PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
NOTA DE AULA I
Goiânia 2013
1
REVISÃO DE PRODUTO ESCALAR
Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (lei de Gauss), consideramos
importante uma revisão sobre o produto escalar entre dois vetores.
O produto escalar entre dois vetores a e b , escrito como a . b , é definido como
a  b  ab cos
Onde a e b são respectivamente os módulos dos vetores a e b , sendo  o ângulo entre
as direções de a e b , como está representado na figura abaixo.
a

b
Partindo desta definição, é claro que se os dois vetores forem perpendiculares (   90o ),
teremos a  b  0 , se  = 0o  a  b  ab e se  = 180o  a  b  ab
LEI DE GAUSS
A lei de Coulomb é uma lei básica da eletrostática, mas em algumas situações
envolvendo simetria podemos usar uma lei equivalente que pode simplificar o trabalho no
estudo do campo elétrico. Para tirar proveito nestas situações de simetria, vamos introduzir a lei
de Gauss, deduzida pelo matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). A lei
de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície fechada com a carga total
envolvido por esta superfície.
Antes de enunciar a lei de Gauss vamos introduzir um conceito auxiliar, o fluxo do campo
elétrico. Trata-se de um conceito relacionado ao número de linhas de campo elétrico que
atravessam determinada superfície.
Suponha que uma superfície plana, de área A, seja colocado em uma região onde existe um
campo elétrico uniforme E , como está representado na figura abaixo.
A

E
2
Sendo o vetor área A um vetor cujo módulo é igual a uma área A (neste caso a área da
superfície) e cuja direção é normal (perpendicular) ao plano da área, podemos definir o fluxo
do campo elétrico pela seguinte expressão:
E  E  A  EA cos
Observe que para   0o o valor do fluxo é máximo e para   90o o fluxo é nulo.
Para entender melhor o conceito de fluxo, pode-se supor uma espira quadrada de arame
com área interna A, colocado em uma correnteza uniforme de um rio cuja velocidade da água é
v , ou numa região onde exista um vento com velocidade uniforme v . O fluxo do vetor


velocidade   v  A representa a vazão volumétrica de água ou ar nesta espira. Observe que a
unidade deste fluxo no SI. é m3 / s.
Observação:
Devemos observar que o exemplo acima, no qual temos água ou ar escoando por
uma espira, não tem relação com o fluxo do campo elétrico. O campo elétrico não é
uma grandeza que pode escoar através de uma superfície.
O ponto central da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada de superfície
gaussiana. A superfície gaussiana pode ser de qualquer forma que se queira, mas a superfície
mais útil é uma que reproduza a simetria do problema em questão. Assim, a superfície
gaussiana será frequentemente uma esfera, um cilindro ou outra forma simétrica. Ela deve ser
sempre uma superfície fechada, de modo que possa ser feita uma distinção clara entre pontos
que estão no interior da superfície, sobre a superfície e fora da superfície.
A superfície gaussiana (superfície fechada) não necessita ser uma superfície física real,
como a de um corpo sólido. Na verdade, na maioria das aplicações da lei de Gauss, considerase uma superfície imaginária, que pode estar no espaço vazio, imersa em um corpo sólido, ou
parte no espaço vazio e parte no corpo.
3
Como a lei de Gauss se aplica a uma superfície fechada devemos definir o fluxo de campo
elétrico para estas superfícies gaussianas, este fluxo pode ser calculado imaginando-se a área da
superfície fechada subdividida em quantidades infinitesimais d A e somando um número
infinito de contribuições infinitesimais do fluxo de campo de cada elemento de área. Esta soma
é feita por meio de uma integral.
Na figura abaixo temos a representação de uma superfície fechada arbitrária imersa em um
campo elétrico não-uniforme. Temos em destaque três quadrados que fazem parte desta
superfície. Podemos observar que no quadrado 1 temos cos  0 ( o campo elétrico aponta
para dentro da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na
superfície é negativo. No quadrado 3 temos cos   0 (o campo elétrico aponta para fora da
superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é positivo, e
no quadrado 2 temos cos   0 (o campo elétrico tangencia a superfície), sendo que este
quadrado não contribui para o fluxo total.
  1  2  3
N
   i
i 1
   E. A

 E.dA
4
O círculo no símbolo de integral indica que a integração deve ser feita sobre toda a
superfície (fechada). O fluxo do campo elétrico é uma grandeza escalar. Sua unidade no SI é:
N . m2 /C.
Uma superfície possui dois lados, portanto, em cada ponto, existem dois sentidos
possíveis para o vetor que representa a área desta superfície. Quando a superfície for fechada
(gaussiana) sempre adotaremos o sentido deste vetor para fora da superfície.
Devemos observar que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana é
proporcional ao número total de linhas de campo que atravessam essa superfície.
EXERCÍCIO
1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo
elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para
o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo.
(sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e
a área lateral do cilindro).
No exercício acima se o eixo do cilindro não fosse paralelo ao campo elétrico
poderíamos ter dificuldade em calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície. No
entanto, neste caso poderíamos determinar o valor do fluxo de uma maneira bem simples
usando a lei de Gauss. Esta lei afirma que se a carga total envolvida por uma superfície fechada
for nula, o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo. Portanto, como a
carga envolvida pela superfície do exercício anterior é nula, o fluxo do campo elétrico será
nulo, independente da forma que esta superfície se encontra em relação ao campo. Este
exemplo nos mostra que dependendo da situação a lei de Gauss pode simplificar bastante os
cálculos. O que pode ser uma boa razão para o estudo da lei de Gauss.
A lei de Gauss relaciona o fluxo total  de um campo elétrico através de uma superfície
fechada (gaussiana) e as cargas no interior desta superfície. Ela pode ser enunciada da seguinte
maneira:
O fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada (superfície
gaussiana) é proporcional à carga elétrica total (líquida) existente no interior
desta superfície. Ou seja, para uma superfície gaussiana temos que:
 o  q ou
 o  E.dA  q
onde:
5
  é o fluxo do campo elétrico sobre a superfície gaussiana
q  é a carga elétrica líquida envolvida pela superfície gaussiana.
Devemos observar que as cargas externas a uma superfície gaussiana contribuem para o
campo elétrico, mas não contribuem para o fluxo do campo elétrico nesta superfície gaussiana.
Em vários casos especiais, podemos dispensar o uso das técnicas do Cálculo integral
para calcularmos o fluxo do campo elétrico. Se o campo elétrico E for perpendicular à
superfície de área A em todos os pontos e tiver o mesmo valor em todos os pontos da
superfície, o fluxo do campo elétrico sobre esta superfície pode ser calculado por    EA e a
lei de Gauss, para este caso, pode ser escrita da seguinte forma:
 o EA  q
Observando a lei de Gauss, percebemos que se a carga líquida envolvida pela superfície
gaussiana for negativa o fluxo do campo elétrico será negativo (as linhas de campo apontam
para dentro da superfície), se esta carga líquida for positiva o fluxo será positivo (as linhas de
campo apontam para fora da superfície). Quando a carga líquida envolvida pela superfície
gaussiana for nula o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo.
A discussão acima, relacionando fluxo do campo elétrico com a carga envolvida pela
superfície gaussiana, pode ser ilustrada com um exemplo, no qual temos a representação de
duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais opostos e das linhas de campo desta
configuração de cargas. Na figura temos também a representação de quatro superfícies
gaussianas vista de perfil. A superfície S1 envolve somente a carga positiva, S2 envolve somente
a carga negativa, S3 não envolve nenhuma carga e S4 envolve as duas cargas, portanto, a carga
total envolvida por ela é nula.
 oE  qenv
 o E.dA  qenv   Lei _ Gauss
 

  0
S1   1
q1  0
3  0
S3  
q3  0
  0
S2   2
q2  0
4  0
S4  
q4  0
6
EXERCÍCIO
2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do
campo elétrico através dessa superfície?
3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. Responda se
o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes casos: (a) se mudarmos a
forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo) sem alterar a carga no interior da
superfície; (b) se a carga for afastada do centro da superfície gaussiana, permanecendo,
entretanto, em seu interior; (c) a carga for deslocada para imediatamente fora da superfície
gaussiana; (d) uma segunda carga for colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma
segunda carga for colocada dentro da superfície gaussiana.
4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir sobre o
valor do fluxo elétrico total através desta superfície?
5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas.
a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja nula . Podemos
concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos sobre esta superfície
gaussiana?
b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a lei de Gauss
exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula?
6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm
de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície. R: 2,03x105 Nm2/C
7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade
superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a esfera. (b) qual é o
fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera? R: (a) 3,66x10-5C (b) 4,14x106 Nm2/C
8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente acima
do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo elétrico através
do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d) R:
q/(6єo)
q
d/2
d
d
7
9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos
confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma
carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo
elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / (4o r2 ) (lei de
Coulomb).
10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante propriedade em
relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se um condutor eletrizado
estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão distribuídas em sua superfície externa.
11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em sua
superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o que gera
dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No entanto, o campo
elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode ser determinado, com
certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo do campo elétrico num local
imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito próximo da superfície) é proporcional
à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o valor deste campo é dado por: E = σ /ε0.
12. Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do condutor existe
uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme q = + 3 . 10 – 6 C. Determine a
carga: R: qi  q  3,0 106 C ; b) qe  qi  3,0 106 C
a) Sobre a parede da cavidade.
b) Sobre a superfície externa do condutor.
13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de uma
barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma densidade
linear de carga , é dado por: E =  /(2  o r).
P
r
barra
14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de
carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 10 4 N/C a uma distância de 2 m
da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante.
15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os cilindros
possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo λa = - λ e λb = +
λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no interior da casca interna) e
(b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o módulo do campo elétrico é dado por E =
 /(2  o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
8
16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 3 cm e
6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 – 6 C/m, e sobre o
cilindro externo é de - 7 × 10 – 6 C/m. Determine o valor do campo elétrico e indique o sentido
(para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, onde r é a distância radial ao eixo
central dos cilindros.
R: (a) 2,3 × 10 6 N/C, para fora; (b) 4,5 × 10 5 N/C, para dentro
17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente
longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é
dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão
para E a uma distância r > R e esboce qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro
não é condutor.
18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo elétrico
gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com uma densidade
superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0).
19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma pequena
distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades superficiais de cargas
de sinais opostos e valores absolutos iguais σ = 7,00 1023 C / m2 . Em termos dos vetores
unitários, determine o campo elétrico (a) à esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre
as placas. R: a) 0; b) 0; c)-7,91x10-11N/C î
20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q =2x10-8C
(distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não condutor que faz
um ângulo de 30o com uma placa vertical, não condutora, uniformemente carregada (vista de
perfil). Considerando a força gravitacional que a esfera está submetida e supondo que a placa
possui uma grande extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa.
  5 105 C / m2
9
21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e uniformemente
carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da esfera até certo ponto,
aplicando a lei de Gauss, mostre que:
a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é
equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca esférica. Ou seja, o valor do
campo é dado por E = Q / (4o r2).
b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é
nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que
se localize no seu interior.
22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície
gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície gaussiana é
multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da carga pontual?
R: a) – 750 N.m2/C; b) – 6,64 nC
23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo elétrico a
15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 3 N/C e aponta para o centro da esfera, qual
é a carga desta esfera?
R: - 7,5 nC
24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7 C. Determine
o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) imediatamente fora da esfera
e (c) a 3 m do centro da esfera. R: (a) 0; (b) 2,88x104 N/C; (c) 2x102 N/C
25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. Uma
segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb. Mostre,
utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro
das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r2 ); e (c) r > b é igual a (qa +
qb) / (4o r2 )
26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da casca
menor é 4 × 10 – 8 C, e da casca maior é 2 × 10 – 8 C. Determine o módulo do campo elétrico em
(a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm.
R: a) 2,5 × 10 4 N/C; b) 1,35 × 10 4 N/C
10
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO
Quando um corpo de massa m é colocado a uma altura h, próximo da superfície da
Terra, podemos atribuir a este corpo uma energia potencial gravitacional dada por mgh. Assim
como a força gravitacional, a força elétrica também é uma força conservativa, portanto, quando
uma partícula carregada se move num campo elétrico, o campo realiza trabalho sobre ela. Este
trabalho não depende da trajetória e pode ser expresso em termos de uma energia potencial.
Se a função energia potencial de um corpo tiver o valor UA, quando o corpo estiver num
ponto A, e o valor UB, quando ele está num ponto B, então, o trabalho WAB , realizado sobre o
corpo durante o deslocamento de A para B, é dado por
WAB  U A  U B   U B  U A 
A energia potencial de uma partícula carregada, colocada em um campo elétrico,
depende da intensidade de carga da partícula. Entretanto, a energia potencial por unidade de
carga possui um valor único em qualquer ponto deste campo. Portanto, em lugar de utilizar
diretamente a energia potencial U de uma partícula carregada, é conveniente introduzir o
conceito de potencial elétrico, definido em um ponto qualquer de um campo eletrostático como
a energia potencial por unidade de carga neste ponto. O potencial elétrico é uma grandeza
escalar representado pela letra V:
V
U
 U  qV
q
Quando um campo elétrico realiza um trabalho WAB sobre uma carga de prova q, que se
desloca de um ponto A para um ponto B, a diferença de potencial (ou voltagem) VBA é dada por:
11
VBA 
U B  U A   V
q
B
 VA  
WAB
 WAB  q VA  VB 
q
Onde:
VA  é o potencial elétrico no ponto A.
VB  é o potencial elétrico no ponto B.
Devemos observar que o potencial elétrico V e a energia potencial elétrica U são
grandezas completamente diferentes e não devem ser confundidas. O potencial elétrico é uma
propriedade de um campo elétrico, que independe da presença de um corpo carregado nesse
campo e a energia potencial elétrica é uma energia de um corpo carregado, na presença de um
campo elétrico. Também, podemos observar que as unidades destas duas grandezas são
diferentes.
Unidade de potencial elétrico no SI:
1 joule / coulomb = 1 volt = 1 V
O potencial elétrico pode nos parecer uma grandeza abstrata, porém quando pensamos na
sua unidade (volt) percebemos que esta grandeza está constantemente relacionada ao nosso
cotidiano. É comum citarmos que os aparelhos de nossa residência estão ligados a uma
diferença de potencial (voltagem) de 220 V.
Comparando as unidades temos que 1,5 V = 1,5 J/C, portanto dizer que entre os polos de
uma pilha de lanterna existe uma voltagem de 1,5 V é equivalente a dizer que cada coulomb de
carga possui uma energia de 1,5 J.
DESTACANDO ALGUMAS PROPRIEDADES:

A força elétrica é uma força conservativa.

O trabalho da força elétrica não depende da trajetória, depende, somente, das posições
final e inicial da carga.

Uma carga positiva abandonada em um campo elétrico tende a se deslocar de pontos
onde o potencial é maior para pontos onde ele é menor. Uma carga negativa tenderá a se
mover em sentido contrário, isto é, de pontos onde o potencial é menor para pontos
onde ele é maior.
12

Percorrendo-se uma linha de força no seu sentido, o potencial elétrico, ao longo de seus
pontos, diminui.

Potencial elétrico em um ponto não tem um valor único. Este valor depende do nível
escolhido para referência.

A ddp entre dois pontos não depende do nível de referência.

No nível de referência, geralmente o potencial é considerado nulo.
VOLTAGEM EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
E
A
d
B
Considere uma carga de prova positiva q sendo deslocada de um ponto A até um ponto
B, numa região onde existe um campo elétrico uniforme E . A diferença de potencial entre os
pontos A e B é dada por
VA  VB 
WAB
, mas, WAB  Fd , onde , F  qE
q
 VA  VB 
qEd
 VA  VB  Ed
q
Onde:
VAB  é a ddp entre os pontos A e B.
E  é o campo elétrico uniforme.
Deve-se observar, entretanto, que a distância d entre os dois pontos deve ser tomada na
direção paralela ao vetor E .
OUTRA UNIDADE DE CAMPO ELÉTRICO:
volt /metro ( V / m )
temos que : 1 V /m = 1 N / C
13
CÁLCULO DO POTENCIAL A APARTIR DO CAMPO ELÉTRICO
Se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que liga dois
pontos, é possível usar o campo elétrico para calcular a diferença de potencial entre estes dois
pontos.
Devemos realizar trabalho para a carga ir de
i até f.
Com isso temos:
dW  F .ds  qo E.ds
 dW   q E.ds
W  q  E.ds
o
o
W
 V f  Vi    E.ds
qo
POTENCIAL ELÉTRICO NO CAMPO DE UMA CARGA PONTUAL
Usando uma integral de linha, podemos mostrar que o potencial elétrico V no espaço ao
redor de uma partícula carregada com uma carga Q, em relação ao potencial nulo no infinito, é
dado por
VA 
Onde:
1
Q
4 0 d

VA  K 0
Q
d
A
Q
d
VA  é o potencial elétrico no ponto A.
d  é a distância da carga Q até o ponto A.
Observações:

Ao usarmos a expressão acima para calcular o potencial, o sinal da carga Q deve
ser levado em consideração. Assim, uma partícula carregada positivamente
produz um potencial elétrico positivo, e uma partícula carregada negativamente
produz um potencial elétrico negativo.
14

Esta expressão para o valor do potencial foi obtida considerando-se como
referência um ponto muito afastado da carga Q ou, como costumamos dizer, esta
expressão fornece o valor do potencial em relação a um nível no infinito.
Demonstração da expressão usada para calcular o potencial elétrico criado por uma carga pontual.
E.ds  E cos  ds
V f  Vi    E.ds    E cos  ds
1

V  VR    E cos  ds
0
V
R
fazendo : ds  dr


q
dr
4 o r 2
R
V   Edr  
R
1


1
q
r 21
V
dr 
4 o R r 2
4 o  2  1 R
q
V
q
1
4 o R
trocando : R  r
V
1
q
4 o r
Lembrando que uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo, já uma partícula
de carga negativa, produz um potencial elétrico negativo.
POTENCIAL DEVIDO A UM GRUPO DE CARGAS PONTUAIS
Para calcularmos o potencial elétrico estabelecido por várias cargas pontuais em um dado
ponto, devemos calcular o potencial estabelecido por cada carga neste ponto e em seguida
devemos somar algebricamente estes potenciais. Sendo ri a distância da carga qi até o ponto
considerado temos que:
n
1
i 1
4 o
V  Vi 
n
qi
i 1
i
r
15
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS
Pontos adjacentes que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície
equipotencial, que tanto pode ser uma superfície imaginária quanto uma superfície física real.
Como todos os pontos de uma superfície equipotencial tem o mesmo valor para o potencial,
nenhum trabalho resultante W é realizado por um campo elétrico sobre uma partícula carregada
quando a partícula se move entre dois pontos de uma mesma superfície equipotencial. Por
simetria, as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por uma
distribuição de carga com uma simetria esférica são uma família de esferas concêntricas e para
um campo elétrico uniforme, as superfícies equipotenciais são uma família de planos paralelos
e perpendiculares às linhas de campo. Na verdade, as superfícies equipotenciais são sempre
perpendiculares às linhas de campo elétrico. Se o campo elétrico não fosse perpendicular a uma
superfície equipotencial, ele teria uma componente ao longo dessa superfície. Esta componente
então realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando ela se movesse ao longo da
superfície, como este trabalho deve ser nulo, o campo elétrico realmente deve ser perpendicular
à superfície em todos os pontos da superfície equipotencial. Esta propriedade é útil para
desenhar as linhas de campo quando temos as superfícies equipotenciais ou para desenhar as
equipotenciais quando temos as linhas de campo elétrico.
Nas figuras estão representadas as linhas de campo e as equipotenciais para dois casos,
campo uniforme e carga pontual.
16
EXERCÍCIO
27. Podem duas superfícies equipotenciais diferentes interceptar-se?
28. Um eletricista foi eletrocutado por acidente e numa reportagem jornalística afirmou-se que: “Ele
tocou acidentalmente um cabo de alta tensão e 20000 V de eletricidade atravessaram seu
corpo”. É adequado citar que 20000 V de eletricidade atravessaram o corpo do eletricista?
29. Considere uma pessoa em pé sobre uma plataforma isolada. Se o potencial da pessoa for
aumentado de 10 kV ela será eletrocutada?
30. Os elétrons tendem a se deslocar espontaneamente para regiões de maior ou menor potencial
elétrico?
31. Os conselhos dados a alpinistas apanhados em tempestades acompanhadas de trovões e raios
são: a) abandonar rapidamente os picos e b) juntar os pés e agachar-se num descampado,
somente os pés tocando o solo. Em que se baseia tal orientação?
32. Na figura abaixo, quando um elétron se desloca de A até B ao longo de uma linha de campo
elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94x10-19 J. Quais são as diferenças de potencial
elétrico (a) VA – VB ; (b) VC – VA ; (c) VC – VB.
33. Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e afastadas por uma distância de 12 cm, têm
cargas de mesmo valor absoluto e de sinais opostos nas faces que se defrontam. Um elétron
colocado em um ponto entre as duas placas sofre uma força eletrostática de 3,9 × 10 – 15 N.
Desprezando o efeito de borda, ou seja, considerando o campo uniforme em todos os pontos
entre as placas, determine (a) o valor do campo elétrico no ponto onde se encontra o elétron, e
(b) o valor da diferença de potencial entre as placas. R: a) 2,44x104N/C; b) 2,93x103V
34. Seja V o potencial elétrico, gerado por uma carga pontual, Q, e, r, a distância da carga até um
ponto. Represente qualitativamente o gráfico V x r para os seguintes casos: a) Q > 0; b) Q< 0
35. Considere uma carga puntiforme q = + 1,0C e dois pontos B e A que distam, respectivamente,
1,0 m e 2,0 m da carga. (a) Tomando tais pontos diametralmente opostos, como mostra a Fig. a
abaixo. Qual é a diferença de potencial Va – Vb? (b) Repita o item (a) considerando os pontos A
e B localizados como mostra a Fig. b. R: a) VAB = - 4,5 . 10 3 V b)V’AB = - 4,5 . 10 3 V
17
36. Na figura abaixo, qual o potencial resultante no ponto P devido às quatro cargas pontuais, se V
= 0 no infinito? R: 2,5q / 4 0 d
37. A figura a seguir mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar,
com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,40 pC e q2 = 6,00 pC.
Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (sugestão:
Examinando o problema com atenção é possível reduzir consideravelmente os cálculos).
38. No retângulo da figura abaixo, os lados possuem comprimentos de 5,0 cm e 15 cm, q1 = -5,0μC
e q2 = +2,0μC. Com V = 0 no infinito, quais os potenciais elétricos (a) no vértice A e (b) no
vértice B? (c) Qual o trabalho realizado pela força elétrica para mover uma terceira carga q3 =
+3,0μC de B para A ao longo de uma diagonal do retângulo? Este trabalho é maior, menor ou o
mesmo exigido se q3 for movida ao longo de trajetórias que estejam (d) dentro do retângulo,
mas não sobre uma diagonal, e (e) fora do retângulo? R: a) +6,0 x 104 V; b) – 7,8 x 105 V; c) 2,5 J; d) o mesmo; e) o mesmo.
q1
B
A
q2
18
POTENCIAL DE UM CONDUTOR ISOLADO
Uma carga em excesso colocada sobre um condutor isolado se distribuirá sobre a
superfície desse condutor de modo que todos os pontos do condutor – estejam eles na superfície
ou no seu interior – atinjam o mesmo potencial. Isto é verdade mesmo que o condutor possua
uma cavidade interna e mesmo que esta cavidade contenha uma carga resultante. Assim,
podemos afirmar que todos os pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático têm o mesmo
potencial elétrico.
No caso específico de um condutor esférico de raio R e carregado com uma carga Q, o
potencial elétrico em pontos no interior do condutor ou em sua superfície tem o mesmo valor
k0Q/R. Externamente ao condutor, o potencial é idêntico ao de uma carga puntiforme
posicionada no centro do condutor. Ou seja, o potencial elétrico a uma distância r do centro de
um condutor esférico de raio R é dado por: (o potencial foi considerado nulo no infinito)
V
K oQ
, para r ≤ R
R
V
K oQ
, para r > R
r
EXERCÍCIO
39. Seja V o potencial elétrico e E o módulo do campo elétrico, estabelecido por uma esfera
condutora isolada, num ponto a uma distância d do centro da esfera. Represente
qualitativamente o gráfico (para pontos no interior e fora da esfera):
(a) V  d, supondo que a carga da esfera é positiva.
(b) E  d
40. Quais são (a) a carga e (b) a densidade de carga sobre a superfície de uma esfera condutora de
raio 0,15 m, cujo potencial é de 200 V (com V = 0 no infinito)? R: a) 3,33 . 10 –9 C; b) 1,18 . 10
–8
C/m2
41. Dois condutores esféricos, A e B, de raios R A = R e RB = 2R estão isolados e distantes um do
outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial de carga de A é
duas vezes maior do que a de B. Ligando-se as duas esferas por meio de um fio condutor,
verifique se haverá passagem de carga de uma para outra. Explique. R: VA = VB, não haverá
passagem de carga de um para o outro.
42. Considere duas esferas condutoras, 1 e 2 separadas por uma grande distância, a segunda tendo o
dobro do diâmetro da primeira. A esfera menor possui inicialmente uma carga positiva q e a
maior está inicialmente descarregada. Agora você liga as esferas com um fio fino e longo. (a)
Como estão relacionados os potenciais finais V1 e V2 das esferas? (b) Quais as cargas finais q1 e
19
q2 sobre as esferas, em termos de q? (c) Qual a relação entre a densidade superficial de carga
final da esfera 1 e 2? R: a) V1 = V2; b)
q1 =
q
3
; q2 =
2q
3
c) 1 = 2 2
43. Uma gota esférica de água transportando uma carga de 30 pC tem um potencial de 500 V em
sua superfície (com V = 0 no infinito). (a) Qual é o raio da gota? (b) se duas gotas iguais a esta,
com a mesma carga e o mesmo raio, juntarem para constituir uma única gota esférica, qual será
o potencial na superfície da nova gota? R: a) 5,4 . 10 –4 m; b) 793, 7 V.
44. Considere duas esferas condutoras de raios R1 = 14 cm e R2 = 16 cm, separadas por uma
distância muito grande. Inicialmente a esfera menor tem uma carga q 1 = 7 μC e a esfera maior
uma carga q2 = 2 μC. As esferas são ligadas por um fio longo e fino. Determine o valor da carga
final de cada uma das esferas após ser atingido o equilíbrio eletrostático. R: q’1 = 4,2 μC e q’2
= 4,8 μC.
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE CARGAS PONTUAIS
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao trabalho que
deve ser executado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada uma das cargas
de uma distância infinita. Para o caso de duas cargas pontuais temos que:
Para trazer a carga 1 do infinito até a sua posição não precisamos realizar trabalho, pois a
distancia entre as cargas é infinita. No entanto para trazer a carga 2 do infinito até a sua
posição, um trabalho deve ser realizado, devido a força de repulsão da carga 1.
Portanto:
W  q2V  q2
W U 
qq
1 q1
 2 1
4 o r 4 o r
q2 q1
4 o r
quando os sinais das cargas q1 e q2 forem iguais  W  0

quando os sinais das cargas q1 e q2 forem contrários  W  0
EXERCÍCIO
45. (a) Qual a energia potencial elétrica de um sistema formado por dois elétrons separados por uma
distância de 2 nm? (b) Se a distância entre os elétrons diminuir, a energia potencial elétrica do
sistema aumente ou diminui?
20
46. Duas cargas q = +2,0μC são mantidas fixas a uma distância d = 2,0 cm uma da outra conforme
figura abaixo. (a) Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto C? (b) Qual é o
trabalho (realizado por um agente externo) necessário para deslocar uma terceira carga q =
+2,0μC do infinito até o ponto C? (c) Qual é a energia potencial U da nova configuração?
POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS
Quando uma distribuição de cargas é contínua, em vez de usarmos o somatório indicado
no cálculo do potencial de várias cargas pontuais, passamos a usar o cálculo integral. Nestes
casos devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq no
ponto considerado e integrar para toda a distribuição de cargas.
dV 
Então: V   dV 
1
4 o
1 dq
(dq  0 ou dq  0)
4 o r
dq
r
Como exemplo com distribuição contínua de carga, vamos determinar o potencial elétrico
a uma distância z sobre o eixo central de um disco de plástico de raio R, fino e uniformemente
carregado com uma densidade superficial de carga σ.
Disco carregado.
21
dq    2 R '  dR '
'
'
1 dq
1   2 R  dR
dV 

4 o r
4 o
z 2  R '2
V
 
2 o 
z
2
 R '2   z 

Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Vimos que é possível determinar o potencial elétrico em um ponto a partir do campo
elétrico. Podemos fazer o procedimento inverso, ou seja, determinar o campo elétrico a partir
do potencial. Em determinados casos este método de calcular o campo elétrico se torna mais
fácil, pois, o potencial elétrico é calculado por uma função escalar e o campo elétrico por uma
função vetorial.
Para determinarmos o campo elétrico a partir do potencial usamos o fato de que: A
componente do vetor campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de
variação do potencial elétrico com a distância nessa direção.
Em uma notação mais rigorosa usaríamos um operador denominado de gradiente, não
sendo este o objetivo, vamos apenas indicar a relação das componentes do campo elétrico nos
eixos x, y e z com as derivadas parciais do potencial elétrico para os eixos considerados.
V 
x 
V 
V
Ey  
 E  
y 
s
V 
Ez  

z 
Ex  
Observação:
Em nosso curso tratamos apenas superficialmente o potencial de distribuição contínua de
carga e cálculo do campo elétrico a partir do potencial. Caso o aluno tenha interesse em
aprofundar nestes assuntos, deve consultar o livro texto.
22
EXERCÍCIO
47. Na figura abaixo, uma barra de plástico com um carga uniformemente distribuída Q = -25,6 pC
tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71 cm e ângulo central Φ = 120o . Com
V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o centro de curvatura da barra?
48. Um disco de plástico de raio R = 64,0 cm é carregado na face superior com uma densidade
superficial de cargas uniforme σ = 7,73 fC/m2 e, em seguida, três quadrantes do disco são
removidos. A figura abaixo mostra o quadrante remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o
potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que está sobre o eixo central do
disco original a uma distância D = 25,9 cm do centro do disco original?
CAPACITORES
Um capacitor (ou condensador) é constituído por dois condutores separados por um
isolante, onde os condutores são chamados de armaduras (ou placas do capacitor) e o isolante é
o dielétrico do capacitor. Quando um capacitor está carregado, cada uma das duas placas
contêm cargas de mesmo módulo e sinais oposto (+q e –q). Entretanto, quando nos referimos à
carga q de um capacitor, estamos falando do módulo da carga de uma das placas e não da carga
total do capacitor (a carga total em um capacitor é sempre zero).
Energia pode ser armazenada como energia potencial em um campo elétrico, e um
capacitor é um dispositivo que pode ser usado para isso.
Na operação do flasch de uma câmara fotográfica, por exemplo, o capacitor acumula
carga de modo relativamente lento, acumulando um campo elétrico. Ele mantém este campo e a
energia associada até que a energia seja rapidamente liberada no flasch.
23
Os capacitores têm muitas aplicações na eletrônica, além de servirem como
armazenadores de energia potencial eles constituem elementos vitais nos circuitos com os quais
sintonizamos os transmissores e receptores de rádio e televisão.
Costuma-se dar nome aos capacitores de acordo com a forma de suas placas, como
exemplo, temos o capacitor plano, o capacitor cilíndrico, o capacitor esférico.
Símbolo do capacitor
Capacitância de capacitor
A capacitância, C, de um capacitor pode ser definida como a razão entre a carga Q de
qualquer dos condutores e o módulo da diferença de potencial, V, entre os condutores. Para um
determinado capacitor esta razão permanece constante.
C
Q
 Q  VC
V
onde :
C = é a capacitância do capacitor
Q = é a carga de uma das armaduras do capacitor
V = é a diferença de potencial entre as placas do capacitor
A capacitância de um capacitor pode ser interpretada como a medida da capacidade de
armazenar carga neste capacitor. A capacitância um capacitor depende somente das
características deste capacitor, ou seja, ela depende da forma e do tamanho das placas do
capacitor, da distância entre as placas e do dielétrico, caso exista, entre suas placas. Devemos
observar que a capacitância não depende da carga ou da diferença de potencial no capacitor.
Lembrando que, quando se fala de um capacitor com carga Q o que se quer dizer é que
o condutor de potencial maior tem carga + Q, e o de menor potencial tem carga
- Q.
Um método comum de carregar um capacitor consiste em conectar os terminais do
capacitor aos polos de uma bateria. A carga no capacitor aumenta até que a diferença de
potencial nos terminais do capacitor atinja um valor igual à voltagem da bateria.
24
Unidade de capacitância no S.I.
A unidade de capacitância (S.I) é o Coulomb por Volt. Esta unidade é chamada de farad
(F), em homenagem ao Físico britânico Michael Faraday
coulomb / volt = farad ( F )
Observação:
O farad é uma unidade muito grande, por isso usamos constantemente seus
submúltiplos:
 F  microfarad  106 F
nF  nanofarad  109 F
pF  picofarad  1012 F
Carregando ou descarregando um capacitor:
O capacitor não carrega linearmente e nem descarrega linearmente.
25
Capacitor de Placas Paralelas
O tipo mais comum de capacitor consiste em duas placas condutoras e paralelas,
separadas por uma distância pequena em relação às dimensões da placa. Se as placas estiverem
suficientemente próximas podemos desprezar a deformação do campo elétrico próximo às
bordas das placas, e o campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme.
A capacitância de um capacitor de placas paralelas depende diretamente da área das
placas e inversamente da distância de separação entre elas, sendo dada por:
C 
A
d
d
onde :
A = é a área da superfície das placas
d = é a distância entre as placas
No vácuo, temos que:  o  8,85 1012 C2 / Nm2
Vamos demonstrar a expressão da capacitância de um capacitor de placas paralelas.
26
Pela Lei de Gauss, temos o campo elétrico entre as placas como:
 o  E.dA  q   o EA  q
E
q
A o
f
A diferença de potencial entre as placas é dada por: V f  Vi    E.ds
i
Vamos tomar o caminho da placa negativa para a placa positiva e adotar o Vi = 0, então:

V f   Eds

Como V  Ed e E 
q
, temos:
A o
C
q
q
q


q
V Ed
d
A o
A o 

C  d 


Capacitor cilíndrico
Cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico.
Onde L é o comprimento do capacitor, a é o raio menor (interno) e b o raio maior (externo).
Temos:
b
Vb  Va    E.ds
a
b
b
a
a
V   Eds  V   Edr
Como q   o EA , onde A é a área da superfície lateral do capacitor e vale A  2 rL .
Então: q   o E 2 rL  E 
b
q
q
, com isso o potencial entre as placas, fica: V  
dr
 2 rL
 o 2 rL
a o
Integrando, temos:
q
1
q
b
V
dr 
ln  

 o 2 L a r
 o 2 L  a 
b
como :
C
q

V
C
q
q
b
ln  
 o 2 L  a 
 o 2 L
b
ln  
a
Capacitor esférico
Um tipo de capacitor que é bastante estudado é o capacitor esférico, muito usado em laboratórios
que trabalham com diferença de potencial muito alta, que chegam a centenas de milhares de volts.
Os laboratórios que trabalham com esse tipo de equipamento, ou seja, utilizam máquinas
eletrostáticas (como por exemplo, o gerador de Van de Graaf), empregam esse tipo de capacitor
com a intenção de obter tensões altíssimas.
Sua capacitância é:
C
4 o ab
, onde a e b são os raios internos e externos do capacitor esférico.
ba
Capacitância de um condutor esférico isolado de raio R.
b
4 o
1
C
 4 o
 4 o a
ba
1 1

ab
a b
0
a  raio esfera ( R ), temos :
C  4 o R
como : 4 o 
1
k

1 
R   esfera isolada
C 
Ko 

EXERCÍCIO
49. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3 mm. (a)
Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença de potencial
aplicada for de 120 V? R: a) 1,44x10-10 F ; b) 1,72 x 10-8 C
50. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, com as quais desejamos construir
um capacitor de placas paralelas. Para obtermos uma capacitância de 1,00 F, qual deverá ser a
separação entre as placas? Será possível construirmos tal capacitor? R: 8,85x10-12 m
51. Duas placas paralelas de folha de alumínio têm uma separação de 1,0 mm, uma capacitância de 10
pF e estão carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantendo-se a carga constante,
diminuímos a separação entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nova capacitância? (c) De quanto
varia a diferença de potencial? R: a) 1,13x10-3 m2 ; b) 1,11x10-11 F ; c) 1,19 V
52. As placas de um capacitor esférico têm raios de 30 nm e 40 nm. (a) Calcular a capacitância deste
capacitor. (b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma separação
entre as placas e mesma capacitância do capacitor do item (a).
53. Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem uma capacitância dada por C. Se duas destas gotas se
combinarem para formar uma única gota maior, qual será a sua capacitância? R:
3
2
C
Associação de capacitores em série
Numa associação de capacitores em série, a placa negativa de um capacitor está ligada à
placa positiva do seguinte. Sendo que, se uma diferença de potencial V for aplicada em uma
associação de capacitores em série, a carga q armazenada é a mesma em cada capacitor da
associação e a soma das diferenças de potencial aplicada a cada capacitor é igual à diferença de
potencial V aplicada na associação. Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um
capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial V aplicada à
associação.
Para três capacitores em série temos que:
VT  V1  V2  V3
qT q1 q2 q3
 

CT C1 C2 C3
série : q1  q2  q3  qT
1
1
1
1
 

CT C1 C2 C3
Temos que:

Todos os capacitores estão carregados com a mesma carga.

A diferença de potencial V AB é igual à soma das voltagens de cada capacitor.
Este resultado pode ser generalizado para n capacitores
N
 1
1




 CT i 1 Ci 
Associação de capacitores em paralelo
Numa associação de capacitores em paralelo, todas as armaduras positivas estão ligadas a
um mesmo ponto, assim como todas as negativas estão ligadas a outro ponto comum.
Quando uma diferença de potencial V é aplicada em uma associação de capacitores em
paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de cada capacitor, e a carga total q
armazenada na associação é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor. Capacitores
ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total
q e a mesma diferença de potencial V aplicada à associação.
Para três capacitores em paralelo temos que:
qT  q1  q2  q3
CTVT  C1V1  C2V2  C3V3
paralelo : V1  V2  V3  VT
CT  C1  C2  C3
Temos que:
A voltagem é a mesma em todos os capacitores.
A carga armazenada no capacitor equivalente é igual à soma das cargas de cada
capacitor.
Este resultado pode ser generalizado para n capacitores
N


C

 T  Ci 
i 1


Energia potencial elétrica armazenada por um capacitor
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor. O trabalho necessário
para carregar o capacitor é armazenado na forma de energia potencial, U, no capacitor, sendo que,
esta energia pode ser recuperada, descarregando-se o capacitor em um circuito.
A energia potencial de um capacitor carregado pode ser considerada armazenada no campo
elétrico entre suas placas. Vamos determinar a expressão para calcular esta energia
Tomemos um capacitor com uma carga inicial q '  V ' 
q'
C
E queremos colocar mais carga nesse capacitor. Para isso precisamos realizar trabalho, ou seja,
ligar uma bateria, por exemplo, para fazer isso. Então:
1


U

CV 2 

2

Cálculo da densidade de energia, energia potencial por unidade de volume no espaço entre as
placas, para um capacitor de placas paralelas:
1
u  oE2
2
Onde: u é a densidade volumétrica de energia.
Embora esta relação tenha sido deduzida para o caso particular de um capacitor de placas
paralelas, ela se aplica a qualquer campo elétrico.
EXERCÍCIO
54. Quantos capacitores de 1 μF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma carga de 1 C na
associação? Considere que a ddp aplicada à associação seja de 110 V.
R: 9090
55. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 =
4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c) a diferença de
potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor. R: (a) 7,33 F; (b) q1 = q2 = 3,33x10-4C,
q3 = 4x10-4C; (c) V1 = 33,3V, V2=66,7V, V3=100V; (d) U1 = 5,54x10-3 J, U2 = 1,11x10-2 J, U3 =
2x10-2 J.
56. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F, C3 = 4,00
F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a diferença de potencial e (d)
a energia armazenada para cada capacitor. R: (a) 3,16 μF; (b) q1 = 2,11x10-4 C, q2 = 1,05x10-4 C, q3 =
3,16x10-4 C; (c) V1 = V2 = 21V, V3 = 79V; (d) U1 = 2,2x10-3 J, U2 = 1,1x10-3 J, U3 = 1,25x10-2 J.
57. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em série com outro de capacitância C2 = 4,00 F e
uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente
da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial através de
cada capacitor? R: a) 2,4F ; b) Q1 = Q2 = 4,8x10-4C ; c) V1 = 80V e V2 = 120V
58. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em paralelo com outro de capacitância C 2 = 4,00
F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância
equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é a diferença de potencial
através de cada capacitor? R: a) 10F ; b) Q1 = 1,2x10-3C e Q2 = 8x10-4 C ; c) V1 = V2 = 200V
59. Um capacitor de 100 pF é carregado sob uma diferença de potencial de 50 V e a bateria que o carrega
é retirada. O capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor, inicialmente
descarregado. Sabendo-se que a diferença de potencial da associação passa a ser de 35 V, determine a
capacitância deste segundo capacitor. R: a) 43 pF
60. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser
deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação em série é
independente da posição da seção central e é dada por
C
0 A
ab
61. Dois capacitores, de capacitâncias C1 = 2 μF e C2 = 4 μF, são ligados em paralelo através de uma
diferença de potencial de 300 V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores. R: a) 0,27 J
Capacitores com um Dielétrico
Se o espaço entre as placas de um capacitor for completamente preenchido com um
material dielétrico, a capacitância do capacitor aumenta de um fator k, chamado de constante
dielétrica, que é característica do material. Em uma região que está completamente preenchido por
um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contém  0 (constante de permissividade no
vácuo) devem ser modificadas, substituindo-se  0 por k  0 .
Para o vácuo a constante dielétrica assume o valor 1, enquanto que para o ar ela é apenas
ligeiramente maior, 1,0006 sob condições padrões.
O aumento da capacitância com a introdução de um dielétrico entre as placas do capacitor
foi descoberto por Michey Faraday em 1837.
O uso de um dielétrico em um capacitor apresenta uma série de vantagens. A mais simples
destas é que as placas condutoras podem ser colocadas muito próximas sem o risco de elas
entrarem em contato. Além disto, qualquer substância submetida a um campo elétrico muito alto
pode se ionizar e se tornar um condutor. Os dielétricos são mais resistentes à ionização que o ar,
deste modo um capacitor contendo um dielétrico pode ser submetido a uma tensão mais elevada.
Qual a nova capacitância ( C’ ) devido ao uso do dielétrico entre as placas?
O dielétrico enfraquece o campo (devido ao campo induzido no dielétrico) e com isso a
capacitância aumenta.
A nova capacitância será:
C '  KCar
Onde: K é a constante dielétrica do meio e Car a capacitância com o ar ou vácuo.
EXERCÍCIO
62. Um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, possui uma capacitância de 1,3 pF. A
separação entre as placas é duplicada e introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é igual a
2,6 pF. Determine a constante dielétrica da cera. R: 4
63. Um capacitor de placas paralelas, preenchido com ar entre elas, possui capacitância de 50 pF. (a)
Se cada uma de suas placas possuir uma área de 0,35 m2, qual a separação entre as placas? (b) Se a
região entre as placas for agora preenchida com um material tendo k = 5,6, qual a nova
capacitância? R: a) 6,2 cm ; b) 280 pF
64. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se
esta substância for usada como dielétrico de um capacitor da placas paralelas, qual deverá ser, no
mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 0, 07 μF e o capacitor suporte
uma diferença de potencial de 4 kV? R: 0,63 m2