Guia
Didático
6
MATEMÁTICA
Sumário
Apresentação ....................................................................................................3
Projeto Apoema .................................................................................................4
1. Ensino de Matemática .....................................................................................6
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
A razão de aprendermos Matemática..........................................................................................................6
Uma proposta para ensinar e aprender Matemática....................................................................................7
O papel do professor ..................................................................................................................................8
O papel do aluno........................................................................................................................................9
Nossas escolhas para um livro didático de Matemática .............................................................................9
2. Competências e habilidades ..........................................................................10
3. Organização do Projeto .................................................................................12
3.1 Estrutura ................................................................................................................................................. 12
3.2 Quadros de conteúdos ............................................................................................................................. 14
4. Orientações deste volume .............................................................................20
4.1 Objetivos de cada unidade ....................................................................................................................... 20
4.2 Comentários das atividades ..................................................................................................................... 22
5. Avaliação ....................................................................................................24
5.1 Respostas ................................................................................................................................................ 30
6. Bibliografia .................................................................................................31
6.1 Educação matemática.............................................................................................................................. 31
6.2 História da Matemática ............................................................................................................................ 31
6.3 Conteúdos da Matemática ....................................................................................................................... 32
Apresentação
Vivemos numa época em que as informações podem ser acessadas com poucos comandos e em telas transparentes que interagem de modo assustador. Equipamentos e ferramentas computacionais menores e mais poderosos são criados a cada instante, tornando outros
ultrapassados. Testemunhamos transformações diversas, que acabam modificando formas e
meios de acesso ao conhecimento. No caso da educação, exemplos de ensino a distância
são realidade, e livros digitais ou com apelos computacionais estão tomando o espaço dos
tradicionais. Será que o folhear das páginas de um livro de papel será totalmente substituído
pelo arrastar do dedo em uma tela? E o papel do professor diante dessa verdadeira revolução,
perderá o valor?
Não acreditamos numa resposta definitiva ou mesmo temporária para essas duas perguntas.
Entretanto, estamos convictos de que o papel do professor jamais terá fim, mesmo que sofra
algumas transformações geradas por tantas outras. Talvez o giz vire um pincel ou apenas um
toque num quadro digital, talvez o livro possa de fato ser apresentado em outro formato; quem
sabe a participação dos alunos será de um modo diferente, as avaliações on-line, as pesquisas
direcionadas diretamente para sites confiáveis... Apesar disso tudo, algo parece que não será extinto, muito pelo contrário, sofrerá valorização cada vez maior: o trabalho do professor. Alguém
precisará organizar, gerenciar e filtrar as informações que produzem conhecimentos, promover
a interação necessária dos objetos digitais com os alunos para que eles possam, assim, sistematizar conteúdos de forma significativa. Não adianta apresentar-lhes belíssimas imagens
da natureza ou mesmo criadas por computador, se não conduzirmos adequadamente uma
reflexão sobre elas. Se a ideia é abordar o assunto simetria, por exemplo, boas perguntas serão
necessárias para que os alunos pensem em respostas motivadoras. Um livro didático até poderá
propor algumas dessas questões condutoras, mas, sem a interpretação e a motivação dada pelo
professor, não haverá construção alguma.
Professor, o Projeto Apoema foi elaborado para ser um referencial importante para o trabalho em sala de aula. A disciplina de Matemática sofreu inúmeras modificações nos últimos
anos. Poucos perceberam que sua importância aumentou substancialmente em razão das
transformações tecnológicas já mencionadas aqui.
Apoema é uma palavra da língua tupi que significa “aquele que vê mais longe”; então,
acreditamos que pensar e praticar a matemática de forma autônoma são o grande desafio
que se espera de todos os envolvidos, que veem mais longe. Assim, uma coleção de livros de
Matemática deve ter o apelo que estimula o folhear das páginas pelo aluno, além de organizar
objetivamente seu trabalho, professor.
O autor
PROJETO APOEMA
BAGAGEM CULTURAL
gráficos
Recursos visuais e info
a
r
lora
exp
m
possibilita
interdisciplinaridade.
BAGAGEM CULTURAL
CONHEÇA OS
RECURSOS E AS
POSSIBILIDADES
DO PROJETO.
A GRANDE PIRÂMIDE
desta unidade, das
Como foi estudado no inícioAntigo, a única que
Sete Maravilhas do Mundo nte intacta,
resiste até hoje, praticame
a em
é a Pirâmide de Quéops. Construíd
devido a sua
e,
surpreend
ela
c. 2650 a.C.,
mil anos.
arquitetura, mesmo após 5
CHIPRE
ISRAEL
Alexandria
Suez
Cairo
Guizé
Local da
Pirâmide
de Quéops
LÍBIA
base
face
lateral
EGITO
Lago
Nasser
SUDÃO
300
0
30 anos
Assuan
Abu Simbel
face
lateral
, alguns
de pedra calcária foram utilizados
.
pesando cerca de 20 toneladas
o
elh
rm
Ve
2,6 milhões de blocos
face
lateral
o
Nil
Cerca de
r
Ma
face
lateral
A base da Pirâmide
de Quéops é
quadrada. Observe
a planificação
de uma pirâmide
desse tipo.
o
foram usados na construçã
Sharm
el-Sheikh
Rio
100 mil trabalhadores
Ilustrações: Alex Argozino
LÍBANO
Mar Mediterrâneo
km
es
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y im
ett
e/G
fac
PIRÂMIDE DE QUÉOPS
232,805 m
m
Ga
Base
Faces laterais
on
st
ey
a-K
m
m
46
1,0
22
foi o tempo que a pirâmide
levou para ser construída
e la
ter
a
VOCÊ SABIA QUE AS QUATRO
FACES DESSA PIRÂMIDE TÊM
UM SIGNIFICADO?
uma das
Segundo estudiosos, cada
do
faces representaria uma estação
natureza
ano, os quatro elementos daquatro
(terra, fogo, água e ar) e as
DNA.
do
as
letras combinad
232,805 m
Ostill/Shutterstock
l
de apenas
Embora a sigla seja composta uma base
por
três letras, o DNA é formado
adenina,
nitrogenada, que pode ser
guanina, citosina ou timina.
IMAGENS,
COM BASE NOS TEXTOS E NAS
RESPONDA AO QUE SE PEDE.
as
1) Quais figuras geométric
podemos identificar na Pirâmide
de Quéops?
Pirâmide
2) Quantas faces laterais ade faces
de Quéops tem? O número polígono
laterais tem relação com o
da base?
3) Pesquise como está a Pirâmide
sofreu
de Quéops hoje. Sua estrutura
dos anos?
alguma alteração ao longo
Em caso afirmativo, explique.
de
Pirâmide de Quéops vista
perto. É possível observar
nitidamente os blocos
de pedra calcária.
base
75
74
MATEMÁTICA E
CIDADANIA
MATEMÁTICA E CIDADANIA
Explorando regiões do nosso
planeta
Vivemos em um mundo
onde a tecnologia é uma
aliada cada vez mais presente
do ao alcance das mãos
. É o muncom um simples clique.
Você já deve conhece
busca muito utilizado
r o Google, um site de
pelos internautas. Por
meio de um de seus
Google Earth, é possível
serviços, conhecido como
que uma pessoa, em
sua casa, sentada diante
qualquer ponto de nosso
do computador, veja
planeta por meio de imagens
de satélite.
2013 Google Earth
2013 Google Earth
2013 Google Earth
2013 Google Earth
A prática e a formação
s
cidadãs são valorizada
tos
tex
de
por meio
relacionados à
disciplina.
As imagens mostram
parte da Terra vista do
espaço. Em sequência,
aproximações cada vez
elas vão representando
maiores, até exibirem
o local do Estádio do Maracan
de Janeiro, palco da grande
ã na cidade do Rio
final e da cerimônia de
encerramento da Copa
do Mundo de 2014.
Assim, usando apenas
um computador e uma
conexão com a Internet
planta de uma cidade
podemos ver a
em terceira dimensão.
*UNTAMENTECOMUMCOLEG
APRODUZAUMTEXTOQUEFA
LESOBRETECNOLOGIAEPRESE
NATUREZA
RVA¥ÎODA
s
s%MRELA¥ÎOÌSIMAGENSAPRESENTADASJUNTOCOMOTEXTOV
OCÐPERCEBEUALGUMAREFE
RÐNCIAÌ
-ATEMÉTICA
86
87
SUPERANDO DESAFIOS
a) 2 1 litros
4
b) 3 3 litros
4
c) 9 litros
12
d) 12 litros
4
2 (Prova Brasil)
A figura ao lado representa uma figura dividida em partes iguais.
A parte pintada de preto corresponde a que fração da figura?
a) 1
2
c) 2
6
b) 1
6
d) 6
2
Explorando
MDMat – UFRGS
http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/
Homepage vinculada à UFRGS com alguns objetos digitais
de aprendizagem. Para essa unidade em especial, clique em
“Números e operações”, em seguida, clique em “Frações” para
ter acesso às atividades relacionadas ao conteúdo de frações.
Editora Ciência Moderna
Questões de
avaliações oficiais,
vestibulares e do Enem
preparam os alunos
e os desafiam a ir
além.
Robson utilizou 3 de 1 litro de tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da casa
4
equivale a 3 vezes a área pintada da sala, quantos litros de tinta ele precisará para pintar os outros
cômodos?
http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/
Acesso em 28/05/2013
GUIA DIDÁTICO
SUPERANDO
DESAFIOS
1 (Saresp)
EXPLORANDO
Matemática e Origami
Trabalhando Frações
Autor: Eliane Moreira da Costa
Editora: Ciência Moderna
40 páginas
Sugestões de livros,
sites, filmes, vídeos,
jogos etc. para
explorar ao máximo
cada assunto.
[...] Trabalhar o ensino de Matemática
pelo Origami fundamenta-se em
dois pressupostos: é possível
ensinar Matemática de forma
lúdica e prazerosa; a construção
da linguagem matemática deve ser
feita cuidadosamente, a partir da
compreensão dos conceitos à que se
refere. Reconhecidamente, um dos
grandes desafios para os professores
tem sido ensinar matemática para quem não gosta de matemática. Entre os alunos, alguns
assuntos, como por exemplo as frações, costumam ter um alto índice de rejeição. Por esta
razão, escolhi o trabalho com frações como tema deste volume. Nele são apresentadas
algumas atividades para aulas de matemática, relacionando frações ao Origami. E vice-versa.
Os modelos aqui escolhidos são bem simples, interessantes e fáceis de construir. Alguns,
bem populares. O importante – para os professores interessados em tornar suas aulas mais
criativas e atraentes – é a certeza de que este recurso pode render excelentes resultados.
197
4
Para não esquecer
PARA NÃO
ESQUECER
O esquema a seguir apresenta o conteúd
o desta unidade. Utilize-o para fazer
um resumo
de cada tópico, que pode ser um texto
com exemplos e exercícios, como forma
de organizar
seu estudo.
Resumo esquemático
dos conteúdos
desenvolvidos, que
facilita e organiza o
estudo.
Dica: para aprender Matemática,
devemos estudar um pouquinho todos
os dias, assim
o conhecimento será realmente efetivo.
Geometria: noções
algumas noções de
Geometria
conhecendo a história
formas geométricas
não planas
formas geométricas
planas
cubo
retângulo
paralelepípedo
quadrado
cilindro
triângulo
círculo
vista de um
objeto
90
x
32°
!
a) 116°
por ! é:
A medida do ângulo indicado
d) 50°
c) 40°
b) 30°
a) 20°
em seis ângu2 Um ângulo raso foi dividido
a seguir.
figura
na
los de mesma medida,
quatro
nde
compree
o
O ângulo destacad
nde a:
dessas medidas e correspo
ser
A figura a seguir deverá
questões 6 e 7.
utilizada para as
A
D
x
k
O
y
z
Ilustrações: Setup
d) 120°
c) 110°
b) 100°
a) 90°
raso, assinale
3 Em relação ao mesmo ângulo ente a mecorretam
a alternativa que indica
o na figura abaixo.
dida do ângulo destacad
d) 160°
4 Em relação ao ângulo indicado
que:
seguir, é correto afirmar
na figura a
a) 100°
B
14 Assinale a alternativa que indica corretamente a medida
do menor ângulo,
representado pelas
semirretas que têm
origem no centro do
relógio a seguir:
C
que indica correta6 Assinale a alternativa
x " y, conformente a soma das medidas
me figura anterior.
d) 180°
c) 150°
b) 120°
a) 90°
é correto afirmar
7 Se a medida k for 40°,
que a medida y será:
d) 180°
c) 90°
b) 140°
a) 40°
c) 150°
b) 120°
d) 232°
c) 128°
b) 112°
Atenção!
a) é um ângulo reto.
b) é um ângulo agudo.
c) é um ângulo obtuso.
d) é um ângulo raso.
Seção de atividades
de revisão no final de
cada unidade, que
possibilitam também
uma autoavaliação.
Ilustrações: Eduardo Belmiro
ta a medida
1 Na figura abaixo, ! represen
congruentes
de cada um dos seis ângulos
um ângulo raso.
obtidos pela divisão de
RESGATANDO
CONTEÚDOS
ta uma peça
16 A imagem ao lado represen
ângulo # é igual a
quadrado, con10 Se a medida de um
de cerâmica, no formato
do ângulo compleento de pisos.
34° 12' 45", a medida
feccionada para revestim
por quatro
mentar de # é:
Observe que ela é formada e oito tratamanho
54° 12' 45"
c)
mesmo
de
os
55"
quadrad
47'
a) 54°
é a medida do ând) 55° 47' 15"
pézios. Descubra qual
#.
b) 55° 48' 15"
gulo indicado pela letra
do complemento
11 A medida do suplemento
é 65° 30' é:
de um ângulo cuja medida
c) 55° 30'
a) 65° 30'
d) 145° 30'
30'
b) 155°
ntes formam
12 Duas retas que são concorre deles tem
que um
!
quatro ângulos, sendo
a alternativa que
medida 112°. Assinale
medidas dos ouas
ente
corretam
indica
representadas as
tros três ângulos.
17 Na figura abaixo, estão
indicar as
de um relógio. Para
e 12°
68°
divisões
112°,
c)
e, para indicar
a) 68°, 68° e 112°
horas, fazemos 12 divisões
d) 62°, 62° e 118°
divisões.
b) 98°, 98° e 22°
os minutos, fazemos 60
complemento de
13 O triplo da medida do
Então, a medida
um ângulo é igual a 111°.
desse ângulo é:
d) 53°
c) 65°
b) 43°
a) 44°
do ângulo x indi5 Determinando a medida
obtemos:
cado na figura a seguir,
a) 45°
b) 44°
c) 64°
d) 54°
15 Às duas horas exatamente, o menor ângulo formado pelos
ponteiros do relógio
tem medida 60°. Assinale a alternativa
que indica outro horário em que o ângus também é 60°.
lo formado pelos ponteiro
35° 25' 18" e
8 Considerando que # $
afirmar que:
! $ 27° 41' 32", é correto
a) # – ! $ 7° 43' 46"
b) # – ! $ 7° 42' 46"
c) # – ! $ 7° 43' 45"
d) # – ! $ 7° 42' 42"
35° 25'18" e
9 Considerando que # $
afirmar que:
! $ 27° 41' 32", é correto
a) # " ! $ 67° 43' 50"
40"
6'
63°
$
!
"
#
b)
50"
6'
63°
$
!
"
#
c)
d) # " ! $ 63° 26' 50"
graus correspona) Qual é a medida em
circunferência?
dente a uma volta nessa
menor ângulo forb) Qual é a medida do
azuis?
mado pelas semirretas
menor ângulo forc) Qual é a medida do
vermelhas?
mado pelas semirretas
tas azuis re18 Na figura abaixo, as semirre
dois ângulos que
presentam os lados de
entares. As sesão adjacentes e complem
as são as bismirretas tracejadas vermelh
Determine a
.
ângulos
setrizes desses dois
por essas duas
medida do ângulo formado
bissetrizes.
Setup
S
RESGATANDO CONTEÚDO
a) 16 horas
b) 9 horas e 50 minutos
c) 22 horas
d) 14 horas e 20 minutos
81
80
Avaliação - Matemática
AVALIAÇÕES
TURMA:
ESCOLA:
PROFESSOR:
Sugestões de
avaliação estão
disponíveis para o
Projeto.
DATA:
1. Um livro tem 243 páginas. Márcia já leu 35 páginas e deverá terminar de lê-lo em 16 dias.
Se ela dividir o número de páginas por dia igualmente, quantas páginas deverá ler por dia?
2. Calcule:
a)
25 " 36
c) 2³ + 3² % 2²
e) 2² & 3²
b)
144 % 49
d) 6² " 9² % 144
f) 3² % 2³ " 9
CONTEÚDO DIGITAL
4. Para embarcar em um avião com destino a Nova York, um passageiro pode levar até 27 kg
na bagagem. Para cada quilo a mais, são cobrados 22 reais. Mariana tem 35 kg na bagagem. Quanto de taxa ela terá de pagar para poder embarcar?
GUIA DIDÁTICO
3. Em um bufê, são utilizadas 4 laranjas para fazer um bolo “delícia de laranja”. Cada bolo rende 8 fatias. Sabendo que uma festa tem 280 convidados, quantas laranjas o bufê utilizará
para preparar os bolos, de modo que cada pessoa coma exatamente 1 fatia?
27
Objetos educacionais digitais,
disponíveis no Portal Projeto
Apoema, que exploram
as potencialidades das
novas tecnologias.
www.editoradobrasil.com.br/
apoema
GUIA DIDÁTICO
NOME:
5
1. Ensino de Matemática
Fruto da criação e invenção humanas, a
Matemática não evoluiu de forma linear e logicamente organizada. Desenvolveu-se com
movimentos de idas e vindas, com rupturas
de paradigmas. Frequentemente um conhecimento foi amplamente utilizado na ciência
ou na tecnologia antes de ser incorporado a
um dos sistemas lógicos formais do corpo
da Matemática. Exemplos desse fato podem
ser encontrados no surgimento dos números
negativos, irracionais e imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma
ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a geometria euclidiana,
para aceitação de uma pluralidade de modelos
geométricos, logicamente consistentes, que
podem modelar a realidade do espaço físico.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 25.
GUIA DIDÁTICO
Ao pensarmos no ensino e na aprendizagem da Matemática, devemos ter em mente,
mesmo que de forma provisória, uma concepção do que vem a ser a atividade humana
denominada Matemática. Um livro ou uma coleção de livros de Matemática com finalidade
didática carrega concepções não apenas do
que vem a ser a Matemática, mas também do
que é ensinar e aprender essa disciplina. Algumas vezes podemos utilizar palavras, frases ou
mesmo textos diversos para tentar expressar
tais concepções. Na maioria das vezes, isso se
torna completamente desnecessário, bastando
observar com criticidade como as atividades
são propostas, como a teoria é desenvolvida,
como são as sugestões de avaliação e também
como os alunos são convidados a atuar diante
das situações apresentadas.
6
Com o objetivo de esclarecer o professor
quanto à metodologia que, de alguma forma, permeia o Projeto Apoema Matemática, procuramos nos posicionar em relação
aos seguintes aspectos relacionados: a razão
de aprendermos Matemática; uma proposta
para ensinar e aprender Matemática; o papel
do professor e do aluno; nossas escolhas para
um livro didático de Matemática.
1.1 A razão de aprendermos
Matemática
O descompasso entre o que representa
a Matemática na escola e a matemática na
vida das pessoas é algo que chama a atenção
de diversos pesquisadores.
Na escola, a Matemática é uma ciência, ensinada em um momento definido por alguém
de maior competência. Na vida, a Matemática é parte da atividade de um sujeito que
compra, que vende, que mede e encomenda
peças de madeira, que constrói paredes, que
faz o jogo na esquina.
CARRAHER, Terezinha et al. Na vida dez, na escola zero. 10. ed.
São Paulo: Cortez, 1995. p. 19.
Será que temos o hábito, como professores,
de dar espaço para os alunos exporem seus
conhecimentos prévios, principalmente aqueles
presentes em sua vida cotidiana? Pelo fato de
sermos professores, estamos realmente tão
distantes do conhecimento dos alunos sobre
aquilo que ensinamos? A lição deixada na citação parece caminhar para a diminuição das
distâncias entre quem aprende e quem ensina.
Quem trabalha com o ensino de Matemática tem o hábito de ressaltar sua beleza
presente em formas geométricas curiosas,
em belas demonstrações, em regularidades
curiosas na aritmética etc. Tudo isso é válido
e deve ser utilizado para motivar os alunos a
aprender Matemática. O que não pode acontecer é o exagero de dar mais ênfase a essa
fração do conhecimento em detrimento de
outras partes tão ou mais importantes.
Uma razão de aprendermos Matemática
parece estar fortemente ligada à beleza de
suas regularidades e formas, mas há também outras motivações para estudá-la: o incomparável senso lógico que reside em sua
construção, a indubitável capacidade de desenvolvimento intelectual que potencializa,
nas pessoas, formas diferentes de resolução
de problemas diversos e enfrentamentos de
dificuldades, pela habilidade desenvolvida na
elaboração de argumentos convincentes.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 34.
1.2 Uma proposta para ensinar
e aprender Matemática
A educação escolar caracteriza-se pela
preparação do aluno para a vida, construindo a ética necessária ao convívio social e à cidadania, por meio de estratégias
que visam mobilizar e desenvolver várias
competências cognitivas básicas, como
observação, comparação, compreensão,
análise, síntese, memorização, formulação
de hipóteses, planejamento e resolução de
problemas. Valoriza-se, assim, o desenvolvimento cognitivo do aluno, preparando-o
para a vida na sociedade moderna.
Uma escola orientada ao desenvolvimento de competências propõe aos alunos
tarefas desafiantes, incitando-os a colocar
em prática seus conhecimentos. Isso exige
pedagogia ativa, visão interativa da aprendizagem, que valorize a postura reflexiva, e
capacidade de observação e de aprendizagem com outros alunos e com as próprias
experiências.
... muitos alunos não têm nem os recursos
pessoais, nem as ajudas externas necessárias
para utilizar plenamente seus conhecimentos,
quando essa mobilização [mobilização das
capacidades e dos conhecimentos] não foi o
objeto de nenhum treinamento. Sabe-se agora
que a transferência de conhecimentos ou sua
integração em competências não são auto-
máticas e passam por um trabalho, isto é, um
acompanhamento pedagógico e didático sem
o qual nada ocorrerá, a não ser para os alunos
com grandes meios para isso.
PERRENOUD, Philippe. Construir as competências desde a escola.
Porto Alegre: Artmed, 1999, p. 44.
Fazemos aqui uma interpretação das palavras desse pesquisador: é necessário dar tempo
para acomodar o conhecimento trabalhado,
respeitando as etapas didáticas para que isso
possa de fato ocorrer.
Howard Gardner, formulador da teoria
das inteligências múltiplas, defende que a
inteligência é uma composição de pelo menos oito competências distintas, localizadas
em diferentes áreas do cérebro e das quais
somos dotados em diferentes graus: linguística, lógico-matemática, espacial, corporal-cinestésica, musical, interpessoal e naturalista. Embora não tenhamos como objetivo
detalhá-las, é importante observar que essas
ideias influenciam a educação de modo geral, pois ampliam e equilibram os espaços do
trabalho pedagógico.
Em busca de um novo olhar para o
conhecimento, as novas concepções da
inteligência humana e os estudos de neurocientistas, psicólogos e pesquisadores de
diversas áreas do saber impulsionam as reflexões sobre como educar para a compreensão. Essas perspectivas fazem distinção
entre conhecimento e compreensão – a
compreensão não é um modelo mental estático, pois implica aquisição do conhecimento, sua interiorização e aplicação em
novas situações. Em outras palavras, o aluno
compreende algo quando é capaz de aplicar o conhecimento em outros contextos,
quando consegue estabelecer relações entre
uma situação e outra. Assim, constrói novos
conhecimentos com base nesses conceitos,
reelabora explicações em diferentes níveis.
Daí a importância de a escola e os materiais
didáticos estarem organizados a fim de educar para a compreensão. Passa-se a trabalhar
não só com situações didáticas, mas com
GUIA DIDÁTICO
Para atender às demandas do trabalho contemporâneo é inegável que a Matemática pode
dar uma grande contribuição à medida que
explora a resolução de problemas e a construção de estratégias como um caminho para
ensinar e aprender Matemática na sala de aula.
Também o desenvolvimento da capacidade de
investigar, argumentar, comprovar, justificar e
o estímulo à criatividade, à iniciativa pessoal
e ao trabalho coletivo favorecem o desenvolvimento dessas capacidades.
7
o desenvolvimento da inteligência, ou seja,
com estruturas que suportam o raciocínio.
Precisamos construir um ensino que objetive levar o aluno a estabelecer “pontes” entre
seu conhecimento prévio e o conhecimento
novo a ser trabalhado. É fundamental a aprendizagem ter um contexto para que possa ser
de fato significativa.
1.3 O papel do professor
Estamos em pleno século XXI, a era em
que a velocidade das informações parece
aumentar a cada dia. A rapidez no acesso a
dados quaisquer pode ser confundida com
a assimilação de um conteúdo ou conhecimento. A dinâmica produzida na tela dos
computadores e as belas imagens processadas e reproduzidas facilmente se contrapõem, de forma dura e nefasta, ao ritmo e
aos recursos tecnológicos de nossas aulas.
GUIA DIDÁTICO
Por mais que tentemos utilizar recursos tecnológicos em sala de aula – quando
os recursos financeiros possibilitam –, ainda assim teremos problemas de dinâmica.
Mesmo que queiramos ou possamos utilizar
tecnologia de ponta em nossas atividades,
como faremos, por exemplo, para ensinar
o aluno a resolver uma equação do 2º grau
ou de que modo dinamizaremos o processo
que leva o aluno a utilizar adequadamente
os produtos notáveis?
8
Parece evidente que não podemos mais
“dar” aulas em que o aluno é convidado apenas
a prestar atenção no que dizemos, geralmente reproduzindo o que nos disseram quando
estávamos nos bancos escolares. Pensemos
em como nós, professores, consideramos os
alunos. Se eles são vistos como “recipientes”
capazes de armazenar quantidades de informações, então o ensino e o papel do professor serão fundamentados na transmissão correta dessas informações. Por esse “método”, os
alunos são forçados a se deparar com fatos,
regras e princípios que devem assimilar para
poder aplicá-los. Nesse contexto, atribuímos
algum significado ao que fazemos em sala de
aula e, em seguida, cobramos dos alunos o
que “aprenderam” – tudo de forma passiva
e previsível. Não podemos concordar com
isso. Seria o mesmo que fazer o “pacto da
mediocridade” em que de um lado se faz de
conta que ensina, do outro se faz de conta
que aprende. Precisamos pensar em outra
forma, outro “método”.
Numa reflexão sobre o ensino de Matemática
é de fundamental importância ao professor:
t identificar as principais características
dessa ciência, de seus métodos, de suas
ramificações e aplicações;
t conhecer a história de vida dos alunos,
seus conhecimentos informais sobre um
dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais;
t ter clareza de suas próprias concepções
sobre a Matemática, uma vez que a prática
em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e conteúdos
de ensino e as formas de avaliação estão
intimamente ligadas a essas concepções.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 35-36.
Devemos, como professores, ter em
mente que os alunos interpretam termos e
conceitos de maneira original, que, em geral, não corresponde ao que esperamos. Por
isso, precisamos ser claros sobre o que de fato
desejamos. Além disso, ao contrário do que se
possa pensar, o trabalho do professor e seu real
papel não perdem importância. O professor
passa a ter outras funções, que descrevemos
a seguir.
t Organizador da aprendizagem: o professor deve, além de conhecer as reais
condições socioculturais dos alunos,
ter em mente as expectativas deles.
Um ponto importante, nesse papel, é a
escolha de situações e problemas que
possibilitarão a construção dos conhecimentos.
t Consultor do processo: cabe ao professor fornecer informações necessárias para que o aluno, com autonomia,
construa o conhecimento.
t Controlador e incentivador: deve estabelecer condições e prazos para a realização das atividades, sem esquecer-se
de dar o tempo necessário aos alunos.
Quanto ao papel de incentivador da
aprendizagem, espera-se que estimule a
cooperação entre os alunos.
Acreditamos na perspectiva de trabalho
em que o aluno é considerado protagonista da
construção da própria aprendizagem. Assim, o
papel do professor assume dimensões novas,
como as apontadas anteriormente. Para que
as aulas de Matemática não sejam monótonas, precisamos ter criatividade no encaminhamento dos conteúdos, encontrar meios de
envolver cada vez mais o aluno no processo
e dar condições para que, mesmo provisoriamente, ele tire conclusões, isto é, sistematize o
conhecimento.
1.4 O papel do aluno
Qual é o verdadeiro papel do aluno no processo ensino-aprendizagem de Matemática?
As necessidades cotidianas fazem com que
os alunos desenvolvam capacidades de
natureza prática para lidar com a atividade
matemática, o que lhes permite reconhecer
problemas, buscar e selecionar informações,
tomar decisões. Quando essa capacidade é
potencializada pela escola, a aprendizagem
apresenta melhor resultado.
Por isso é fundamental não subestimar o potencial matemático dos alunos, reconhecendo
que resolvem problemas, mesmo que razoavelmente complexos, ao lançar mão de seus
conhecimentos sobre o assunto e buscar estabelecer relações entre o já conhecido e o novo.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 37.
Se estamos propondo um trabalho de
construção do conhecimento matemático,
o papel do aluno não é, evidentemente, de
mero espectador. O aluno deve investigar,
questionar e sistematizar o conhecimento,
não só respondendo às questões, mas também formulando-as. Ele é o agente principal da construção de seu conhecimento, ao
buscar estabelecer possíveis conexões entre o que já conhece e o que está sendo
construído.
1.5 Nossas escolhas para um
livro didático de Matemática
Sabemos que as propostas curriculares
embasadas em pesquisas ligadas a universidades e demais instituições relacionadas
à área da Matemática levam algum tempo
para se concretizar na sala de aula. Assim,
não é objetivo desta nossa escolha romper completamente com a prática desenvolvida pelo “mestre e mediador” ao longo
dos anos, levando-o a perder referência. Ao
mesmo tempo desejamos que haja avanços consideráveis, acompanhando as mudanças repentinas no mundo. São transformações sensíveis e, por isso, acreditamos
que o ensino deva mudar, pois a vida está
constantemente se transformando. Não
mudar significa ficar ao largo de nossa própria evolução.
Temos consciência da imensa responsabilidade que devemos assumir diante das
rápidas mudanças que afloram à nossa volta.
Há muito tempo o ensino deixou de significar
mera transmissão de informações, passando
a ensinar a pensar ou aprender a aprender.
O Projeto Apoema Matemática nasceu
da discussão dos pressupostos e das considerações abordadas até aqui. Não acreditamos, entretanto, ser possível contemplar
tudo o que foi exposto, já que o ser humano
está em constante evolução, mas devemos
considerar esses pontos fundamentais para
nossa reflexão ao “fazer Matemática” com os
alunos. Entendemos que um livro didático,
elaborado com o objetivo de ser um instrumento auxiliar no ensino e na aprendizagem
GUIA DIDÁTICO
t Mediador: deve promover as condições para cada aluno intervir a fim de
expor sua solução, questionar quando
necessário e contestar.
9
de Matemática deva, entre outros pontos, valorizar e potencializar:
t o conhecimento prévio dos alunos;
t o trabalho em grupo e individual de
forma autônoma;
t a criatividade tanto do professor quanto
do aluno;
t a capacidade de argumentação do aluno;
t a construção do conhecimento matemático;
t o desenvolvimento do raciocínio matemático;
t o estabelecimento de relações entre
blocos temáticos;
t a curiosidade e o espírito investigativo;
t o gosto pela aprendizagem da Matemática.
GUIA DIDÁTICO
Não podemos esquecer que, mesmo
antes de o aluno ser aluno, ele convive com
algum tipo de conhecimento matemático.
Assim, a escola, o livro didático e o professor devem fortalecer essa ligação entre a
Matemática desenvolvida na escola e aquela vivenciada fora dela, mas com o cuidado
de não passar a falsa ideia de que tudo o
que se aprende em Matemática tem aplicação imediata.
10
A Matemática faz-se presente na quantificação do real – contagem, medição de grandezas – e no desenvolvimento das técnicas de
cálculo com os números e com as grandezas.
No entanto, esse conhecimento vai muito
além, criando sistemas abstratos, ideais, que
organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das formas
e dos números, associados quase sempre a
fenômenos do mundo físico.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 25.
Com base nessas reflexões e em outras
resultantes do trabalho em sala de aula, elaboramos o Projeto Apoema Matemática
objetivando a construção de um referencial
importante para a edificação do conhecimento matemático.
2. Competências
e habilidades
Recentemente foi divulgada uma resolução com objetivo de normatizar e expor, de
forma clara, as habilidades e competências
esperadas no Ensino Fundamental: a Matriz
de Referência – Matemática. Reproduzimos
a seguir as ideias principais para que possamos refletir cada vez mais sobre nossa atuação como professores preocupados com
as mudanças na educação. É importante
observar que o foco considera a resolução
de problemas um método. As habilidades e
competências estão definidas em unidades
chamadas "descritores". Ao todo, são 37 descritores divididos em quatro temas.
Descritores do Tema I. Espaço e Forma
D1 – Identificar a localização/movimentação
de objeto, em mapas, croquis e outras representações gráficas.
D2 – Identificar propriedades comuns e
diferenças entre figuras bidimensionais e
tridimensionais, relacionando-as com suas
planificações.
D3 – Identificar propriedades de triângulos
pela comparação de medidas de lados e
ângulos.
D4 – Identificar relação entre quadriláteros,
por meio de suas propriedades.
D5 – Reconhecer a conservação ou modificação
de medidas dos lados, do perímetro, da área em
ampliação e/ou redução de figuras poligonais
usando malhas quadriculadas.
D6 – Reconhecer ângulos como mudança de
direção ou giros, identificando ângulos retos
e não retos.
D7 – Reconhecer que as imagens de uma
figura construída por uma transformação
homotética são semelhantes, identificando
propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.
D8 – Resolver problema utilizando a propriedade dos polígonos (soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de
cada ângulo interno nos polígonos regulares).
multiplicação, divisão e potenciação).
D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
D26 – Resolver problema com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
D11 – Reconhecer círculo/circunferência,
seus elementos e algumas de suas relações.
D27 – Efetuar cálculos simples com valores
aproximados de radicais.
Descritores do Tema II. Grandezas e Medidas
D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.
D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo
de perímetro de figuras planas.
D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo
de área de figuras planas.
D29 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre
grandezas.
D14 – Resolver problema envolvendo noções
de volume.
D30 – Calcular o valor numérico de uma
expressão algébrica.
D15 – Resolver problema envolvendo relações
entre diferentes unidades de medida.
D31 – Resolver problema que envolva equação
de segundo grau.
Descritores do Tema III. Números e Operações / Álgebra e Funções
D32 – Identificar a expressão algébrica que
expressa uma regularidade observada em
sequências de números ou figuras (padrões).
D16 – Identificar a localização de números
inteiros na reta numérica.
D17 – Identificar a localização de números
racionais na reta numérica.
D18 – Efetuar cálculos com números inteiros
envolvendo as operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação).
D19 – Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados das
operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação).
D20 – Resolver problema com números inteiros
envolvendo as operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação).
D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
D22 – Identificar fração como representação que
pode estar associada a diferentes significados.
D23 – Identificar frações equivalentes.
D24 – Reconhecer as representações decimais
dos números racionais como uma extensão do
sistema de numeração decimal identificando a
existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.
D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações
com números racionais (adição, subtração,
D33 – Identificar uma equação ou uma inequação
de primeiro grau que expressa um problema.
D34 – Identificar um sistema de equações do
primeiro grau que expressa um problema.
D35 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema
de equações de primeiro grau.
Descritores do Tema IV. Tratamento da
Informação
D36 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
D37 – Associar informações apresentadas
em listas e/ou tabelas simples aos gráficos
que as representam e vice-versa.
Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/prova-brasil-e-saeb/33>.
Acesso em: jul. 2013.
É necessário que nós, professores, ao
analisarmos essa Matriz de Referência, tenhamos uma visão abrangente do que esperamos conquistar com nosso trabalho em
sala de aula ao final do Ensino Fundamental. A leitura e a discussão dos temas e dos
descritores correspondentes dão muito mais
objetividade à nossa função.
GUIA DIDÁTICO
D9 – Interpretar informações apresentadas
por meio de coordenadas cartesianas.
11
3. Organização do Projeto
Organizamos este projeto contemplando
momentos diversos que possibilitam um trabalho variado tanto do professor quanto do aluno.
3.1 Estrutura
Cada um dos quatro livros do Projeto
Apoema Matemática encontra-se dividido
em oito unidades. Cada unidade, por sua vez,
está organizada em capítulos.
Na abertura de cada unidade, você encontra um pequeno resumo do assunto a ser
desenvolvido. Para o aluno, na primeira página
da abertura há uma reflexão sobre a utilização
do conteúdo trabalhado, e, na segunda página, três questões para conduzir uma pequena discussão a respeito do tema. Ao iniciar o
capítulo, você encontra, de forma resumida,
os objetivos principais.
Descrevemos a seguir as seções de textos e
atividades em que os conteúdos dos capítulos e
unidades são trabalhados. Algumas são esporádicas, outras podem ser encontradas em todos
os capítulos.
AGORA É COM VOCÊ
GUIA DIDÁTICO
Propomos atividades que objetivam auxiliar na compreensão dos assuntos abordados,
além de fornecer momentos de verificação
da aprendizagem. Assim, conforme sua escolha, algumas dessas atividades podem ser
resolvidas na sala de aula, enquanto outras
podem ser encaminhadas como tarefa a fim
de desenvolver a autonomia dos alunos. Há
um bom número de atividades nessa seção.
12
TRABALHO EM EQUIPE
Algumas atividades são elaboradas para o
trabalho coletivo. Nessa seção desejamos que
os alunos cooperem na busca de solução para
as situações propostas. Além disso, espera-se
criar, neles, o hábito de expressar o próprio
pensamento, compreender o pensamento do
outro, discutir possíveis e esperadas dúvidas e
incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando procedimentos adotados
no enfrentamento de problemas diversos.
BAGAGEM CULTURAL
Na forma de infográfico, são apresentados textos e imagens sobre curiosidades que
objetivam conduzir os alunos à percepção
da Matemática em outros contextos. Esses
contextos relacionam conteúdos de duas ou
mais disciplinas. Assim, esperamos que os
alunos passem a ver a Matemática não mais
de forma isolada, mas dinâmica, presente em
outras áreas do conhecimento.
DIVERSIFICANDO LINGUAGENS
A disciplina de Matemática tem linguagem própria, símbolos, formas e representações peculiares. Por sua vez, revistas e jornais – em geral, presentes na vida dos alunos
– apresentam diversidade no tratamento de
informações. Ao propormos algumas atividades com tirinhas ou mesmo diagramas de
palavras, por exemplo, queremos evidenciar
também os conteúdos e as situações matemáticas que são apresentados por essas formas de expressão, tão comuns no cotidiano
das pessoas. Do aluno, em tais momentos, é
exigida a interpretação e a compreensão do
que a tirinha ou o diagrama apresenta.
CONEXÕES
Essa seção é reservada para a história dos
conteúdos e dos personagens que os construíram ou para curiosidades que envolvam
tanto a Matemática quanto outro assunto
abordado. Sugerimos que a leitura seja feita
coletivamente envolvendo a turma no conhecimento de aspectos relevantes da história
da disciplina.
Nessa seção, são apresentados textos amplamente ilustrados, que proporcionam leitura
agradável e rica em informações, relacionando
várias áreas do conhecimento. É uma oportunidade ímpar de ampliar o conhecimento dos
alunos sobre a necessidade de aprender Matemática para a interpretação e a busca de soluções de situações diversas da vida das pessoas.
Para exercer a cidadania, é indispensável saber
calcular, efetuar medidas, argumentar, raciocinar, compreender informações estatísticas
e tomar decisões.
COM A PALAVRA, O ESPECIALISTA
O conhecimento de qualquer disciplina
ocorre também pelo contato com o trabalho de profissionais diversos. Experiências
de vida, de trabalho, de estudo precisam ser
passadas aos alunos como exemplos a ser
seguidos, referências a ser consideradas. Embora essa seção não ocorra com muita frequência em cada volume deste projeto, ela é
extremamente importante, pois amplia, nos
alunos, a visão de mundo e das pessoas.
Para não esquecer
Ao final de cada unidade, apresentamos
um quadro-resumo em forma de mapa conceitual. O objetivo é os alunos perceberem,
por meio desse importante esquema, as relações entre os assuntos da unidade estudada.
É a visão geral do conteúdo apresentado. A
utilização de esquemas também representa
uma forma de leitura que auxilia na compreensão dos diversos tópicos.
Explorando
Ao final dos conteúdos desenvolvidos, o
aluno encontra algumas referências de en-
SUPERANDO DESAFIOS
Uma das características que podem ser
encontradas no aluno do Ensino Fundamental II é o prazer de ser desafiado. Nessa seção,
o aluno é convidado a ir além das atividades
propostas no livro, resolvendo questões que
o preparam para vestibulares, concursos e
avaliações do governo. A Matemática representa um contexto rico de ideias, problemas
diversos, desafios e enigmas instigantes que
possibilitam ao aluno se colocar diante de
situações completamente diferentes e que
exigem soluções muitas vezes inesperadas e
extremamente criativas. Essa é uma forma de
valorizar a capacidade e as potencialidades
do aluno.
RESGATANDO CONTEÚDOS
Embora haja, ao longo dos capítulos, atividades diversas, sugerimos um grupo de
atividades no final de cada unidade. A ideia
é que, com a resolução dos exercícios, os
alunos possam verificar, com autonomia, a
compreensão dos conteúdos apresentados
na unidade. Essa é também uma forma de
relacionar os assuntos tratados separadamente nos capítulos. Sugerimos que as atividades sejam encaminhadas apenas após a
conclusão da unidade. Também é importante que os alunos sejam motivados a fazê-las
e que organizem as resoluções no caderno,
discutindo entre eles possíveis respostas antes
da resolução coletiva.
GUIA DIDÁTICO
MATEMÁTICA E CIDADANIA
tretenimento – livros, filmes e sites –, relacionadas aos assuntos abordados na unidade.
Em cada referência, uma pequena resenha
dá ao aluno uma ideia do que trata cada
item. Essa é uma forma de estimular a leitura,
a visualização e até a brincadeira, explorando
diferentes modos de abordagem de conteúdos matemáticos.
13
3.2. Quadros de conteúdos
Apresentamos a seguir um resumo dos conteúdos trabalhados ao longo dos quatro volumes do Ensino Fundamental II, ou seja, um panorama dos temas abordados na disciplina
de Matemática.
6o ano
UNIDADE
CAPÍTULO
Os números naturais
t Processos de contagem – história dos números
t Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano
t Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos números
indo-arábicos
t Sequência dos números naturais
t Sucessor, antecessor e números naturais consecutivos
t Aplicações dos números naturais
t Reta numérica
Funções dos números
t
t
t
t
t
t
Sistema de numeração decimal
t Sistema de numeração dividido por classes
t Arredondamentos e aproximações
Adição e subtração
t
t
t
t
Ideias da adição e da subtração
Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais
Expressões numéricas
Cálculo mental nas adições e subtrações
Multiplicação, divisão, potenciação e radiciação
t
t
t
t
t
t
t
As ideias da multiplicação
Divisão – ideias e algoritmos
Multiplicação e divisão – operações inversas
Relação fundamental da divisão
Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais
Potenciação – significado, representação e cálculos
Raiz quadrada de números naturais
Noções fundamentais
t Conhecendo a história
t As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano
t Ponto, reta, plano e segmento de reta
Formas geométricas planas e não planas
t Cubos e paralelepípedos
t Perspectivas e vistas
t Formas geométricas planas
Divisibilidade e números primos
t Critérios de divisibilidade
t Números primos e decomposição em fatores primos
t Decomposição em fatores primos
Divisores de um número natural
t Fatores ou divisores de um número natural
t Divisores comuns e máximo divisor comum
Múltiplos de um número natural
t Sequência dos múltiplos de um número
t Mínimo múltiplo comum
1. Números e sistemas
de numeração
GUIA DIDÁTICO
2. Geometria: noções
14
3. Múltiplos e divisores
CONTEÚDO
Aplicações dos números naturais
Contagem, ordenações e códigos
Classificação dos números
Os números e o nosso dinheiro
Comparação de números
Reta numérica
6o ano
CAPÍTULO
A ideia de ângulo
t
t
t
t
Polígonos
t Polígonos – características e nomenclatura
t Polígonos regulares
t Quadriláteros – classificação
A ideia de fração
t
t
t
t
Equivalência e comparação entre frações
t Frações equivalentes
t Simplificação de frações
t Comparação de frações
Adição e subtração de frações
t Adição e subtração de frações com o mesmo denominador
t Adição e subtração de frações com denominadores diferentes
Fração de fração
t Multiplicação de frações
t Divisão de frações
Frações decimais e números decimais
t
t
t
t
Adição e subtração com números decimais
t Adição de números decimais
t Subtração de números decimais
Multiplicação e divisão com números decimais
t Multiplicação de números decimais
t Divisão de números naturais com quociente decimal
t Divisão de números decimais
Unidades de comprimento e de massa
t Unidades de comprimento
t Perímetros de figuras geométricas planas
t Unidades de massa
Unidades de área
t Unidades de área
t Áreas de figuras geométricas planas
t Área do quadrado
Unidades de volume e capacidade
t
t
t
t
t
Medida de tempo
t Unidades de medida de tempo
Noções de Estatística
t Porcentagem
t Pesquisas, tabelas e gráficos
4. Formas geométricas
planas
5. Frações
6. Números decimais
7. Grandezas e medidas
8. Estatística
CONTEÚDO
Identificação, elementos e representação
Medidas de ângulos
Classificação de ângulos
Retas paralelas e retas concorrentes
Frações como partes do inteiro
Representação e leitura
Tipos de fração: próprias, aparentes e impróprias
Frações de uma quantidade
Notação decimal
Números decimais na forma de fração decimal
Propriedades dos números decimais
Comparações entre números decimais
Unidades de volume
Volumes do cubo e do paralelepípedo
Unidades de capacidade
Unidades de volume
Relação entre L e dm³
GUIA DIDÁTICO
UNIDADE
15
7o ano
UNIDADE
CAPÍTULO
Os números inteiros
t Os números positivos e os números negativos
t Exemplos de aplicações de números inteiros
Adição e subtração de números inteiros
t Adição de números inteiros
t Propriedades da adição de números inteiros
t Subtração de números inteiros
Multiplicação de números inteiros
t Multiplicação de números inteiros
t Propriedades da multiplicação de números inteiros
Divisão de números inteiros
t Divisão de números inteiros
t Expressões numéricas com números inteiros
Ângulos
t Retomada da ideia de ângulo apresentada no volume anterior
t Unidade de medida de ângulo
t Frações do ângulo
Operações com medidas de ângulos
t Adição e subtração de ângulos
t Multiplicação e divisão de um ângulo por um número natural
Ângulos e retas
t Classificação de ângulos
t Ângulos entre retas concorrentes
Números racionais
t Formação do conjunto
t Reta numérica
t Comparação de números racionais
Adição e subtração de racionais
t Adição de números racionais
t Propriedades da adição de números racionais
t Subtração de números racionais
Multiplicação e divisão de racionais
t Multiplicação de números racionais
t Propriedades da multiplicação de números racionais
t Divisão de números racionais
Potenciação e radiciação de racionais
t Potenciação de números racionais
t Radiciação de números racionais
O conceito de área
t Medida de superfície
t Área do quadrado
t Área do retângulo
Área do triângulo e do paralelogramo
t Área do paralelogramo
t Área do triângulo
Área do losango e do trapézio
t Área do losango
t Área do trapézio
Iniciando a Álgebra
t Ideias iniciais da Álgebra
t Termos semelhantes
t Soma algébrica de termos semelhantes
Equações
t Equação
t Resolução de uma equação
Resolução de problemas
t Resolução de problemas
Inequações
t Desigualdades
t Inequações
1. Números inteiros
2. Geometria: ângulos
3. Números racionais
GUIA DIDÁTICO
4. Geometria: áreas
16
5. Álgebra
CONTEÚDO
7o ano
UNIDADE
CAPÍTULO
CONTEÚDO
Razões e proporções
t O conceito de razão
t O conceito de proporção
Grandezas proporcionais
t Regra de sociedade
t Problemas de regra de três
t Problemas de regra de três composta
Porcentagens e juros simples
t Retomando porcentagem trabalhada no volume anterior
t Juros simples
Gráficos estatísticos
t Informações em gráficos
t A construção de gráficos estatísticos
Calculando média
t Média aritmética
t Média ponderada
6. Proporções
7. Introdução à
Matemática Financeira
8. Estatística
8o ano
CAPÍTULO
Os números inteiros e os números racionais
t Números racionais
t Representação dos números irracionais
Os números reais
t Números irracionais
t Números reais
t Comprimento da circunferência
Potenciação com expoentes inteiros
t
t
t
t
Radiciação: raiz quadrada
t Raiz quadrada
t Decomposição em fatores primos
Segmentos, ângulos e retas
t
t
t
t
t
Triângulos
t Classificação dos triângulos quanto aos lados
t Classificação dos triângulos quanto aos ângulos
Soma das medidas dos ângulos num triângulo
t Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
t Soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo
Congruência de triângulos
t Congruência de triângulos
t Casos de congruência de triângulos
Expressões algébricas
t Expressão algébrica e valor numérico
t Termos semelhantes
t Monômios e polinômios
Operações com polinômios de uma variável
t Adição e subtração de polinômios
t Multiplicação e divisão de polinômios
Produtos notáveis
t Desenvolvimento de produtos notáveis
Fatoração de polinômios
t Fator comum
t Fatoração por agrupamento
t Simplificação de expressões algébricas
1. Números reais
2. Potenciação e radiciação
3. Geometria: Triângulos
4. Álgebra: cálculo algébrico
5. Produtos notáveis e
fatoração
CONTEÚDO
Potenciação
Propriedades da potência
Potências de base 10
Notação científica
Segmentos
Ângulos
Retas
Ângulos entre retas concorrentes
Ângulos entre retas com uma transversal
GUIA DIDÁTICO
UNIDADE
17
8o ano
UNIDADE
CAPÍTULO
CONTEÚDO
Quadriláteros
t Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
t Soma dos ângulos externos de um quadrilátero
Quadriláteros notáveis
t Classificação dos quadriláteros
t Propriedades do paralelogramo
Equações do 1 grau
t Resolução de equações e problemas do 1o grau
t Resoluções de equações literais
t Resolução de equações fracionárias
Sistemas de equações
t Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da substituição
t Resolução de sistemas de equações do 1o grau pelo método da adição
Interpretação geométrica
t Representação dos pontos no plano cartesiano
t Interpretação geométrica de uma resolução de um sistema de equações
do 1o grau
Circunferência e círculo
t
t
t
t
Segmentos e quadriláteros
t Propriedades de segmentos tangentes a uma circunferência
t Circunferência inscrita num quadrilátero
Ângulos e arcos na circunferência
t Arco e ângulo central
t Medidas do ângulo inscrito
t Quadrilátero inscrito numa circunferência
6. Geometria: quadriláteros
o
7. Álgebra: equações
8. Geometria: circunferência
Elementos e nomenclatura da circunferência
Partes do círculo
Posições relativas de retas e circunferências
Posições relativas entre circunferências
9o ano
UNIDADE
CAPÍTULO
Potenciação
1. Potenciação e radiciação
Radiciação
Cálculo com radicais
CONTEÚDO
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
GUIA DIDÁTICO
Cálculo algébrico
2. Álgebra: cálculo algébrico
Fatoração
Teorema de Tales
3. Geometria: semelhança de
triângulos
Semelhança de triângulos
O triângulo retângulo
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
18
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Potência com expoentes inteiros
Notação científica
Propriedades da potenciação
Raiz quadrada
Potência com expoente racional e raiz cúbica
Simplificações com radicais
Adição e subtração
Multiplicação e divisão
Potenciação e radiciação
Recapitulação dos casos de produtos notáveis abordados no volume
anterior
Cubo de uma soma e cubo de uma diferença
Fator comum e por agrupamento
Fatoração por produtos notáveis
Segmentos proporcionais
Teorema de Tales e suas propriedades
Semelhança de triângulos e propriedades
Os três casos de semelhança de triângulos
Relações métricas no triângulo retângulo
O teorema de Pitágoras
Razões seno, cosseno e tangente
Razões trigonométricas para ângulos notáveis
9o ano
4. Álgebra: equações do
2o grau
CAPÍTULO
Equações do 2o grau
t Resolução de equações incompletas
t Resolução de equações por trinômios quadrados perfeitos
t Resolução de equações por fórmulas
Propriedades de raízes e coeficientes
t O discriminante – discussão das raízes
t Soma e produto das raízes
Equações redutíveis ao 2 grau e problemas
t Resolução de problemas por meio de equações do 2o grau
t Equações biquadradas
t Equações irracionais
O tratamento da informação
t Tabelas e gráficos
t Distribuição de frequências: variáveis discretas
t Distribuição de frequências: variáveis contínuas
Medidas de tendência central
t Média aritmética e ponderada
t Mediana e moda
Contagem e probabilidades
t Principio fundamental da contagem
t Ideias iniciais de probabilidade
Áreas de quadriláteros e triângulos
t Áreas do retângulo, do quadrado e do paralelogramo
t Áreas do triângulo, do losango e do trapézio
Polígonos convexos
t Cálculo do número de diagonais de um polígono convexo
t Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono
convexo
Polígonos regulares
t Medida dos ângulos internos e externos de polígonos regulares
t Polígonos inscritíveis e circunscritíveis
t Relações métricas no triângulo equilátero, no hexágono regular e no
quadrado inscritos e circunscritos
Círculo e circunferência
t Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência
t Área do círculo e de um setor circular
Relações métricas na circunferência
t Relação entre cordas e entre secantes
t Relação entre secante e tangente
t Potência de um ponto
Introdução às funções
t Relação entre grandezas: conceito de função
t Representação gráfica no plano cartesiano
Noções de função afim
t Função afim
t Gráfico da função afim
Noções de função quadrática
t
t
t
t
Lei dos cossenos
t Obtenção da lei dos cossenos
t Aplicações da lei dos cossenos
Lei dos senos
t Obtenção da lei dos senos
t Aplicações da lei dos senos
o
5. Estatística e probabilidade
6. Geometria: polígonos e
circunferências
CONTEÚDO
7. Estudo de funções
8. Geometria: triângulos
quaisquer
Função quadrática
Representação gráfica no plano cartesiano
Coordenadas do vértice da parábola
Problemas de máximo e de mínimo
GUIA DIDÁTICO
UNIDADE
19
4. Orientações
deste volume
4.1 Objetivos de cada unidade
UNIDADE 1
Números e sistemas
de numeração
t Identificar os números naturais.
t Distinguir as funções do número.
t Comparar números naturais.
t Representar um número natural.
t Conhecer características do sistema de
numeração decimal.
t Obter o antecessor e o sucessor de um
número natural.
t Associar a adição às situações de juntar e de acrescentar.
t Associar a subtração às situações de tirar, de completar e de comparar.
t Resolver problemas relacionados à adição e à subtração de números naturais.
t Associar a multiplicação a situações
que representam adição de parcelas
iguais.
t Verificar as propriedades da multiplicação de números naturais.
t Associar a divisão com a multiplicação.
GUIA DIDÁTICO
t Resolver problemas relacionados à
multiplicação e à divisão de números
naturais.
20
t Resolver expressões numéricas contendo adição, subtração, multiplicação
e divisão com números naturais.
t Associar a potenciação a situações que
representam multiplicações de fatores
iguais.
t Compreender a raiz quadrada de um
número natural associando-a ao quadrado de um número natural.
UNIDADE 2
Geometria: noções
t Compreender as noções fundamentais
de Geometria: ponto, reta e plano.
t Diferenciar uma figura geométrica plana
de uma figura geométrica não plana.
t Reconhecer que as figuras geométricas são abstrações de formas e objetos
concretos.
t Identificar vértices, arestas e faces em
formas geométricas não planas.
t Reconhecer e diferenciar algumas formas geométricas não planas: cubos e
paralelepípedos.
t Identificar vistas de objetos e formas
geométricas não planas.
t Reconhecer e diferenciar algumas formas
geométricas planas: quadrado, retângulo,
triângulo e círculo.
UNIDADE 3
Múltiplos e divisores
t Reconhecer quando um número é ou
não divisível por outro número natural.
t Conhecer algumas regras de divisibilidade: por 2, por 3 e por 5.
t Reconhecer e determinar quando um
número natural é primo.
t Reconhecer números compostos.
t Expressar um número composto como
o produto de fatores primos.
t Determinar os divisores naturais de um
número natural.
t Obter os divisores comuns de dois números naturais.
t Determinar o máximo divisor comum
entre números naturais.
t Determinar os múltiplos naturais de
um número natural.
t Obter os múltiplos comuns de dois números naturais.
t Determinar o mínimo múltiplo comum
entre números naturais.
UNIDADE 4
UNIDADE 6
Formas geométricas planas Números decimais
t Compreender as noções de ângulo.
t Reconhecer uma fração decimal.
t Distinguir vértice, lados e abertura de
um ângulo.
t Transformar uma fração decimal em
número decimal.
t Compreender a ideia de ângulo reto.
t Transformar um número decimal em
fração decimal.
t Classificar e diferenciar ângulo agudo,
ângulo obtuso e ângulo reto.
t Comparar números decimais.
t Obter o ângulo entre duas retas concorrentes.
t Efetuar a adição e a subtração de números na forma decimal.
t Identificar e diferenciar retas perpendiculares e retas paralelas.
t Efetuar a divisão e a multiplicação de
números na forma decimal.
t Reconhecer polígonos convexos.
t Distinguir vértices e lados de um polígono.
t Conhecer o nome dos polígonos com
base na quantidade de vértices e lados.
t Identificar e diferenciar quadriláteros:
trapézios, paralelogramos, retângulos,
quadrados e losangos.
t Resolver expressões numéricas com
números decimais.
t Solucionar problemas relacionados às
operações com números decimais.
UNIDADE 7
Grandezas e medidas
t Compreender que medir é comparar.
Frações
t Conhecer a ideia de fração como parte
de um todo.
t Representar frações.
t Calcular fração de quantidade.
t Comparar frações de mesmo denominador e frações de denominadores diferentes.
t Distinguir frações próprias, frações impróprias e frações aparentes.
t Reconhecer frações equivalentes como
representações diferentes de um mesmo
número racional.
t Simplificar frações.
t Efetuar a adição e a subtração de frações
com denominadores iguais e com denominadores diferentes.
t Efetuar a multiplicação de frações.
t Efetuar a divisão de frações.
t Identificar unidades não padronizadas
de medidas de comprimento.
t Utilizar unidades padronizadas de medidas de comprimento: metro, quilômetro,
centímetro, milímetro.
t Identificar instrumentos de medidas
de comprimento e obter medidas com
esses instrumentos.
t Obter medidas de perímetros de figuras
geométricas planas.
t Conhecer as unidades de medidas de
massa: quilograma, grama e tonelada.
t Reconhecer que medir uma superfície
é compará-la com uma unidade padrão de medida.
t Conhecer as unidades de medidas de
superfície: metro quadrado, centímetro
quadrado e quilômetro quadrado.
t Calcular a área de alguns quadriláteros:
retângulo e quadrado.
t Reconhecer unidades de medidas de
volume.
GUIA DIDÁTICO
UNIDADE 5
21
t Obter volumes de algumas formas
geométricas não planas: cubo e paralelepípedo.
t Conhecer as unidades padronizadas de
capacidade.
t Relacionar o litro com o decímetro
cúbico.
t Identificar unidades de medida de tempo:
dia, hora, minutos e segundos.
UNIDADE 8
Estatística
t Associar porcentagem com número
decimal e fração decimal.
t Calcular porcentagens de quantidades.
t Resolver problemas utilizando porcentagens.
t Desenvolver as primeiras noções de
Estatística.
t Identificar tabelas e gráficos estatísticos.
t Interpretar informações de tabelas e
gráficos estatísticos.
4.2 Comentários das atividades
p. 74 e 75 – Bagagem cultural
Esse infográfico possibilita um trabalho
interdisciplinar envolvendo Matemática e
História. É importante explorar com os alunos cada texto e imagem antes de eles responderem às questões.
GUIA DIDÁTICO
1. Quais figuras geométricas podemos
identificar na Pirâmide de Quéops?
22
Podemos identificar a própria pirâmide
como uma forma espacial: sua base tem
a forma de quadrado; e as faces laterais, a
forma de triângulo.
2. Quantas faces laterais tem a Pirâmide de
Quéops? O número de faces laterais tem
relação com o polígono da base?
Ela apresenta quatro faces laterais. Cada
face tem a forma de um triângulo, cuja base
coincide com um dos lados do quadrado,
que é o polígono da base da pirâmide.
Isso pode ser mais bem observado na
planificação da pirâmide.
3. Pesquise como a Pirâmide de Quéops está
atualmente. Houve alguma alteração em
sua estrutura ao longo dos anos? Em caso
afirmativo, explique.
Sim, houve um desgaste provocado
pela ação do vento ao longo do tempo,
principalmente no seu ápice (o vértice
da pirâmide).
Professor, a pesquisa pode ser estendida
para as pirâmides de Gizé, no Egito: Quéops,
Quéfren e Miquerinos. Os alunos podem obter
as medidas lineares, a área das faces laterais e
os volumes das pirâmides, para que tenham
ideia da grandiosidade desses monumentos.
p. 88 e 89 – Com a palavra,
o especialista
Essa entrevista mostra a importância das
manifestações culturais dos povos indígenas.
É uma ótima oportunidade para abordar a
Etnomatemática por meio de pesquisas que
envolvam artesanato e pintura indígenas que
usam formas geométricas. Além das culturas
de diversos povos, é importante observar e
discutir com os alunos como as formas geométricas estão sempre visíveis na natureza,
estão relacionadas à vida deles etc.
Mostrar a importância da Matemática em
todas as culturas é uma forma de atraí-los
para o estudo dessa disciplina, tão presente
em nosso cotidiano.
p. 231 – Matemática e cidadania
O assunto desta seção aborda uma situação relativamente frequente na vida dos alunos. Nas escolas, as cantinas costumam utilizar
balinhas como troco, e, por isso, é importante
ler o texto com os alunos para ouvir suas reclamações a respeito desse problema. Cabe a
você, professor, relacionar as questões propostas no final desse texto, que envolvem o conteúdo da unidade – operações com números
decimais –, para observar se eles entenderam
a matéria corretamente. As duas primeiras
p. 268 e 269 – Matemática
e cidadania
O texto sobre a economia de água levanta um assunto muito abordado nas escolas. Cabe a você, também, relacionar esse
problema com a Matemática. O texto acrescenta alguns dados que talvez os alunos
desconheçam, como a quantidade de água
perdida em uma torneira pingando. Esses
dados estão relacionados com o tema desta
unidade e trazem informações importantes
para a conscientização dos alunos.
A maioria das questões serve para provocar
a discussão em sala de aula, porém a resposta à pergunta sobre armazenamento de água
deve ser pesquisada por eles. Há uma maneira
de fazer isso muito utilizada no Nordeste brasileiro: a cisterna. Ela pode ser instalada no interior de uma casa e funciona assim: as calhas
recolhem a água das chuvas, que percorre um
caminho de filtração e acaba depositada na
caixa-d’água para ser utilizada. Dessa maneira, parte da água usada na casa será de chuva,
portanto alguns litros da água que vem da rua
serão economizados. Por meio desse exemplo e de outros que os alunos trarão, é possível
conscientizá-los de que economizar água é
possível e faz muito bem ao nosso planeta.
p. 270 e 271 – Bagagem cultural
Esse infográfico possibilita um trabalho
interdisciplinar envolvendo Matemática
e Ciências. A medida da circunferência do
contorno, de nosso abdômen e o cálculo do
Índice de Massa Corpórea (IMC) servem para
sabermos se nossa saúde está em risco e,
caso isso seja constatado, adotarmos medidas
para cuidar desse bem tão precioso.
Para utilizar o infográfico na aula, é importante ler os quadros informativos associados às imagens e discutir, com os alunos,
seus significados e qual é a relação deles
com a Matemática. Por exemplo, podemos
perguntar por que não medimos a circunferência abdominal em quilômetros. Espera-se que eles compreendam que quilômetro
é uma unidade de medida muito grande para
medir a circunferência abdominal, por isso,
utilizamos o centímetro.
Peça que levem uma fita métrica para
essa aula sobre o infográfico e solicite que
meçam a própria circunferência abdominal e
também que calculem seus IMCs. Dessa maneira, haverá interação mais efetiva com os
textos informativos.
p. 287 – Matemática e cidadania
Esse texto sobre população envolve o assunto abordado na unidade Estatística. Essa
área da Matemática cuida da coleta, análise
e interpretação de dados. Com base nesses
dados e na interpretação deles, é possível
tirar conclusões que servirão para a tomada
de decisões.
O número de habitantes, a porcentagem
de desemprego e a qualidade de vida são alguns dos índices obtidos por meio da Estatística para se saber quais medidas podem
ser mantidas e quais podem ser melhoradas.
O texto aborda a evolução da população em
nosso país e a capacidade do censo de refletir a realidade. É importante a leitura conjunta
com os alunos. Comente a importância dos
índices mencionados e do Instituto Brasileiro
de Geografia e Estatística (IBGE), que realiza
pesquisas e medições no Brasil.
p. 288 – Com a palavra, o
especialista
Essa entrevista, feita com um estatístico,
fornece um panorama geral da área: sua importância e vasta utilização atualmente como
ferramenta de pesquisa, organização e análise
de informações para tomada de decisões em
diversas áreas do conhecimento.
GUIA DIDÁTICO
perguntas, que provocam relatos de acontecimentos reais, servem para estimular a discussão em sala de aula e para a conscientização
de que receber troco com balas é errado.
A última questão deve ser usada para fixar o
conteúdo apresentado na unidade, lembrando
que o panfleto precisa ser requisitado alguns
dias antes do trabalho com o texto.
23
5. Avaliação
Nesse sentido, é preciso repensar certas
ideias que predominam sobre o significado
da avaliação em Matemática, ou seja, as que
concebem como prioritário avaliar apenas se
os alunos memorizam as regras e esquemas,
não verificando a compreensão dos conceitos, o desenvolvimento de atitudes e procedimentos e a criatividade nas soluções, que,
por sua vez, se refletem nas possibilidades de
enfrentar situações-problema e resolvê-las.
Outra ideia dominante é a que atribui exclusivamente ao desempenho do aluno as causas
das dificuldades nas avaliações.
Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998, p. 54.
GUIA DIDÁTICO
Mesmo que se tenha iniciado o presente
Guia Didático pela Metodologia, acreditamos que não se pode externar a concepção
do ensino e da aprendizagem da Matemática sem a forma de enxergar o que se entende por avaliação. Não estamos falando
apenas da avaliação do aluno, mas da avaliação muito mais abrangente: inicia com a
escolha do livro didático a ser utilizado; passa pelo entendimento de que a avaliação é
um componente rico em fornecer subsídios
para a aprendizagem; aponta importantes
indícios acerca de como a Matemática é ou
será ensinada; leva em consideração as reais
condições de trabalho do aluno e do professor; propicia mudanças na forma de agir do
professor; e respeita o tempo de aprendizagem do aluno e o contexto social em que
ele está inserido.
24
Evidentemente, quando se entende que
o ensino e a aprendizagem da Matemática
ocorrem de forma dinâmica, desde a maneira
de concebê-la até o modo de abordar seus
conteúdos, torna-se inaceitável deixar de pensar profundamente na avaliação, no que se
deve avaliar e como isso será feito. Para compreender a avaliação mais amplamente, basta
olharmos um pouco mais as mudanças ocorridas nas últimas décadas.
Paulo Abrantes, em Avaliação e educação
matemática, organizou um importante tra-
balho a respeito da avaliação, que foi editado
pelo MEM/USU-Gepem. Nesse projeto é possível encontrar algumas das principais ideias
que remetem a conceitos diferentes sobre
avaliação. Classicamente são externados três
significados distintos: avaliação como medida,
como distância e como interpretação.
Avaliação como medida – Enquanto
o ensino ficou associado à transmissão de
conhecimentos, a aprendizagem era vista
como a capacidade de o aluno reproduzir
aquilo que o professor havia “ensinado”. Nesse contexto, o processo de aprendizagem
tinha forte ligação com a memorização, sendo dada ênfase ao resultado, e não ao modo
pelo qual ocorreu a aprendizagem. Nessa
perspectiva temos a avaliação como medida.
Tal medida era explicitada por uma nota e
relacionada com a média das notas do grupo
a que o aluno pertencia.
Ensino e aprendizagem
Avaliação
Vamos supor que essa forma de conceber a avaliação seja adotada. Nesse caso, é
importante perceber que ela acaba ocorrendo no fim de determinado período de
aulas. Se um aluno tem uma nota baixa, a
responsabilidade geralmente recai sobre ele
mesmo. A influência prática do professor é
ínfima, dependendo quase exclusivamente
do aluno. Os resultados são expressos por
notas que, mesmo elevadas, não significam
que a aprendizagem de fato ocorreu.
Avaliação como distância – Nessa
perspectiva, estabeleceu-se um conjunto
de objetivos previamente definidos como
referência, deixando de considerar o modelo do professor. Em forma de testes, as
questões eram preparadas com base em
matrizes de objetivos/conteúdos. O resultado, nesse tipo de avaliação, passava simplesmente a ser uma medida da distância
entre a resposta do aluno e o objetivo previamente definido. Nessa visão de avaliação, duas novas formas foram introduzidas:
avaliação de diagnóstico (modo de avaliar
que visava verificar se o aluno tinha ou não
os pré-requisitos necessários para aprender
os tópicos seguintes do programa) e avaliação formativa (ocorria durante o processo
ensino-aprendizagem, com a finalidade de
verificar se os alunos estavam ou não prontos para alcançar aqueles objetivos previamente estabelecidos). Curtos períodos de
ensino eram seguidos por momentos formais de avaliação e, além disso, conforme
os resultados obtidos, atividades de remediação eram propostas.
aprendizagem
Avaliação
Atividades de
t diversos momentos da avaliação;
remediação
Ensino e
aprendizagem
Avaliação
Avaliação como interpretação – Nessa
visão, para aprendizagem, não são importantes apenas respostas corretas ou incorretas
dos alunos numa avaliação, mas também os
processos que os levam a elaborar essas respostas. A função do professor não é controlar,
mas interpretar e identificar possíveis problemas no processo ensino-aprendizagem.
Importa encontrar e compreender os motivos que geram possíveis erros. Nesse caso,
o erro passa a ser considerado uma fonte de
informação essencial para tomadas de decisões e mudanças de métodos. Além disso, a
avaliação como interpretação não é previamente demarcada no calendário escolar. Ela
é contínua e estreitamente ligada ao processo como um todo.
Ensino e
aprendizagem
Caminhamos cada vez mais no sentido
da concepção da avaliação como interpretação, pois é muito mais que uma medida.
Representa a percepção do aluno no desenvolvimento de atitudes, na aquisição e
no domínio de conceitos e procedimentos
matemáticos. Não acreditamos, porém, em
uma forma única de avaliação. Aspectos
como participação em aula, colaboração,
comportamento nas atividades em grupo,
interesse e desempenho nos diversos momentos fazem parte do processo de avaliação, pois fornecem dados mais reais sobre
o desenvolvimento dos alunos. Assim, acreditando numa avaliação cujo objetivo seja
voltado à dimensão educativa, somos favoráveis a:
Avaliação
t diferentes instrumentos, tais como atividades do livro, atividades individuais,
em duplas, em pequenos grupos, em
pesquisas;
t observação contínua das atitudes do
aluno, de suas intervenções orais, na
lousa e no desenvolvimento de pequenas tarefas;
t instrumentos previamente preparados
para registros de observações cotidianas;
t autoavaliação do aluno, de tal modo que
até seja possível obter uma avaliação do
professor sob a ótica do aluno.
Em relação à autoavaliação, propomos
algumas questões que podem ser ampliadas em discussão com toda a turma. A
discussão possibilita melhor compreensão
daquilo que se pretende com a autoavaliação, e conscientiza o aluno em relação a
seu desempenho e suas atitudes. É numa
situação de aprendizagem que ele começa
a se dar conta de suas potencialidades e
dificuldades. Além disso, propicia que reflita sobre seu papel no processo ensino-aprendizagem.
GUIA DIDÁTICO
Ensino e
E como devemos encarar a avaliação?
25
QUESTÕES PARA AUTOAVALIAÇÃO
I – AVALIANDO AS ATITUDES
t Quanto às tarefas individuais que foram
propostas, realizei:
( ) muitas vezes.
( ) poucas vezes.
t Conteúdos ou atividades que achei interessantes:
t Conteúdos ou atividades que não achei
interessantes:
( ) nunca.
t Quanto às atividades propostas em
grupo, procurei auxiliar meus colegas:
( ) muitas vezes.
( ) poucas vezes.
( ) nunca.
t Quando algum colega apresentou alguma dúvida:
( ) ajudei sempre.
( ) nunca ajudei.
( ) não soube o que fazer.
t Quando tenho alguma dúvida em sala
de aula:
( ) não faço perguntas.
( ) pergunto.
( ) não sei o que fazer.
t Durante a explicação do professor sobre
determinado assunto:
( ) sempre estou atento.
( ) nem sempre estou atento.
( ) não presto atenção.
II – AVALIANDO O CONTEÚDO DESENVOLVIDO
GUIA DIDÁTICO
t Assuntos ou atividades que apresentei
dificuldades de desenvolver:
26
t Assuntos ou atividades que considerei de
resolução imediata sem ter dificuldades:
Essas são apenas algumas ideias que podem compor a autoavaliação. Para ampliar
uma reflexão sobre a avaliação, reproduzimos a seguir cinco princípios de avaliação
que constam no trabalho publicado por Paulo
Abrantes.
1 – A avaliação deve gerar, ela própria, novas
situações de aprendizagem.
2 – A avaliação deve ser consistente com os
objetivos, os métodos e os principais tipos de
atividades do currículo.
3 – A avaliação deve ter um caráter positivo,
isto é, focar aquilo que o aluno já é capaz
de fazer em vez daquilo que ele ainda não
sabe, não se requerendo necessariamente
o mesmo nível de desenvolvimento a todos
os alunos.
4 – A avaliação, nas formas e instrumentos
que utiliza, não deve estar dependente das
possibilidades de se atribuírem classificações quantitativas aos alunos.
5 – A avaliação deve ocorrer num ambiente de
transparência e confiança, no qual as críticas
e sugestões sejam encaradas como naturais.
Boletim MEM/USU Gepem. p. 17 e 18 (s.d.).
Em relação à avaliação dos conteúdos
desenvolvidos ao longo do 6º ano do Ensino
Fundamental, além das ideias vistas anteriormente, sugerimos a seguir uma sugestão de
avaliação, que pode ser utilizada no 1º bimestre.
Quanto aos bimestres seguintes, as sugestões
de avaliação estarão disponíveis para download
no Portal Projeto Apoema.
Avaliação - Matemática
NOME:
TURMA:
ESCOLA:
PROFESSOR:
DATA:
1. Um livro tem 243 páginas. Márcia já leu 35 páginas e deverá terminar de lê-lo em 16 dias.
Se ela dividir o número de páginas por dia igualmente, quantas páginas deverá ler por dia?
2. Calcule:
a)
25 ! 36
c) 2³ + 3² " 2²
e) 2² # 3²
b)
144 " 49
d) 6² ! 9² " 144
f) 3² " 2³ ! 9
4. Para embarcar em um avião com destino a Nova York, um passageiro pode levar até 27 kg
na bagagem. Para cada quilo a mais, são cobrados 22 reais. Mariana tem 35 kg na bagagem. Quanto de taxa ela terá de pagar para poder embarcar?
GUIA DIDÁTICO
3. Em um bufê, são utilizadas 4 laranjas para fazer um bolo “delícia de laranja”. Cada bolo rende 8 fatias. Sabendo que uma festa tem 280 convidados, quantas laranjas o bufê utilizará
para preparar os bolos, de modo que cada pessoa coma exatamente 1 fatia?
27
5. Maria tem 3 notas de 50 reais, 2 notas de 20 reais, 1 nota de 10 reais, 5 notas de 5 reais e
13 notas de 2 reais. Quanto dinheiro Maria tem?
6. O valor da expressão 2 4 ! 5 9 " 16 é:
a) 15
b) 17
c) 19
d) 13
e) 14
7. Resolva a expressão (2³ + 4) · 2 – 3² + 6 e marque a alternativa que contém a resposta
correta.
a) 12
b) 15
c) 21
d) 27
e) 25
a) Quantas faces em forma de retângulo há nesse sólido?
b) Qual é o número de arestas?
GUIA DIDÁTICO
9. De acordo com as indicações na figura à
direita, represente as vistas frontal, lateral e
superior do bloco geométrico.
28
10. O bloco à direita foi formado pelo empilhamento
de cubos; cada cubo tem 1 cm de medida da aresta.
a) Determine as medidas do comprimento, da largura e da altura desse bloco.
b) Quantos cubos foram utilizados nesse empilhamento?
Ilustrações: DAE
8. O sólido ao lado é denominado de prisma hexagonal. Responda:
Ilustrações: DAE
11. Utilizando cubos de 1 cm de medida da
aresta, Marta resolveu formar um paralelepípedo de 6 cm de comprimento por
5 cm de largura e 3 cm de altura. Quantos cubos ainda precisam ser empilhados
para formar o paralelepípedo?
12. Na figura ao lado os 6 segmentos formam um hexágono. Ligando
dois vértices não consecutivos podemos obter outros segmentos.
Qual é o número de segmentos obtidos?
13. Observando a sequência de figuras geométricas, indique quantos cubos são necessários para formar a:
a) figura 5 dessa sequência;
b) figura 8 dessa sequência.
fig. 2
14. Na tabela a seguir, indique se a figura é plana ou não plana.
Figura
Plana ou não
plana?
fig. 3
fig. 4
GUIA DIDÁTICO
fig. 1
29
5.1 Respostas
1. 13 páginas por dia
2. a) 11
b) 5
7. c
8. a) 6 faces
b) 18 arestas
9. Vista superior: ; vista frontal: ; vista lateral:
c) 13
d) 105
e) 36
f) 4
3. 140 laranjas
10. a) 4 cm de altura, 5 cm de largura e 3 cm
de comprimento
b) 60 cubos
4. 176 reais
11. 30 cubos
5. 251 reais
12. 9 segmentos
6. a
13. a) 7 cubos
b) 10 cubos
GUIA DIDÁTICO
14. Não plana; Plana; Plana; Não plana; Não
plana; Plana; Não plana.
30
6. Bibliografia
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Boletim de
Educação Matemática (Bolema). Rio Claro.
6.1 Educação matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE
JANEIRO. Boletim Gepem (Grupo de Estudos
e Pesquisas em Educação Matemática). Seropédica.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto.
Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e
quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, 1998.
BRITO, Márcia R. F. (Org.). Solução de problemas e
a matemática escolar. Campinas: Alínea, 2006.
BRUN, Jean (Org.). Didática das matemáticas.
Trad. Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto
Piaget, 1996.
ZETETIKÉ: REVISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Campinas: Cempem-Unicamp, 1993-.
6.2 História da Matemática
ALDER, Ken. A medida de todas as coisas: a odisseia
de sete anos e o erro encoberto que transformaram o mundo. Trad. Adalgisa Campos da
Silva. Rio de Janeiro: Objetiva, 2003.
ALMEIDA, Manoel de Campos. Origens da Matemática. Curitiba: Champagnat, 1998.
BRUTER, Claude-Paul. Compreender as matemáticas: as dez noções fundamentais. Lisboa:
Instituto Piaget, 1998.
BERLINSKI, David. O advento do algoritmo: a ideia
que governa o mundo. Trad. Leila Ferreira de
Souza Mendes. São Paulo: Globo, 2002.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais
da Matemática. Lisboa: Gradiva, 1998.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo:
Edgar Blücher, s.d.
CARRAHER, Terezinha et al. Na vida dez, na escola
zero. São Paulo: Cortez, 1995.
DANZIG, Tobias. Número: a linguagem da ciência.
Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1970.
CHEVALLARD, Yves; BOSCH, Marianna; GASCÓN,
Josep. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Trad. Daisy Vaz
de Moraes. Porto Alegre: Artmed, 2001.
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas:
Unicamp, 1995.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação:
reflexões sobre educação matemática. São
Paulo: Summus, 1986.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco
Alves, 1989.
FIORENTINI, Dario. (Org.). Formação de professores de Matemática: explorando novos
caminhos com outros olhares. Campinas:
Mercado das Letras, 2003.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. (Org.). Letramento no Brasil: habilidades matemáticas.
São Paulo: Global; Instituto Paulo Montenegro, 2004.
MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na educação matemática: propostas e
desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
GARBI, Gilberto G. A rainha das ciências: um
passeio histórico pelo maravilhoso mundo
da Matemática. São Paulo: Editora Livraria
da Física, 2006.
HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática: influência e função da Matemática nos
conhecimentos humanos. Porto Alegre:
Globo, 1956.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos:
a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova
Fronteira, 1997. t. 1 e 2.
MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides: a história da Geometria. Trad. Enézio E. de Almeida
Filho. São Paulo: Geração Editorial, 2004.
TÓPICOS de história da Matemática para uso em
sala de aula. São Paulo: Atual, 1992. (Vários
volumes).
GUIA DIDÁTICO
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em educação matemática: concepções
e perspectivas. São Paulo: Unesp, 1999.
31
6.3 Conteúdos da Matemática
ASIMOV, Isaac. No mundo dos números. Rio de
Janeiro: Francisco Alves, 1986.
BESSON, Jean-Louis (Org.). A ilusão das estatísticas. Trad. Emir Sader. São Paulo: Unesp,
1995.
BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas:
uma estratégia para as aulas de Matemática.
São Paulo: Caem-USP, 1995.
CARDOSO, Virginia C. Materiais didáticos para
as quatro operações. São Paulo: Caem-USP, 1996.
DINIZ, Maria Ignez de S. V.; SMOLE, Kátia Cristina S. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. São Paulo: Caem-USP, 1996.
GUIA DIDÁTICO
ENZENSBERG, Hans Magnus. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2000.
32
LINS, Rômulo C.; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI.
Campinas: Papirus, 1997.
LOPES, Maria Laura Mouzinho (Coord.). Tratamento da informação: explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir
das séries iniciais. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática-UFRJ, 1996. (Projeto Fundão).
OCHI, Fusako H. et al. O uso de quadriculados no
ensino de Geometria. São Paulo: Caem-USP,
1997.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). (Vários volumes).
SMOLE, Kátia Cristina S. et al. Era uma vez na
Matemática: uma conexão com a literatura
infantil. São Paulo: Caem-USP, 1996.
GRANGER, Gilles Gaston. O irracional. Trad.
Álvaro Lorencini. São Paulo: Unesp, 2002.
SOUZA, Eliane Reame de; DINIZ, Maria Ignez
de S. V. Álgebra: das variáveis às equações e
funções. São Paulo: Caem-USP, 1996.
KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo
poliedros. Niterói: EdUFF, 1998.
. et al. A Matemática das sete peças do
Tangram. São Paulo: Caem-USP, 1997.