Microeconomia I Prof. Edson Domingues Minimização de Custos Referências VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2003 (6a edição americana). Capítulo 20 Minimização de custos Uma firma minimiza os custos se produz qualquer nível de produção y 0 ao menor custo total. c(y) denota o menor custo total possível de produzir y unidades. c(y) é a função de custo total. Minimização de custos Quando a empresa observa um conjunto de preços de insumos w = (w1,w2,…,wn) a função de custo total pode ser escrita como c(w1,…,wn,y). O problema da minimização de custos Considere uma firma que usa dois insumos e produz 1 produto. A função de produção é y = f(x1,x2). Tome um nível de produção y 0 dado. Dados os preços dos insumod w1 e w2, o custo da cesta de insumos (x1,x2) é w1x1 + w2x2 O problema da minimização de custos Dados w1, w2 e y, o problema da minimização de custos da firma é resolver min w 1x1 w 2x 2 x1 ,x 2 0 sujeito a f ( x1 , x 2 ) y . O problema da minimização de custos Os níveis x1*(w1,w2,y) e x1*(w1,w2,y) na cesta de insumos mais barata são as demandas condicionais pelos insumos 1 e 2. O (menor possível) custo total para produzir y unidades é portanto * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ). Demandas condicionais por insumos Dados w1, w2 e y, como a cesta mais barata é encontrada? E como a função de custo total é calculada? Isocustos Uma curva que contém todas as cestas de insumo com o mesmo custo toal é uma curva de isocusto. E.g., dados w1 e w2, a isocusto de $100 possui a equação w1x1 w 2x 2 100. Isocustos Em geral, dados w1 e w2, a equação de isocusto de $c é i.e. w1x1 w 2x 2 c w1 c x2 x1 . w2 w2 Inclinação é - w1/w2. Isocustos x2 c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2 c’ < c” x1 Isocustos x2 Inclinação = -w1/w2. c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2 c’ < c” x1 A isoquanta de y’ unidades x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)? f(x1,x2) y’ x1 O problema da minimização de custos x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)? f(x1,x2) y’ x1 O problema da minimização de custos x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)? f(x1,x2) y’ x1 O problema da minimização de custos x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)? f(x1,x2) y’ x1 O problema da minimização de custos x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)? x 2* f(x1,x2) y’ x 1* x1 O problema da minimização de custos x2 Num ponto de solução interior: (a) f ( x*1 , x*2 ) y x 2* f(x1,x2) y’ x 1* x1 O problema da minimização de custos x2 Num ponto de solução interior: (a) f ( x*1 , x*2 ) y e (b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta x 2* f(x1,x2) y’ x 1* x1 O problema da minimização de custos x2 Num ponto de solução interior: (a) f ( x*1 , x*2 ) y e (b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta, logo: w1 PMg1 TMST em ( x1* , x2* ). w2 PMg 2 x 2* f(x1,x2) y’ x 1* x1 Exemplo para Cobb-Douglas Função de produção Cobb-Douglas y f ( x1 , x 2 ) x11/ 3x 22/ 3 . Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais pelos insumos da firma? Exemplo para Cobb-Douglas Na cesta de insumos (x1*,x2*) que minimiza o custo de produzir y unidades: * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) (b) w 1 y / x1 w2 y / x2 e * 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) ( 2 / 3)( x*1 )1/ 3 ( x*2 ) 1/ 3 x*2 . * 2x1 Exemplo para Cobb-Douglas * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) w 1 x*2 . (b) w 2 2x*1 Exemplo para Cobb-Douglas * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) De (b), 2w 1 * * x2 x1 . w2 w 1 x*2 . (b) w 2 2x*1 Exemplo para Cobb-Douglas * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) De (b), 2w 1 * * x2 x1 . w2 w 1 x*2 . (b) w 2 2x*1 Substituir em (a) para obter * 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2 2/ 3 Exemplo para Cobb-Douglas * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) w 1 x*2 . (b) w 2 2x*1 2w 1 * * x1 . From (b), x 2 w2 Substituir em (a) para obter 2/ 3 2/ 3 2w 1 * 1/ 3 2w 1 * * y ( x1 ) x1 x1 . w2 w2 Exemplo para Cobb-Douglas * 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 ) w 1 x*2 . (b) w 2 2x*1 2w 1 * * x1 . From (b), x 2 w2 Substituir em (a) para obter 2/ 3 2/ 3 2w 1 * 1/ 3 2w 1 * * y ( x1 ) x1 x1 . w2 w2 2/ 3 * w2 y é a demanda condiciona Logo x1 2w 1 da firma pelo insumo 1. Exemplo para Cobb-Douglas 2w 1 * * w2 * x1 x1 e Como x 2 2w 1 w2 2/ 3 1/ 3 2w 1 2w 1 w 2 * x2 y y w2 w 2 2w 1 2/ 3 y é a demanda condicional da firma pelo insumo 2. Examplo para Cobb-Douglas Portanto a cesta de insumos mais barata que produz y unidades é * * x1 ( w 1 , w 2 , y ), x 2 ( w 1 , w 2 , y ) w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2 Curvas de demanda condicional por insumos x2 w1 e w2 fixos. y y y x1 Curvas de demanda condicional por insumos x2 y w1 e w2 fixos. y y x*2 ( y ) y y x*2 ( y ) y y x*1 ( y ) x*2 x1 x*1 ( y ) x*1 Curvas de demanda condicional por insumos x2 y w1 e w2 fixos. y y y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y ) y y y y y x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*2 x1 x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 Curvas de demanda condicional por insumos x2 y w1 e w2 fixos. y y y y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 * x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y ) y y y y y y x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 ( y ) x 2 ( y ) x1 x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 x*1 ( y ) Curvas de demanda condicional por insumos x2 y w1 e w2 fixos. y caminho de expansão da produção x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y ) y y y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 * y y y y y y x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 ( y ) x 2 ( y ) x1 x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 x*1 ( y ) Curvas de demanda condicional por insumos x2 y w1 e w2 fixos. y caminho de expansão da produção x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y ) y y y x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 * y y y y x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 ( y ) x1 demanda cond. pelo insumo 2 x 2 ( y ) demand cond. y pelo y insumo 1 x*1 ( y ) x*1 ( y ) x*1 * x1 ( y ) Exemplo para Cobb-Douglas Para a função de produção y f ( x1 , x 2 ) x11 / 3x 22 / 3 a cesta de insumo mais barata que produz y unidades é x*1 ( w 1 , w 2 , y ), x*2 ( w 1 , w 2 , y ) w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2 Exemplo para Cobb-Douglas Logo a função de custo total da firma é c( w 1 , w 2 , y ) w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y ) Exemplo para Cobb-Douglas Logo a função de custo total da firma é * * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ) 2/ 3 1/ 3 w2 2w 1 w1 y w2 y 2w 1 w2 Exemplo para Cobb-Douglas Logo a função de custo total da firma é c( w 1 , w 2 , y ) w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y ) w2 w1 2w 1 1 2 2/ 3 2/ 3 2w 1 y w2 w2 1/ 3 y w 11/ 3 w 22/ 3 y 21/ 3 w 11/ 3 w 22/ 3 y Exemplo para Cobb-Douglas Logo a função de custo total da firma é c( w 1 , w 2 , y ) w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y ) w2 w1 2w 1 1 2 2/ 3 2/ 3 2w 1 y w2 w2 4 y w 11/ 3 w 22/ 3 y 21/ 3 w 11/ 3 w 22/ 3 y 1/ 3 2 w 1w 2 y. 3 1/ 3 Exemplo para Complementos Perfeitos Função de produção y min{4x1 , x 2 }. Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais pelos insumos da firma? Qual a função de custo total? Exemplo para Complementos Perfeitos x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} y’ x1 Exemplo para Complementos Perfeitos x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} y’ x1 Exemplo para Complementos Perfeitos x2 4x1 = x2 Qual a cesta de insumos de menor custo para y’ unidades? min{4x1,x2} y’ x1 Exemplo para Complementos Perfeitos x2 4x1 = x2 Qual a cesta de insumos de menor custo para y’ unidades? min{4x1,x2} y’ x2* = y x 1* = y/4 x1 Exemplo para Complementos Perfeitos Função de produção y min{4x1 , x 2 } demandas condicionais pelos insumos da firma y * x1 ( w 1 , w 2 , y ) 4 e * x 2 ( w 1 , w 2 , y ) y. Exemplo para Complementos Perfeitos Função de produção y min{4x1 , x 2 } demandas condicionais pelos insumos da firma y * x1 ( w 1 , w 2 , y ) 4 e * x 2 ( w 1 , w 2 , y ) y. Então a função de custo total é * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ) Exemplo para Complementos Perfeitos Função de produção y min{4x1 , x 2 } demandas condicionais pelos insumos da firma y * x1 ( w 1 , w 2 , y ) 4 e * x 2 ( w 1 , w 2 , y ) y. Então a função de custo total é * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x*2 ( w 1 , w 2 , y ) y w1 w1 w 2y w 2 y. 4 4