo x (F) e segundo y (G)
Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
y
i ,j +1
p
y
i ,j +1
c
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
p
i -1,j
c
c
p
i ,j -1
Tempo de cálculo n
Tempo de cálculo n +1
y
i ,j +1
y
i ,j +1
p
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
c
i +1,j
x
i ,j
i ,j -1
p
p
c
i ,j -1
Tempo de cálculo n +2
c
i +1,j
x
i ,j
i -1,j
p
p
i ,j -1
Tempo de cálculo n +3
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema
de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na

a)
b)
SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN
 3,0
3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
-1,0
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema primeira ordem (Godunov)
c)
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de segunda ordem (MacCormack)
apresenta oscilações numéricas
Beira Interior
a)
b)
CORRECÇÃO DE ALTA
RESOLUÇÃO TVD

3,0

3,0
dos
2,5
 A tentativa de eliminar as2,5oscilações numéricas resultantes
termos de ordem superior
que
2,0 deu origem aos esquemas TVD
2,0
garantem que a variação1,5
total das sucessivas soluções
1,5 numéricas
n 1
n
não aumenta no tempo, ou
1,0 seja, TV  U   TV  U 
1,0
-1,0
-0,5
1,0
0,5
geramdistância
novos
0,0
 Esta propriedade garante que não se
-1,0
-0,5
0,0
mínimos ou
máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não
são decrescentesb)ou crescentes, respectivamente.c)

1,0
0,5
distância
3,0

3,0
2,5
2,5
2,0
2,0
1,5
1,5
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de MacCormack sem TVD
1,0
-1,0
-0,5
0,0
1,0
0,5
distância
esquema de MacCormack com TVD
1
0,5
distânc
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações.
A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da
linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida
por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por
matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados
através da solução do problema de Riemann entre duas células de
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição
de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a
convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias).
 A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema
de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico,
aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa,
é convergente, então converge para uma solução fraca
(descontínua).
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida,
podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para
que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição
de entropia:
 k  Uesquerda   Sdes   k  U direita 
0,5
esquema de MacCormack sem condição de
entropia (choque não físico)
Y [m]
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-8
-6
-4
-2
0
2
x [m]
4
6
8
10
12
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em
conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na
introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas
centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo
Uin,j1 
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y






Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Uin,j1 
Din1 2, j
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y




1 3 k
 t k
  i 1 2, j ik1 2, j 1 
ai 1 2, j
2 k 1
 x
Condição de entropia



k
 eik1 2, j
1


i

1
2,
j
 

Valores próprios da matriz aproximada Ai 1 2, j
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
Coeficientes da linearização de Ai 1 2, j
Din, j 1 2
Vectores próprios da matriz aproximada Ai 1 2, j
1 3 k
 t k
  i , j 1 2 ik, j 1 2 1 
ai , j 1 2
2 k 1
 x
Condição de entropia

k
 eik, j 1 2
1


i
,
j

1
2
 

Valores próprios da matriz aproximada Bi , j1 2
Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)
Coeficientes da linearização de Bi , j1 2
Vectores próprios da matriz aproximada Bi , j1 2
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com
secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas
conhecidas aproximações de Roe
direcção x
ci 1 2, j 
u x i 1 2, j 
u y i 1 2, j 
direcção y
hi 1, j  hi , j 

g
2
hi 1, j u x i 1, j  hi , j u x i , j
hi 1, j  hi , j
hi 1, j u y i 1, j  hi , j u y i , j
hi 1, j  hi , j
ci , j 1 2 
u x i , j 1 2 
u y i , j 1 2 
hi , j 1  hi , j 

g
2
hi , j 1 u x i , j 1  hi , j u x i , j
hi , j 1  hi , j
hi , j 1 u y i , j 1  hi , j u y i , j
hi , j 1  hi , j
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e
os coeficientes resultantes da linearização são dados por
ai1,3
1 2, j
matriz Ai 1 2, j
 u x i 1 2, j  ci 1 2, j
ei1,3
1 2, j
1,3
i 1 2, j 
 1 


  ai1,3
1 2, j 


u
  y i 1 2, j 
hi 1, j  hi , j
2
i21 2, j 
1

matriz Bi , j1 2
ai1,3
, j 1 2  u y i , j 1 2  ci , j 1 2
ai21 2, j  u x i 1 2, j
ei21 2, j
 0 


 0 
ci 1 2, j 


ei1,3
, j 1 2

1


1


 u x i , j 1 2 


1,3
 ai , j 1 2 


ai2, j 1 2  u y i 1 2, j
ei2, j 1 2
 0 


 ci , j 1 2 
 0 



 hi 1, j u x i 1, j  hi , j u x i , j  u x i 1 2, j hi 1, j  hi , j 
 
 
 

2ci 1 2, j 


 hi 1, j u y i 1, j  hi , j u y i , j  u y i 1 2, j hi 1, j  hi , j 
 
 
 

ci 1 2, j 
1,3
i , j 1 2 
hi , j 1  hi , j
2
i2, j 1 2 

1

1

 hi , j 1u y i , j 1  hi , j u y i , j  u y i , j 1 2 hi , j 1  hi , j 
 
 
 

2ci , j 1 2 


 hi , j 1u x i , j 1  hi , j u x i , j  u x i , j 1 2 hi , j 1  hi , j 
 
 
 

ci , j 1 2 
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983)
escreve-se
1,3
i 1 2, j
 a1,3
 i 1 2, j

1,3
 i 1 2, j

se
1,3
ai1,3
1 2, j  i 1 2, j
se
1,3
ai1,3
1 2, j  i 1 2, j

1,3
i , j 1 2

1,3
1,3
1,3
1,3


1,3
i 1 2, j  max 0, ai 1 2, j  ai , j , ai 1, j  ai 1 2, j 
 a1,3
 i , j 1 2

1,3
 i , j 1 2

se
1,3
ai1,3
, j 1 2  i , j 1 2
se
1,3
ai1,3
, j 1 2  i , j 1 2


1,3
1,3
1,3
1,3


1,3
i , j 1 2  max 0, ai , j 1 2  ai , j , ai , j 1  ai , j 1 2 
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
de Van Albada, o “minmod”, o “superbee” ou o de Van Leer, entre
ik1 2, j 
rik1 2
rik1 2, j  rik1 2, j
1  rik1 2, j

t k

aik1 2 s 1 
ai 1 2 s  ik1 2 s
x




t k  k
aik1 2 1 
ai 1 2  i 1 2

x


com
1 se aik1 2  0
s
k
1 se ai 1 2  0
Beira Interior
CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
 Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem
apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O
sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração
devido à existência de mais uma equação referente à conservação da
massa de sedimentos.
 A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a
determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores
próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do
sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.
Beira Interior
 O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos,
tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-FriedrichsLewy.
 Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte
forma:
t  Cr 
xy
 max
x 2  y 2
Passo de tempo
Número de Courant
Valor máximo das características no
instante de tempo anterior
Beira Interior
ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
 Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais
em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário
ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de
forma ao sistema ser fisicamente conservativo.
 Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará
U F  U  G  U 


S
t
x
y
Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente
conservativo.
escreve-lo na forma conservativa
Beira Interior
Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais
prismáticos com secção rectangular e sem atrito
variáveis
primitivas
variáveis
conservativas
h  hu

0
t
x
h q

0
t x


q  q2 h  gh2 2

0
t
x


u  u2 2  gh

0
t
x
NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos
mas o segundo não é fisicamente conservativo.
U FU

0
t
x
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Beira Interior
Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque
Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções
descontínuas de sistemas de leis de conservação
hiperbólicos
F  Si U

Si
F(UR )  F(UL )  Si UR  UL 
com
UR
U FU

0
t
x
UL
x
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Beira Interior
Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com variáveis conservativas
qR  qL


hR  hL 
q 2 h  gh 2 2  q 2 h  gh 2 2  Scons q  q 
 R

 R
R
R
L
L
L
L

Scons
ghL
 uR 
hR  hL 
2hR
Formulações conservativas VS. não-conservativas
Beira Interior
Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema
com variáveis primitivas
hRuR  hLuL


hR  hL 
u 2 2  gh  u 2 2  gh   Sncons u  u 
 R
 R
R
L
L
L

Sncons
hL2
 uR  2g
hR  hL
hR hL
Formulações conservativas VS. não-conservativas
choque S
Beira Interior
facilmente se demonstra que Scons  Sncons
50
40
30
20
10
0
Scons
Sncons
Si
UR
UL
0
5
10
15
20
Força do choque hR/hL
x
CONCLUSÃO:
erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do
choque
Beira Interior
Exemplo:
0,5
Y [m]
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-8
-6
-4
-2
8
6
4
2
x [m]
solução de Ritter
RUBATS - variáveis dependentes h e q
RUBATS - variáveis dependentes h e u
0
10
12
Beira Interior
MODELO NUMÉRICO
conservação da massa da
mistura
de movimento da mistura nas
direcções x e y
conservação da massa
de sedimentos
correção TVD
aproximações de Roe
condição de entropia de Harten e Hymen
Limitador de fluxo de Van Leer
Beira Interior
 A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack
traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de
correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial,
mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.
Uin,j1 
1 p
t n
t n
Ui , j  Uic, j 
Di 1 2, j  Din1 2, j 
Di , j 1 2  Din, j 1 2
2
x
y






Beira Interior



Din1 2, j  i 1 2, j Ui 1, j  Ui , j  i1 2, j Ui 2, j  3Ui 1, j  3Ui , j  Ui 1, j
2

 2
 2
 2
i 1 2, j  max i , j , i 1, j
 4
i 1 2, j
4

 2
i , j  
 2
 

i 1 2, j
4
 max 0,    
 
u x i 1 2, j  ci 1 2, j
 


 2
 u 
x i, j




 ci , j
zsi 1, j  2 zsi , j  zsi 1, j
z
si 1, j
 2 zsi , j  zsi 1, j

2
2
2
i , j1 2  max i , j , i, j1
 4
i , j 1 2

4

 2
i , j  
 2
2
 

i , j1 2
4


 max 0,   

u y i , j 1 2  ci , j 1 2  


 
4
   1 256
2
   1 4
Din, j 1 2  i , j1 2 Ui , j 1  Ui , j  i, j1 2 Ui , j 2  3Ui , j 1  3Ui , j  Ui , j 1
2
 u 
y i, j
 ci , j


zsi , j 1  2 zsi , j  zsi , j 1
z
si , j 1
 2 zsi , j  zsi , j 1
Beira Interior
TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
 O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na
resolução numérica de equações.
 Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um
esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação
de um esquema “upwind”.
 No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de
esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a
sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.
Beira Interior
TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
 Tendo em conta o problema não homogéneo:
U F  U  G  U 


S
t
x
y
 o esquema de divisão é construído considerando a solução de três
problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma
equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)

U F  U 

 0 t
t
x
  U

Uinicial  U n


U G  U 

 0  t
t
y
  U


U F  U 

 0
t
x

Uinicial  U adv 2 
U
 S U
t
Uinicial
t 2

 t

n 1
  U
Beira Interior
TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
aplicação de um esquema de divisão (“splitting”)
 Partindo das equações anteriores demonstra-se que:
Uin,j1  Uin, j 
 
t
t
Fi 1 2, j  Fi 1 2, j 
G i , j 1 2  G i , j 1 2  tS Uis, j
x
y



3
em que Uis, j  1    Uin, j  Uiadv
com
,j

0   1
 Apesar de alguns autores referirem que  = 0 é a pior escolha, ainda
assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que Uis, j  Uin, j
Beira Interior
TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Discretização de derivadas no termo de fonte
 Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema
declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas
 Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo

 x

 x
 zbi , j 1  zbi , j  y

y  
 zbi , j  zbi , j 1  y
 zbi 1, j  zbi , j

zb x  
 zbi , j  zbi 1, j
zb

 x
F x   Fi , j  Fi 1, j  x
G y   G i , j 1  G i , j  y
G y   G i , j  G i , j 1  y
se F x  Fi 1, j  Fi , j
se
se
se
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através
da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito
exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o
contorno desse domínio.
 Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada
fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema.
 Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro
condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas.
• As condições físicas são aquelas que podem ser impostas
livremente, e que representam a informação física que se pretende
introduzir no domínio de cálculo.
• As condições numéricas constituem a informação adicional que é
necessária para definir completamente o vector das variáveis
dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições
têm que ser consistentes com as propriedades físicas do
escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser
também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser
ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto
 O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada
ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as
características do sistema de equações. Assim, não são necessárias
condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas
do tipo:
hm
h  x, y , t  0   
 h j
hsm
zb  x, y, t  0   
 hs j
se x  0
se x  0
se x  0
se x  0
q x   x, y, t  0   0
q y   x, y, t  0   0
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
 No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não
é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de
características que entra em cada ponto do contorno depende do facto
de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita.
 As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser
estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase
líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto.
Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o
número de Froude
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede de montante:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
q x  1, y, t   0
q y  1, y, t   0 C 1, y, t   0
uma condição numérica associada a 2
Parede de jusante:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,
q  mx , t   0, 4 2 g h  mx , t   h j 
32
três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
C  x,0, t   C  x,2, t 
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede lateral esquerda:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
q x   x, 0, t   q x   x, 2, t 
q y   x, 0, t   q y   x, 2, t 
C  x,0, t   C  x, 2, t 
uma condição numérica associada a 2
Parede lateral direita:
uma condição física referentes à
característica negativa: 2,



q y  x, my  1, t  q y  x, my  1, t

três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4
C  x,0, t   C  x,2, t 
Beira Interior
CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Parede que constitui o alargamento:
três condições físicas referentes às
características positivas: 1 e 4,
associadas à fase líquida, e 3,
q x   mc  1, y, t   q x   mc  1, y, t  com
q y   mc  1, y, t   q y   mc  1, y, t  com
y  bm
y  bm
C  mc  1, y, t   C  mc  1, y, t  com y  bm
uma condição numérica associada a 2
Beira Interior
Instalação Experimental
9.5
1.0
1.0 0.8
1.0
1.0
lift-gate
0.5
downstream
2.0
0.5 0.5 0.8
perspex
wall
2.0
0.2
0.5
2.0
9.7
upstream
LEGEND:
lift mechanism
Planta do canal
video camera
filming area
pressure tranducer
in the lateral wall
pressure transducer
in the bottom
Beira Interior
Condições iniciais
Lift-gate
ensaios: fundo fixo e fundo
móvel (areia e pedra-pomes)
water
movable bed
0.07 m
0.40 m
Upstream
Downstream
Fundo de areia
diâmetro mediano, d = 0.8 mm
Fundo de pedra-pomes
diâmetro mediano, d = 1.3 mm
Beira Interior
AREIA
Vista frontal
Beira Interior
PEDRA-POMES
Vista frontal
Beira Interior
Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs
Componentes da velocidade, u(x) and u(y)
AREIA
zs
Vista lateral
u(x)
Planta
u(y)
Planta
Beira Interior
Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs
Componentes da velocidade, u(x) and u(y)
PEDRA-POMES
zs
Vista lateral
u(x)
Planta
u(y)
Planta
Beira Interior
Cota da sup. livre, zs
T = 20
Areia
Pedra-pomes
A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico.
O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal
mais lenta
Beira Interior
Componentes da velocidade, u(x) e u(y)
Areia
T = 20
Pedra-pomes
u(x)
u(y)
Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes.
A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.
Evolução da cota da sup. livre
0.8 0.5 0.5
a)
0
a)
P7
15
T ()
20
P10
P12
15
T ()
20
P10
P12
25
30
numerical
0.3
Zs (-)
Pedra-pomes
P4
10
2.0
P1
5
0.2
0.1
0.0
0
P1
5
P4
10
P7
25
30
numerical
downstream
0.0
1.0
0.1
1.0
1.0
0.2
2.0
Zs (-)
Areia
0.3
upstream
Beira Interior
Evolução da cota da sup. livre
0.8 0.5 0.5
c)
1.0
0.2
0.1
0.0
c)
20
P9
25
30
numerical
0.3
0.2
0.1
2.0
Zs (-)
Pedra-pomes
P6
15
T ()
2.0
P3
10
0.0
0
P3
5
10
P6
15
T ()
P9
20
25
numerical
30
downstream
5
1.0
0
1.0
Zs (-)
Areia
0.3
upstream
Beira Interior
```